Formulario Analisi matematica 1

Formulario di Analisi 1

Alessandro Feliziani

Formule utili Disuguaglianza trangolare

|x ≤ |x| |y|.

+ y| +

Fattorizzazione di Secondo Grado

2

Dato ax + bx + c: Scomposizione ∆ < 0 2

· ·

m + n = b, m n = a c p p

2 2 −

x + px + q = (x + ) + (q )

2 4

2

ax + bx + c = a(x + m)(x + n) più in generale √ −∆

b

Fattorizzazione di Terzo Grado 2 2 2 ̸

ax + bx + c = a[(x + ) +( ) ] a = 0

2a 2a

3 2

Dato p(x) = ax + bx + cx + d: logaritmi

− ·

p(x) = (x r) q(x) ·

log (x y) = log (x) + log (y)

b b b

Differenza di Potenze

x −

log = log (x) log (y)

b b b

y

n n n−1 n−2 n−1

− − · · ·

x a = (x a) x + x a + + a k ·

log (x ) = k log (x)

Caso particolare: b b

log (x)

k

log (x) =

5 4 3 2

− −

x 1 = (x 1)(x + x + x + x + 1) b log (b)

k

log (1) = 0

b

Disegnare parabola log (b) = 1

b

2 1

̸

y = ax + bx + c a = 0 ·

log (x) = log (x)

k

b b

k

2

b 4ac−b

−

x = , y =

v v

2a 4a k ·

log (x ) = k log (x)

b b

√ 1

Disuguaglianza di Bernoulli k · log (x)

log ( x) = b

b k

n ≥ ∀n ∈ ∀x ≥ −1

(1 + x) 1 + nx N,

Binomio generalizzato n

n n n!

X

n n−k k

(a + b) = a b , = −

k k k!(n k)!

k=0

2 2 2 2

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc

3 3 2 2 3

(a + b) = a + 3a b + 3ab + b

3 3 3 3 2 2 2 2 2 2

(a + b + c) = a + b + c + 3a b + 3a c + 3b a + 3b c + 3c a + 3c b + 6abc

4 4 3 2 2 3 4

(a + b) = a + 4a b + 6a b + 4ab + b

4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(a+b+c) = a +b +c +4a b+4a c+4b a+4b c+4c a+4c b+6a b +6a c +6b c +12a bc+12b ac+12c ab+24abc

1

Trigonometria

Identità Pitagorica Formule di prostaferesi: Coseno

2

2

cos (α) + sin (α) = 1

−

α + β α β

cos(α)+cos(β) = 2 cos cos

2

2 −

cos (α) = 1 sin (α) 2 2

2 2

−

sin (α) = 1 cos (α)

−

α + β α β

−2

cos(α)−cos(β) = sin sin

1 2 2

2

cos (α) = 2

1 + tan (α)

2

tan (α)

2

sin (α) = 2

1 + tan (α) Formule di prostaferesi: Tangente e Cotan-

gente

Periodicità Tangente:

sin(α) sin(α + β)

tan(α) = tan(α) + tan(β) =

cos(α) cos(α) cos(β)

∈

cos(α + 2kπ) = cos(α), k Z −

sin(α β)

−

tan(α) tan(β) =

sin(α + 2kπ) = sin(α) cos(α) cos(β)

π

̸

tan(α + kπ) = tan(α), α = + kπ Cotangente:

2 sin(α + β)

cot(α) + cot(β) = sin(α) sin(β)

Relazioni inverse −

sin(α β)

p −

2

− cot(α) cot(β) =

cos(arcsin(x)) = 1 x sin(α) sin(β)

p 2

−

sin(arccos(x)) = 1 x

x

√

tan(arcsin(x)) = 2

−

1 x

√ 2

−

1 x

tan(arccos(x)) = x

1 Formule Trigonometriche Avanzate

√

cos(arctan(x)) = 2

x +1

x

√

sin(arctan(x)) = 2

x + 1 Formule di Somma e Sottrazione

Range delle funzioni periodiche −

cos(α β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)

−1 ≤ ≤ −1 ≤ ≤

cos(x) 1, sin(x) 1 −

cos(α + β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β)

π π π π − −

sin(α β) = sin(α) cos(β) cos(α) sin(β)

− − ≤ ≤

< arctan(x) < , arcsin(x)

