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Analisi Matematica I
Definizione di insieme: È un insieme di elementi e viene definito così se c’è una legge chiara e non ambigua che definisce l’insieme.
- A = insieme
- ∈ = appartenenza Es.: x ∈ A
- A = {1,2} ; A = {2,1} → Con la parentesi graffa non importa l’ordine degli elementi.
Nel caso in cui l’insieme è definito in base all’insieme la legge non può essere ambigua. Ad esempio prendiamo l’insieme P dei numeri pari:
P = { 0, 2, 4, 6, 8... } ={ n ∈ N : n è divisibile per 2 }
Simbologia:
- ∀ = “per ogni” (quantificatore logico)
- ∃ = “esiste almeno un”
- ∃! : = “esiste ed è unico”
- ∅ = insieme vuoto
Inclusione: A, B insiemi in senso matematico
A ⊆ B se per definizione → ∀a ∈ A, a ∈ B;
Ugualianza tra insiemi:
A = B se per definizione → { ∀a ∈ A, a ∈ B ∧ ∀b ∈ B, b ∈ A } ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Negazioni:
x ∉ A ⇒ x non appartiene ad A
Inclusione propria o stretta
A ⊂ B se per definizione ∀a ∈ A, a ∈ B e ∃b ∈ B tale che b ∉ A
Insiemi Numerici
ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } numeri naturali
ℤ = { 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, ... } numeri interi
ℚ = { 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... } numeri razionali del tipo m/n, m, n ∈ ℤ m/z
ℝ = numeri reali: in forma decimale sono numeri che presentano dopo la virgola una successione qualsiasi di cifre eventualmente infinite e non periodiche
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Dimostrazione Teorema
Teorema: Non esiste un numero razionale il cui quadrato è 2.
Equivalentemente: p/q ∈ ℚ ⇒ L'unico figlio di 9²=2.
Osservazione: n ∈ ℤ dispari ⇒ n² è dispari.
Dimostrazione: Nega la tesi. Suppongo che p/q ∈ ℚ. p/q = 2.
(m/n) = m²/n² = 2 ⇒ m² = 2n².
Senza perdita di generalità n e m ∈ ℤ sono primi tra loro m²=2n².
2 div n² quindi c'è un altro numero quindi pe²
Dato l'osservazione n è pari => ∃ k ∈ ℤ → n = 2k =>
(2k)² = 2m² ⇒ 4k² = 2m² ⇒ 2k² = m²
m² è uguale a due volte un altro numero, analogamente m² pari => m è pari.
Essendo sia n ed m entrambi pari, hanno entrambi un fattore comune che è 2. Questo contraddice la supposizione che n ed m non sono primi fra loro. La tesi quindi risulta essere vera √2 ∉ ℚ.
Operazioni tra Insiemi
- Intersezione: A,B insiemi
- A ∩ B = { x : x ∈ A, x ∈ B }
- Esempio: T= numeri naturali pari D= numeri naturali dispari
- P ∩ D = ∅
- Unione: A,B insiemi
- A ∪ D = { x : x ∈ A oppure x ∈ B }
- Esempio: ℕ = P ∪ D
- Differenza: A,B insiemi
- A \ B = { x : x ∈ A, x ∉ B }
- Prodotto cartesiano: A,B insiemi
- A x B = { (a,b) : a ∈ A, b ∈ B }
- Esempio: A={1,3} B={4,5}
- A x B = { (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5) }
- Insieme Complementare:
- X A = AC = { x ∈ X : x ∉ A }
- { x ∈ AC }
- = X \ A
- Esempio: P = ℕ \ P = D
Assioma di Continuità
(Proprietà dell'Estremo Superiore)
Ogni insieme E ⊆ ℝ limitato superiormente possiede estremo superiore in ℝ
E = { 9 ∈ ℚ | 9 > 0, 91, 92 }
Se vale questa proprietà, allora è anche vero che ogni sottoinsieme di ℝ non vuoto e inferiormente limitato possiede estremo inferiore in ℝ.
