Formulario Analisi Matematica 1

1)

• L'insieme in _Z, _Z⁺
• Principio di induzione.
• L'insieme _Q e assiomi.
• Descrizione di numero irrazionale.
• L'insieme _R e relativi sottoinsiemi.
• Intervalli.
• Vocabolario rimanente di un sottoinsieme.
• Sottoinsieme limitato (superiormente ed inferiormente).
• Massimo e minimo assoluti, estremo superiore ed inferiore di un sottoinsieme.
• Intorno sferico di un punto.
• Intorno sferico bucato.
• Intorno dx e sx di un punto.
• Punto di accumulazione di un sottoinsieme.
• Punto isolato di un sottoinsieme.

2)

• Funzione reale di una variabile reale.
• Immagine e controimmagine di un numero tramite la funzione.
• Funzione suriettiva, iniettiva e biettiva.
• Invertibilità di una funzione e funzione inversa.
• Grafico di una funzione ed eventualmente della rispettiva funzione inversa.
• Funzione pari e dispari.
• Monotonia delle funzioni.
• Invertibilità delle funzioni strettamente monotone.
• Funzioni limitate (superiormente e inferiormente) maggiorante, minorante, massimo e minimo assoluti, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione.
• Funzioni elementari.
• Funzioni composte.

3)

• Introduzione al concetto di limite di una funzione in un punto e all'infinito.
• Funzioni regolari (convergenti e divergenti), irregolari per x → x₀.
• Definizione di funzione convergente e divergente per x → x₀ e x → ±∞
• Definizione di limite dx e sx.
• Teorema dell'unicità del limite.
• Teorema del confronto dei limiti.
• Limite notevole: lim_x→x ^x
• Studio del comportamento delle funzioni elementari agli estremi del loro dominio.
• Limite di una funzione composta.
• Limite di una combinazione lineare, del prodotto, del rapporto di funzioni.
• Limite di una funzione nella forma f(g^h)
• Indeterminate: ∞ - ∞ , 0/0, ∞⁰, 1^∞ e 0^∞
• Limiti notevoli
  • lim_x→∞(1 + x)^x = e¹
  • lim_x→0log(1+x)/x = 1
  • lim_x→∞X^x/X = 1

Derivabilita' in un punto e in un insieme di una funzione.

Definizione di derivata prima in un punto e in un insieme di una funzione.

Derivabilita' a dx e sx. ✓

Derivate successive ✓

Interpretazione geometrica della derivata in un punto, retta tangente al

grafico di una funzione in un punto. ✓

Derivabilita' delle funzioni elementari nel loro dominio. ✓

Teorema sulla derivabilita' di una funzione composta. ✓

Teorema sulla derivabilita' di una combinazione lineare, prodotto e rapporto

di funzioni. ✓

Teorema sulla derivabilita' di una funzione inversa. ✓

Derivabilita' e continuita' di una funzione in un punto.

Estremi relativi di una funzione (max e min relativi). ✓

Teorema di Fermat ✓

Teorema di Rolle ✓

Teorema di Cauchy ✓

Teorema di de L'Hospital ✓

Criterio per stabilire la derivabilita' in un punto di continuita' di una

funzione. ✓

Classificazione dei punti di non derivabilita': Pti angolosi, di

cuspidie e di flesso a tq. verticale.

Teorema sulle funzioni a derivata nulla in un intervallo. ✓

Punti di flesso ✓

Teorema sulla concavita' e convessita' di una funzione in un intervallo

in base al segno della derivata seconda. ✓

Ricerca dei punti di flesso. ✓

Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. ✓

Studio del grafico di una funzione. ✓

Argomenti nel formulario

1. Limiti notevoli
2. Tabelle derivate
3. Metodo Risolut. Limiti
4. F. iniett.-sovrattietiva
5. Formule parametriche e ciliche
6. C. 7 degli zeri; C. di Weierstrass
7. Grafici funzioni elementari
8. Continuita'-discontinuita'
9. C. derivabilita' in un punto
10. Pti di non derivabilita'
11. Dominio di derivabilita' elementari
12. Studio di funzione
13. Invertibilita' di una funzione
14. Derivaz. funzione inversa
15. Teoremi cauchy
16. Es. superiori/infer. - min e max
17. P. induzione

