Analisi 1 - Schemi per risolvere esercizi di esame

LE SERIE

∑ a_nlim S_n^{n → +∞} ∑ diverge1 indeterminata

SERIE DI MENGOLI

∑ 1/(n(n+1))SERIE GEOMETRICHE∑ a_nqⁿ

SERIE ARMONICHE∑ a_n^{n → +∞} log(n) diverge∑ 1/n diverge

1) CRITERIO DEL CONFRONTO2) CONFRONTO ASINTOTICO3) CRITERIO DEL RAPPORTO4) CRITERIO DELLA RADICE5) CONDIZIONE NECESSARIA6) TEOREMA DEL VAL. ASSOLUTO7) CRITERIO DI LEIBNITZ

Se un integrale converge o diverge(n+1)!/n! = 1/ncos(1+1/n) ~ 1/n

LE SERIE

∑_n=1^∞ a_n

lim S_nn→∞ => S > ∞ DIVERGE

lim S_nn→∞ => ∞ CONVERGE

lim S_nn→∞ INDETERMINATA =lim a_nn→∞ ≠ 0 DIVERGE

SERIE DI MENGOLI

∑_n=1^∞ 1/(n(n+1))

SERIE GEOMETRICHE

∑_n=0^∞ qⁿ lim S_nn→∞lim_n→∞

SERIE ARMONICHE

∑_n=1^∞ 1/n p d := 1 CONVERGEd = 1 DIVERGE

1) CRITERIO DEL CONFRONTO

0 ≤ a_n ≤ b_{n se ∑ bn CONVERGE ⇒ ∑ an CONVERGEse ∑ bn DIVERGE ⇒ ∑ an DIVERGE}

2) CONFRONTO ASINTOTICO

lim a_n/b_n = 1 ⇒ ∑ a_n CONVERGE ∑ a_n DIVERGE

3) CRITERIO DEL RAPPORTO

lim_n→∞ a_n+1/a_n < 1 CONVERGE> 1 DIVERGE = 1

4) CRITERIO DELLA RADICE

lim_n→∞ a_n^1/n = e¹ DIVERGE< 1 CONVERGE > 1 DIVERGE

5) CONDIZIONE NECESSARIA

quando non riesco ad applicare nulla ⇒ lim a_n = 0 

6) TEOREMA DEL VAL. ASSOLUTO

∑_n=1^∞ |a_n| conv  = |∑_n=1^∞ a_n Convee 

7) CRITERIO DI LIEBNITZ (solo per serie a segno alternato, cioè con (-1)ⁿ)se ∑ a_n crescente CONVERGEa_n+1 ⊂ a_n decrescente 

Se un'integrale => anche la serie => DIVERGE(n+2)! = (n+2)*(n+1)*n!

(n+2)!/n! = 1/n + (n+1)/n!= n+1

1/n (1+ 1/n)^1/2 ~ ⇒ 1/√n

Successioni

(a_n)_n

• se a_n è illimitata => diverge
• se a_n è limitata (E ∃ r) può convergere ma non sempre converge

Successioni elementari

n^a, a > 0 => diverge a +∞

Geometriche

qⁿ, q > 1 => → → →

Confronto tra infiniti

• lim (a_n / b_n) = E ∈ ℝ⁺ a_n e b_n infiniti dello stesso ordine
• E = 0 a_n ≤ b_n
• E = +∞ a_n ≥ b_n

Gerarchia infiniti

nⁿ, n!, n², qⁿ, n^a, logn, cosn

Criterio del rapporto

• lim (a_nten() / a_n) = e ∃ ε>1 n→+∞
• ε k → x < -k ∨ x > k → x ∈ ℝ\(-k, k)

  ϵ (ℝ)

  f(x) > g(x) → ↓telo dalla seconda

  studio ↓ = 0

  f(x)>|g(x)| → ↓telo alla seconda

  senza problemi

  f(x) ∣ -b(x) ≥ b(x)

  f(x) ∼ π(x)

  3x(.)

  f(x) ∼ R(x) 0 +

  A(x) ≤ B(x) A(x) > 0

  B(x) > 0

  A(x) < [B(x)]ⁿ

  A(x) > B(x) B(x) > 0 ∪ B(x) ≥ 0

  [A(x) > 0

  A(x) > [B(x)]ⁿ

  αloga^x = x

  x < 0

  log_x = logx

  logₘb²

  |x| - 1 ≥ 0

  • x ≥ 0
  • x² - 1 ≥ 0
  • x ≥ 1

  ∪ x < 0

  • -x² - 1 ≥ 0
  • mai

  LIMITI

  x → x₀

  x → ∞

  INFINITESIMI

  lim_x→x₀ f(x) g(x)≫g(x) ℓ=0

  f(x)≫g(x) ℓ=∞

  In una somma di infinitesimi si possono trascurare quelli di ordine maggiore

  TABELLA

  • lim_x→0 ^senx/_x = 1
  • lim_x→0 ^1-cosx/_x² = 1/2
  • lim_x→0 ^log(1+x)/_x = 1
  • lim_x→0 ^eˣ-1/_x = 1
  • lim_x→0 ^(1+x)α/_x