Valore Assoluto
a ∈ ℝ
Definizioni:
- |a| = a se a ≥ 0
- |a| = -a se a < 0
Il valore assoluto è sempre non negativo ∀ x ∈ ℝ |x| ≥ 0
|x| < a ⟺ -a < x < a
x ≥ b oppure x ≤ -b
∀ x ∈ ℝ -|x| ≤ x ≤ |x| ∀ y ∈ ℝ -|y| ≤ y ≤ |y|
|x+y| ≤ |x| + |y| |x-y| ≤ |x| + |y| => Disuguaglianza Triangolare
Altre Proprietà
- a, b ∈ ℝ |a · b| = |a| · |b| |a/b| = |a|/|b|
- -|a| ≤ a ≤ |a|
- |a| ≤ b -b ≤ a ≤ b
- |a+b| ≤ |a| + |b|
Intervalli e Semirette
a, b ∈ ℝ a ≤ b
- [a,b] = {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso
- ]a,b[ = (a,b) = {x ∈ ℝ : a < x < b} intervallo aperto => [a,b[
- [a,b[ = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b} => ]a,b]
- ]a,b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b} => [a,+∞[
- ]a,+∞[ = {x ∈ ℝ : x > a} => ]-∞,a]
- ]∞,a[
Funzioni Composte
A, B, C, D insieme f: A → B g: C → D
(g o f)(x) = g(f(x))
Esempio: f: ℝ → ℝ g:[0,+∞[ → ℝf(x) = 1/(1+x²)g(y) = √y
1/1+x² > 0 ∀ x ∈ ℝ f(A) ⊆ [0,1] ⊆ [0,+∞[(g o f)(ℝ) = g(f(x)) = √(1/(1+x²))
DEFINIZIONE
Una funzione f : D → R con D ⊂ R è detta invertibile se ∃ g : f(D) → D tale che (g∘f)(x) = g(f(x)) = x ∀x ∈ D e (f∘g)(y) = f(g(y)) = y ∀y ∈ f(D).
INVERSA DI f in D
Esempio
f : R → (0, +∞)
D
f(D)
g(f(x)) = x ∀x ∈ R lx* = x = Id xy = g(y) = ln y
f : è invertibile in R e f-1(y) = ln y
y ∈ (0, +∞)
OSSERVAZIONE
Una funzione f è detto invertibile se e soltanto se essa è biiettiva f : D → R è invertibile sse f è biittiva tra D e f(D), cioè ∀y ∈ f(D) ∃! x ∈ D : y = f(x)
TEOREMA
Una funzione f : D → R strettamente monotona (x1 > x2 ⇒ f(x1) > f(x2) ∨ f(x1) < f(x2)) in D è invertibile in D, inoltre f-1 è strettamente monotona.
3. DAL GRAFICO DI f AL GRAFICO DI f-1
(x0, 1/x0) ∈ G(f-1) f invert.Il grafico di f-1 si ottiene come simmetria di f rispetto alla bisettrice I e III
Esercizio 5
f(x) = min { ln(x + 3), 2/3 }
C.E.(d) = { x ∈ ℝ, x ≠ -3 ∨ x ≠ 0 } = (-3; 0) ∪ (0; +∞)
f1(x) = ln(x + 3)
f2(x) = 2/3
f3(x) = 1/x => y = 1/x => xy = 1, iperbole equilatera
Esercizio 6
f(x) = | |x+1| - 1 |
C.E.(d) = ℝ
f1(x) = |x|
f2(x) = |x+1|
f3(x) = |x+1| - 1
f4(x) = | |x+1| - 1 |
DEFINIZIONE:
Se n→+∞ an = +∞, {an} è detta infinitesima
Se n→+∞ an = ±∞, {an} è detta infinita
ALGEBRA DEI LIMITI
per successioni infinitesime e infinite
an, bn ∈ R
n→+∞ a+∞ = +∞
SOMMA
- a-∞ = -∞
- +∞ + b = +∞
- -∞ b = -∞
- +∞ -∞ = F.I.
PRODOTTO
- anbn → a = ∁ ∞
- an = ∞ ⇒ a ≠ 0
FORME DI INDETERMINAZIONE
- +∞ -∞
- ∞0
- 0∞
- 00
- 00
TEOREMA:
La successione an = (1 + 1⁄n)n è convergente
Si ha n→+∞ lim (1 + 1⁄n)n = e
DIMOSTRAZIONE
(Idea di dimostrazione)
an = (1 + 1⁄n)n successione monotona crescente
an+1 > an
2 ≤ (1 + 1⁄n)n ∀n ∈ N successione limitata
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