Analisi 1, secondo esonero, prof. Natalini

Studio di funzione

f(x) = 3 + 5 − x¹ / [x(1 + 2)]

1. Dominio

2. Segno f(x) > 0 in _R

3. Interse. ass

4. Continuità f continua in _R

5. Simmetrie

6. Assim

lim f(x) = 3₁ x → +∞ lim f(x) = 1 x → −∞ y = 1 Asintoto orizzontale

7. Derivata f D(f) = _R - {0, 5} = D(f)

• f'(x) > 0 in (-∞, 0) ⇒ f ↑ in (-∞, 0)
• f'(x) < 0 in (0, 5) ⇒ f ↓ in (0, 5)
• f'(x) > 0 in (5, +∞) ⇒ f ↑ in (5, +∞)
• f'(2) = 3 / 7

Derivabilita in 0 / 5

• lim f'(x) = 3 / 2 x → 0⁻
• lim f'(x) = x → 0⁺

Studio di Funzione

f(x) = ^{3x + 5 - x}/_{x (1 + 2x)}

1. Dominio
2. Segno f(x) > 0 in ℝ
3. Intersezioni assi f(0) = ⁵/₄
4. Continuitàf continua in ℝ
5. Simmetrie
6. Asintoti

lim _{x → +∞} f(x) = ³/₂ lim _{x → -∞} f(x) = 1 y = ³/₂ Asintoto Orizzontale

7. Derivata I

Df = ℝ - {0, 5} = Df'

f'(x) = {    ^{(x - 2) + 6x}/_(2+x)² - ⁶/_{(2 - x)²} se x < 0    -^{x - 2 + 8x - 8}/_(2+x)² se 0 < x < 5    ^{x + 2 - x + 2}/_{(2 + x)²} se x > 5 }

8. Studio del segno della derivata

f'(x) > 0 in (-∞, 0) => f ↑ in (-∞, 0)f'(x) < 0 in (0, 5) => f ↓ in (0, 5)f'(x) > 0 in (5, +∞) => f ↑ in (5, +∞)

f'(5) = ³/₇

lim _{x → 0^-} f'(x) = ³/₂ lim _{x → 5^-} f'(x) = ^-2/₂ lim _{x → 5⁺} f'(x) = ⁴/₂

9. Derivata II

f''(x) =

• 2 se x < 0
• (8 - x)² se 0 < x < 5
• 20 - se 0 < x < 5
• (2 + x)³
• 8 se x = 5
• (2x)³ se x >> 5

f''

+

-

D = R

ESERCITAZIONE

f(x) = x + x + 1 - 4(x)³

1. x + 1 > 0 -> x > -1
2. x >> 0 -> 0 >

f(x) =

• (x + 1 - 4(x)³) x > 0
• -4 < x < 0
• (
• (')

Derivata

(1 -  12x²

f''(x) =

• (1 – x + 12x)² x >> 0
• -1 < x < 0
• x < -1

Derivata Progressiva: 4,0

Lim f''(x) = Lim (– x + 12x² = a1

x-> -1 x-> 1 x-> 0

Lim f''(x) = Lim (1 + 12x² = a1

x-> 0

Lim f'(x) = Lim (1 - 2x)² = 1

in 0 e deriv.

max e min

x > 0

f'(x) = 1 + 12x²

1 + 12x = 0

12x² = 1

x = ±¹/_√12

x = −¹/_√12 max relativo

−1 < x < 0

f''(x) = 1 + 12x² sempre > 0

x < −1

f'(x) = 1 + 12x² sempre > 0

lim x→±∞ x + ± 4x³ = ±∞

→ è max assoluto x = 1/√12, le min non c'è

2. invertibilità e dominio e codominio dell'inversa

• intervallo (0,1/_√2)
• derivata df/dy

f(x) = sin(π/2 cos x)

fI'(x) cos(±π/2 cos x)

−(sen x) = −π/2 sen x cos(π/2 cos x)

π/2 → x, y = (±)

cos x decrescente → x₁ < x₂ → h(x₁) > h(x₂)

sen(x) crescente → y₁ > y₂ → g(y₁) < g(y₂)

→ f(c)g«

f(x) = g(h(x))

h(x) →

g∘g(x) ↓

FUNZIONE COMPOSTA

D_f (0, π/2 )

d²f/dy

dy/d <°(y₀) = ±1/fI'(x)

y₀ = ±

±1/_√2)

fI(x) > d{°} = ² = sen(π/2)f''(x)

1)

cos x = ^π/₄

cos x = ^π/₄

x = ^π/₃

y’(^π/₃) = -π ·^√3/_{2 · 2 · 2} = ^-π/2√3/₈

^{d y = - ∫}/ ∫(0)

dy/dx = 0

(0,90)

B)

Per quali valori di α e β la f(x) e continua e derivabile?

f(x) = ^{ln(x²+x+1)+α}, x > 0

f(x) = ^sin(2βx), x < 0

D = ℝ

Continuità

lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0 ln(x²+x+1) + α ⇒ lim_x→0 sin(2βx) ⇒ α = 0

f(x) = ^{2x + 1}, x > 0

x² + x + 1

2β cos(2βx), x < 0

Derivabilità

lim_x→0⁺ ^{2x + 1}/_{x² + x + 1} = lim_x→0⁻ 2β cos(2βx)

x→0, 2β cos(2βx)

1 = 2β ⇒ β = ¹/₂

^{intervalle piu}