Analisi 1, primo esonero, prof. Natalini

ANALISI 1

Luigi Pampaloni, Giorgio Russo, Ruggero Vaccari

1 lezione: Da definire, probabilmente 1 ora e mezzo. Esercizi fino a quel punto (fino a studio di funzioni, integrali esclusi)

(le cose spiegate alla prima settimana difficilmente saranno chieste all'esame)

N: insieme di numeri naturali:

Bisogna studiare degli ASSIOMI, ossia proprietà che non possono essere dimostrate:

Supponiamo di prendere 2 elementi a, b

• ∀a, b ∈ N

a = b significa che a e b sono lo stesso elemento

1. Proprietà riflessiva: un qualsiasi elemento di N è uguale a se stesso,∀a ∈ N, a = a
2. Proprietà simmetrica: ∀a, b ∈ N, a = b ⇒ b = a
3. Proprietà transitiva: ∀a, b, c ∈ N, a = b, b = c ⇒ a = c

1^o Assioma: ∀a, b ∈ N, a + b ∈ N

N è un insieme chiuso rispetto alla sommaa · b ∈ N e al prodotto

1. Proprietà commutativa: ∀a, b ∈ N, a · b = b · aa · b = b · a
2. Proprietà associativa: ∀a, b, c ∈ N, (a · b) · c = a · (b · c)(a · b) · c = a · (b · c)
3. Proprietà distributiva: ∀a, b, c ∈ N, (a + b) · c = ac + bc
4. Caratterizza il numero 1: 1 ≠ 1 ∈ N, ∀a ∈ N, a · 1 = aesistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto

Questi assiomi consentono tutta l'algebra dei numeri naturali

Esercizio: dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto al prodotto in N

Si verifica per assurdo ⇒ ∃ε ∈ N, ∀a ∈ N, ε · a = a

1 · ε = ε   0,  1 · ε = 1 ⇒ ε = 1

Cerco un elemento neutro rispetto alla somma, allora lo costruisco

0^o: ∀a ∈ N, a + 0 = a

N₀ = N ∪ {0}, N ⊆ N₀ ⇒ tutti gli assiomi in N valgono anche per N₀

6^o Assioma: ∀a ∈ N₀, a + 0 = a

Dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto alla somma in N₀

∃0 ∈ N₀, ∀a ∈ N, a + 0 = a

0 + ε = ε  0,  0 + ε = 0  ⇒ ε = 0

0 ∈ N (dato che 0 ∈ N₀ è unico se non ci fosse già situerebbe in N)

ANALISI 1

prof. Pierpaolo Natalini

4 appelli (giugno, luglio, settembre)

L'esercizio n9 diendere prodozionalmente 1 ora e mezzo esserti fino a quel punto (fino a studio di funzioni, integrali esclusi).

[le cose spiegate alla prima settimana difficilmente saranno chieste all'esame]

N: insieme di numeri naturali:

Bisogna studiare degli ASSIOMI, ossia proprietà che non possono essere dimostrate. Supponiamo di produrre 2 elementi, a, b

∀a, b ∈ N

a = b significa che a e b sono lo stesso elemento.

1. PROPRIETÀ RIFLESSIVA: un qualsiasi elemento di N è uguale a se stesso, ∀a ∈ N, a = a.
2. PROPRIETÀ SIMMETRICA: ∀a, b ∈ N, a = b ⇒ b = a.
3. PROPRIETÀ TRANSITIVA: ∀a, b, c ∈ N, a = b, b = c ⇒ a = c.
4. 1° ASSIOMA: ∀a, b ∈ N, a + b ∈ N (N è un insieme chiuso rispetto alla somma).
5. 2° PROPRIETÀ COMMUTATIVA: ∀a, b ∈ N, a + b = b + a (ab = ba)
6. 3° PROPRIETÀ ASSOCIATIVA: ∀a, b, c ∈ N, (a + b) + c = a + (b + c)(ab)c = a(bc)
7. 4° PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA: ∀a, b, c ∈ N, (a + b)c = ac + bc
8. 5° CARATTERIZZA IL NUMERO 1: 1 ∈ N, ∀a ∈ N, a · 1 = a (esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto).

Questi assiomi consentono tutta l'algebra dei numeri naturali.

Esercizio: dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto al prodotto in N.

Si verifica per assurdo ⇒ ∃ε ∈ N, ∀a ∈ N, ε · a = a.

1 · ε = ε, 1 · ε = 1 ⇒ ε = 1.

Cerco un elemento neutro rispetto alla somma, allora lo costruisco.

0+ ∀a ∈ N, a + 0 = a.

N = N ∪ {0}

N ∪ {0}

N = N₀ ⇒ tutti gli assiomi in N valgano anche per N₀.

6° ASSIOMA: ∀a ∈ N₀, a + 0 = a.

Dimostrare che esiste un unico elemento neutro rispetto alla somma in N₀.

∃0 ∈ N₀, ∀a ∈ N₀, a + 0 = a.

0 + ε = ε, 0 + ε = 0 ⇒ ε = 0.

0 ∈ N (dato che 0 ∈ N, 0 è unico, se non ci fosse ci sarebbe in N).

Esercizio:

    ∀a∈ℕ₀ a∙0=0 dimostrare

        a∙0= a∙1-1= a∙(1+0