Analisi matematica 1

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Author: giuseppe.lanzon

Revisionato il 16/05/2026

di giuseppe.lanzon

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Appunti del corso semestrale di analisi 1 del prof. Amos Uderzo sia per esame intero che per primo e secondo parziale. Gli appunti comprendono anche le esercitazioni svolte in classe. Primo …

Esame Analisi matematica

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. Uderzo Amos

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2016-2017

108 pagine

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ANALISI MATEMATICA I

Definizione di insieme: È un insieme di elementi e viene definito tale se c'è una legge chiara e non ambigua che definisce l'insieme.

A = insieme ∈ = appartenenza Es.: x ∈ A

A = {u, z} = {z, u} => con la parentesi graffa non importa l'ordine degli elementi.

Nel caso in cui l'insieme di oggetti si inserisce nell'insieme la legge non ambigua. Ad esempio prendiamo l'insieme P dei numeri pari:

P = {0, 2, 4, 6, 8,…} = { n ∈ N : n divisibile per 2 } _{LEGGE NON AMBIGUA}

Simbologia:

∀ = "per ogni" (quantificatore logico)
∃ = "esiste almeno uno"
∃! = "esiste ed è unico"

∅ = Insieme vuoto

Inclusione: A, B insiemi in senso matematico A ⊆ B se per definizione => ∀a ∈ A, a ∈ B;

Uguaglianza tra insiemi: A = B se per definizione => { ∀a ∈ A, a ∈ B ∀b ∈ B, b ∈ A

Negazioni: x ∉ A => x non appartiene ad A

Inclusione propria o stretta: A ⊂ B se per definizione ∀a ∈ A, a ∈ B e ∃ b ∈ B tale che b ∉ A

Insiemi numerici:

N = {0, 1, 2, 3, 4, …} numeri naturali
Z = { …, -1, 0, 1, 2, -2, -3, 3,… } numeri interi
Q = { ¹/₃, ¹/₄, ¹/₂, ¹/₇, ⁸/₁, ³/₁₆,… } numeri razionali del tipo ⁿ/_m, n,m ∈ Z, m ≠ 0

R = numeri reali: in forma decimale sono numeri che presentano dopo la virgola una successione qualsiasi di cifre eventualmente infinite e non periodiche

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

ANALISI MATEMATICA I

Definizione di insieme:

È un insieme di elementi e viene definito esso s'è una legge chiara e non ambigua che definisce l'insieme.

A = insieme

∈ = appartenenza

Es.: x ∈ A

A = {u, z} = {z, u} => con la parentesi graffa non importa l'ordine degli elementi.

Nel caso in cui l'insieme di elementi si inserisce nell'insieme la legge non ambigua. Ad esempio prendiamo l'insieme P dei numeri pari:

_{P = {0, 2, 4, 6, 8...}} = _{{n ∈ IN : n è divisibile per 2}} _{LEGGE NON} _AMBIGUA

Simboli:

∀ = "per ogni" (quantificatore logico)
∃ = "esiste almeno un"
∃ ! = "esiste ed è unico"
Ø = insieme vuoto

Inclusione:

A, B insieme in senso matematico A ⊆ B se per definizione => ∀ a ∈ A, a ∈ B;

Uguaglianza tra insiemi:

A = B se per definizione => {∀ a ∈ A, a ∈ B {∀ b ∈ B, b ∈ A

A ⊆ B

B ⊆ A

Negazioni:

x ∉ A => x non appartiene ad A

Inclusione propria o stretta

A ⊂ B se per definizione ∀ a ∈ A, a ∈ B e ∃ b ∈ B tale che b ∉ A

Insiemi numerici

_{IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...} numeri naturali}

_{Z = {0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, ...} numeri interi}

Q = _{{ ^{1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 4/1} } numeri razionali del tipo ^m/n m, n ∈ Z}

ℝ = numeri reali: in forma decimale sono numeri che presentano dopo la virgola una successione qualsiasi di cifre eventualemente infinite e non periodiche

IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Dimostrazione Teorema

Teorema: Non esiste un numero razionale il cui quadrato è 2. Equivalente: √2 ∉ ℚ. Osservazione: Se n ∈ ℤ dispari => n² è dispari.

Dimostrazione: Nega la tesi. Suppongo che ∃ q ∈ ℚ : q² = 2. => ∃ m, n ∈ ℤ con n ≠ 0 => ( ^m/_n )² = 2

Senza perdita di generalità m e n ∈ ℤ sono primi tra loro => MCD(m,n) = 1.

n² ⋅ 2 = m² m² è uguale a due volte un altro numero quindi non può essere divisibile per 2.

Dato l'osservazione n è pari => ∃ k ∈ ℤ ⇒ n = 2K => (2k)² = 2m² => 4k² = m² => 2k² = m² m² è uguale a due volte un altro numero, analogamente m² pari => m è pari.

Essendo sia n ed m entrambi pari, hanno entrambi un fattore comune che è 2. Questo contraddice le supposizione che m ed n non sono primi fra loro. La tesi quindi risulta essere vera √2 ∉ ℚ.

Operazioni tra insiemi

Intersezione: A, B insiemi

A ∩ B = { x | x ∈ A, x ∈ B }Esempio: P: numeri naturali pariD: numeri naturali dispariP ∩ D = Ø

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