2 2 2 2 sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)

≤ ≤

0 arctan(x) π −

tan(α) tan(β)

−

tan(α β) = 1 + tan(α) tan(β)

Formule di prostaferesi: Seno tan(α) + tan(β)

tan(α + β) = −

1 tan(α) tan(β)

−

α + β α β −

cot(α) cot(β) 1

sin(α) + sin(β) = 2 sin cos cot(α + β) =

2 2 cot(β) + cot(α)

−

α + β α β cot(α) cot(β) + 1

− −

sin(α) sin(β) = 2 cos sin cot(α β) = −

2 2 cot(β) cot(α)

2

Formule di Duplicazione Formule di Werner

sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) 1 − −

sin(α) sin(β) = [cos(α β) cos(α + β)]

2

2 2

−

cos(2α) = cos (α) sin (α)

2 1

−

cos(2α) = 1 2 sin (α) −

cos(α) cos(β) = [cos(α + β) + cos(α β)]

2

2 −

cos(2α) = 2 cos (α) 1 1 −

[sin(α + β) + sin(α β)]

sin(α) cos(β) =

2 tan(α) 2

tan(2α) = 2

−

1 tan (α)

2 −

cot (α) 1 Funzioni Iperboliche

cot(2α) = 2 cot(α) −x −x

x x

−

e e e + e

sinh(x) = , cosh(x) =

2 2

sinh(x)

Formule di Bisezione tanh(x) = cosh(x)

−

1 cos(α)

α

2 2 2

sin = −

cosh (x) sinh (x) = 1

2 2 2 2

cosh (x) = 1 + sinh (x)

α 1 + cos(α)

2 =

cos 2 2 sinh(x±y) = sinh(x) cosh(y)±cosh(x) sinh(y)

p −

1 cos(α)

α

cosh(x±y) = cosh(x) cosh(y)±sinh(x) sinh(y)

±

tan = p

2 1 + cos(α) ±

tanh(x) tanh(y)

±

tanh(x y) =

α sin(α) ±

1 tanh(x) tanh(y)

tan =

2 1 + cos(α) Relazioni inverse:

α sin(α)

p

cot = 2

arcsinh(x) = ln x + 1 + x

−

2 1 cos(α)

p 2 −

x 1

settcosh(x) = log x +

1 1+ x

setttgh(x) = log( )

−

2 1 x

Formule Parametriche α

2 tan 2

sin(α) = α

2

1 + tan Grafico della funzione coseno

2

α

2

−

1 tan 2

cos(α) = α

2

1 + tan 2

α

2 tan 2

tan(α) = α

2

−

1 tan 2

Formule di Razionalizzazione Grafico della funzione seno

α

Sia t = tan , allora:

2 2t

sin(α) = 2

1 + t 2

−

1 t

cos(α) = 2

1 + t

2t

tan(α) = 2

−

1 t 3

4

Studio di funzione

Dominio

Insiemi di definizione

• L’insieme di definizione di p

n ϕ(x)

m

(ϕ(x)) , (ϕ(x))(m dispari), a , sin(ϕ(x)), cos(ϕ(x)), arctan(ϕ(x))

(dove n e m sono interi positivi e a > 0) coincide con l’insieme X di definizione di ϕ(x)

• L’insieme di definizione di p α

m ϕ(x)m pari, (ϕ(x))

∈ {x ∈ ≥

(dove α > 0, α / è uguale a X : ϕ(x) 0}

N)

• L’insieme di definizione di −α

log ϕ(x), (ϕ(x) )

a

̸ ∈ {x ∈

(dove a > 0, a = 1, / è uguale a : ϕ(x) > 0}

N) X

• π

̸ ∈

L’insieme di definizione di tan(ϕ(x)) è definita quando ϕ(x) = + kπ dove k Z

2

• L’insimee di definizione di arcsin(ϕ(x)), arccos(ϕ(x))

{x ∈ −1 ≤ ≤

è uguale a : ϕ(x) 1}

X

• L’insimee di definizione di sinh(ϕ(x)), cosh(ϕ(x)), tanh(ϕ(x)), settsenh(ϕ(x))

è uguale all’insieme di definizione di ϕ(x)

• L’insieme di definizione di →

settcosh : [1, +∞) [0, +∞)

• →

L’insieme di definizione di s