P. Hospital; P. Fermat; P. Rolle; P. Lagrange

23) lim_x→0 e^x-1 / x = 1

24) lim_x→0 log_e (1+x) / x = 1 / log_e a

25) lim_x→0 (a^x - 1) / x = log_e a

29) lim_x→0 1 - cos x / x = 0

26) lim_x→0 1 - cos x / x² = 1/2

27) lim_x→π/2 tg x = +∞

28) lim_x→-π/2 tg x = -∞

29) lim_x→0 arctg x = 0

30) lim_x→+∞ arctg x = π/2

31) lim_x→-∞ arctg x = -π/2

32) lim_x→0 cotg x = +∞

33) lim_x→+∞ cotg x = 0

34) lim_x→-∞ cotg x = 0

35) lim_x→+∞ ax/etg x = 0

36) lim_x→0 a^t-1 / t) = log a

37) lim_x→0 (1+x)^1/x - 1 / t = α

Tabella Derivate

• 1. Dk x = 0
• 2. Dx x = 1
• 3. D_x² = 2x
• 4. D_x³ = 3x²
• 5. D_1/x = -1/x²
• 6. D_√x = 1/2√x (x>0)
• 7. D_3√x = 1/3x^2/3 (x>0)
• 8. D_xⁿ = n x^n-1
• 9. D_x = -nx^-1-n
• 10. D|x| = 1 se x > 0
• 11. = -1 se x < 0
• 12. = 0 se x = 0
• 14. D_a^x = a^x log a
• 15. D_e^x = e^x
• 13. D_{loga x} = 1/x log_e (a ≠ 1)
• 13. D_{loga x} = 1/x log_e (a ≠ 1)
• 14. D log x = 1/x
• 15. D sin x = cos x
• 16. D cos x = -sin x
• 17. D tg x = 1/cos² x
• 18. D cotg x = -1/sin² x
• 19. D x^m/n = n√x^m/n-1
• 20. D arcsin x = 1/√1-x²
• 21. D arccos x = -1/√1-x²
• 22. D arctg x = 1/1+x²
• 23. D arccotg x = -1/1+x²
• 24. D_xⁿ = x^n-1 x
• 25. D(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• 26. D(f(x)/g(x)) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x) / [g(x)]²
• 27. D sinh x = cosh x
• 28. D cosh x = sinh x
• 29. D setl sinh x = 1/√(l+x²)
• 30. D setl cosh x = 1/√²-1
• 31. D tg h x = 1/cosh² x
• 32. D seth tg h x = 1/1-x²
• 33. D seth cotg h x = 1/x²-1

Teorema dell'esistenza degli zeri

Def: x₀ ∈ ℝ si dice zero di f sef(x₀) = 0

Sia f continua in un intervallo ISiano a, b ∈ I (a x₁ e per x > x₂

• (Δ₁ = ^lim_x→x1 f(x))
• (Δ₂ = ^lim_x→x2 f(x))

Sia Δ₁, Δ₂ < 0 ⇒ ∃ c ∈ (x₁, x₂) f(c) = 0

Teorema di WeierstrassSia f continua in [a, b]

Allora f è dotata di massimo e minimo assoluti.

Grafico funzioni elementari

f : ℝ → ℝx → y = g(x) = k

Proprietà:1) Non è iniettiva ⇒ non è invertibile2) È pari3) max f = min f

f : ℝ → ℝx → y = g(x) = x

Proprietà:1) È iniettiva ⇒ invertibile2) È dispari3) Illimitata

La sua inversa èf^-1 : ℝ → ℝx = g^-1(y) = y

Stesse proprietà della sua inversa.