Analisi 1, secondo esonero, prof. Natalini

Studio di funzione

Funzione f(x) = 3 + 5 − x¹ / [x(1 + 2)]

1. Dominio

2. Segno: f(x) > 0 in _R

3. Intersezioni assi

4. Continuità: f continua in _R

5. Simmetrie

6. Asintoti

lim f(x) = 3₁ x → +∞

lim f(x) = 1 x → −∞

y = 1 Asintoto orizzontale

Derivata e analisi

7. Derivata f

D(f) = _R - {0, 5} = D(f)

f'(x) > 0 in (-∞, 0) ⇒ f ↑ in (-∞, 0)

f'(x) > 0 in (5, +∞) ⇒ f ↑ in (5, +∞)

f'(2) = 3 / 7

Derivabilità in 0 / 5

lim f'(x) = 3 / 2 x → 0⁻

lim f'(x) = x → 0⁺

Studio di funzione f(x) = (3x + 5 - x) / (x (1 + 2x))

1. Dominio
2. Segno: f(x) > 0 in ℝ
3. Intersezioni assi: f(0) = ⁵/₄
4. Continuità: f continua in ℝ
5. Simmetrie
6. Asintoti

lim _{x → +∞} f(x) = ³/₂

lim _{x → -∞} f(x) = 1

y = ³/₂ Asintoto Orizzontale

Derivata I

D = ℝ - {0, 5} = D

f'(x) = {

• ^{(x - 2) + 6x}/_(2+x)² - ⁶/_{(2 - x)²} se x
• x - 2 + 8x - 8/_(2+x)² se 0 < x < 5
• ^{x + 2 - x + 2}/_{(2 + x)²} se x > 5

Studio del segno della derivata

f'(x) > 0 in (-∞, 0) => f ↑ in (-∞, 0)

f'(x) f ↓ in (0, 5)

f'(x) > 0 in (5, +∞) => f ↑ in (5, +∞)

f'(5) = ³/₇

lim _{x → 0^-} f'(x) = ³/₂

lim _{x → 5^-} f'(x) = ^-2/₂

lim _{x → 5⁺} f'(x) = ⁴/₂

Derivata II

f''(x) = 2 se x < 0

(8 - x)² se 0 < x < 5

20 - se 0 < x < 5

(2 + x)³8 se x = 5

(2x)³ se x >> 5

Invertibilità e dominio

f(x) = x + x + 1 - 4(x)³

1. x + 1 > 0 -> x > -1
2. x >> 0 -> 0 >

Derivata progressiva

Lim f''(x) = Lim (– x + 12x² = a1x-> -1 x-> 1 x-> 0

Lim f''(x) = Lim (1 + 12x² = a1x-> 0

Lim f'(x) = Lim (1 - 2x)² = 1 in 0 e deriv. max e min

x > 0 f'(x) = 1 + 12x²1 + 12x = 0 12x² = 1 x = ±¹/_√12

x = −¹/_√12 max relativo−1 f''(x) = 1 + 12x² sempre > 0

x < −1 f'(x) = 1 + 12x² sempre > 0

lim x→±∞ x + ± 4x³ = ±∞→ è max assoluto x = 1/√12, le min non c'è

2. Invertibilità e dominio e codominio dell'inversa

Intervallo (0,1/_√2)

Derivata df/dy f(x) = sin(π/2 cos x)

fI'(x) cos(±π/2 cos x)−(sen x) = −π/2 sen x cos(π/2 cos x)π/2 → x, y = (±) cos x decrescente → x₁ < x₂ → h(x₁) > h(x₂)

sen(x) crescente → y₁ > y₂ → g(y₁) < g(y₂) → f(c)g«f(x) = g(h(x)) h(x) →g∘g(x) ↓

Funzione composta

D_f (0, π/2 )

d²f/dydy/d <°(y₀) = ±1/fI'(x) y₀ = ± ±1/_√2) fI(x) > d{°} = ² = sen(π/2)

f''(x)1)cos x = ^π/₄ cos x = ^π/₄ x = ^π/₃

y’(^π/₃) = -π ·^√3/_{2 · 2 · 2} = ^-π/2√3/₈

^{d y = - ∫}/ ∫(0)dy/dx = 0(0,90)

Continuità e derivabilità

B) Per quali valori di α e β la f(x) è continua e derivabile?

f(x) = ^{ln(x²+x+1)+α}, x > 0

f(x) = ^sin(2βx), x D = ℝ

Continuità: lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0 ln(x²+x+1) + α ⇒ lim_x→0 sin(2βx) ⇒ α = 0

f(x) = ^{2x + 1}, x > 0 x² + x + 12β cos(2βx), x

Derivabilità: lim_x→0⁺ ^{2x + 1}/_{x² + x + 1} = lim_x→0⁻ 2β cos(2βx)

x→0, 2β cos(2βx)1 = 2β ⇒ β = ¹/₂