Analisi 1, primo esonero, prof. Natalini

ANALISI II

prof. Pierpaolo Natalini

• 4 appelli (fine gennaio, giungo, luglio, settembre)
• L'esercizio n.8 diventerà probabilmente il 1 ora e mezzo. Esercizi in fila a quel punto (fino a studio di funzioni, integrali esclusi)

[Le cose spiegate alla prima settimana difficilmente saranno chieste all'esame]

N: insieme degli elementi naturali

Bisogna adottare degli ASSIOMI, ossia proprietà che non possono essere dimostrate:

• Supponiamo di prendere 2 elementi a, b
• ∀a, b ∈ N
• a = b   significa che a e b sono lo stesso elemento

1. PROPRIETÀ RIFLESSIVA: un qualsiasi elemento di N è uguale a se stesso, ∀a ∈ N, a = a
2. PROPRIETÀ SIMMETRICA: ∀a, b ∈ N, a = b ⇒ b = a
3. PROPRIETÀ TRANSITIVA: ∀a, b, c ∈ N, a = b, b = c ⇒ a = c
4. ASSIOMA: ∀a, b ∈ N, a + b ∈ N (N è un insieme chiuso rispetto alla somma a + b ∈ N e al prodotto)
5. PROPRIETÀ COMMUTATIVA: ∀a, b ∈ N, a + b = b + a, a · b = b · a
6. PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: ∀a, b, c ∈ N, (a + b) + c = a + (b + c), (a · b) · c = a · (b · c)
7. PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA: ∀a, b, c ∈ N, (a + b) · c = a · c + b · c

CARATTERIZZA IL NUMERO 1: 1 ¬= 1 ∈ N / ∀a ∈ N, 1 ¬= a esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto

Questi assiomi consentono tutta l'algebra dei numeri naturali

Esercizio: dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto al prodotto in N:

• ∃ε ∈ N / ∀a ∈ N, ε · a = a
• 1 · ε = ε, 1: ♠ ε = 1 ⇒ ε = 1

Cerco un elemento neutro rispetto alla somma, allora costruisco

• 0 ∈ N / ∀a ∈ N, a + 0 = a

N₀ = N ∪ {0}

N ⊂ N₀ ⇒ tutti gli assiomi in N valgono anche per N₀

6^o ASSIOMA: ∀a ∈ N₀, a + 0 = a

dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto alla somma in N₀:

• ∃Θ ∈ N ∉ ∀a ∈ N / Θ + a = a
• 0 + Θ = Θ, 0 + Θ = 0 ⇒ Θ = 0

0 ¬= N (dato che 0 ∈ NΘ è unico, se non ci fosse ci sarebbe io in N)

Esercizio:

∀a∈ℕ₀, a·0=0 dimostrare

a·a·1: (1+0) a+a·0

a·a·(a·0) ⇒ a·0·0

azione dell'elemento neutro

Definizioni

∀a∈ℕ₀, si dice successivo di a l'elemento a+1

0+1=1 successivo di 0

1+1=2 successivo di 1

1 modo assicura che, 2 ≠ 0

2 ≠ 0 perché 1+1 è una somma di due numeri naturali, anche il loro risultato deve esserlo, mentre 0 non lo è

2+1=3

3+1=4 ≠

• 0 perché a∉ℕ
• 1 perché > 3·0
• 2 perché 3+1=2+1+1=2+2 ⇒ 2·0
• (3 ⇒ ) = 0

0→1→2→3→4

ℕ₀ contiene infiniti elementi

3+2=3+(1+1)=(3+1)+1=4+1=5

C'è R successivo di qualcosa

dimostrazione ⋲∃ℕ ∃f ε+1=0

⋲ ℕ

∈ℕ

ε=0 V ∈≠0

0+1≠0

ε∈ℕ ≠

⋲.⋲: ℕ₀ 2⋲→0→1→2→3→4→

? ⋲∃⋲ℕ⋲ ε∉A

se fosse vero, potrei definire infiniti numeri che non appartengono ad A

ε⇒ε+1 ⇒(ε+1) +1...

5° postulato di Peano o principio di induzione:

Sia 0∈A c ⋂ℕ₀

1. 0 ∈ A

2. se a ∈ A ⇒ a+1 ∈ A

dimona A=ℕ₀

è impossibile: che si fermi una catena indipendente