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LE SERIE
∑n=1+∞ an lim Sn n→+∞ ➔ 0 CONVERGE ≠0 DIVERGE INDETERMINATA SERIE DI MENGOLI SERIE GEOMETRICHE SERIE ARMONICHE lim Sn n→+∞ ➔ (+∞) q≥1 DIVERGE (-a-q) -1<q<1 CONVERGE Δ q≠1 INDETERMINATA
- CRITERIO DEL CONFRONTO 0≤an≤bn se bn CONVERGE ➔ an CONVERGE se an DIVERGE ➔ bn DIVERGE (con log)
- CONFRONTO ASINTOTICO an~bn ➔ an≠bn ≠0 ➔ an^nn+1^n≠bn^n log n
- CRITERIO DEL RAPPORTO n=+∞ an+1/an ➔ 1 DIVERGE
- CRITERIO DELLA RADICE [(con sue esponenzialità (con polarità e nn) lim n→+∞ |an|1/n = \+ ∞ DIVERGE (con logn)]
- CONDIZIONE NECESSARIA e<1 CONVERGE (n possuiere e e)
- TERRA VAL ASSOLUTO quando non riesco red applicare nulla ➔ lim n→+∞ an➔0 mirando ∑n=1∞ |an| conv. ➔ ∑n=1∞ an Conv. (serie a segno alternato (-1)n o serie a segno qualunque semi)
- CRITERIO DI LEIBNITZ convergente ➔ CONVERGE Se un integrale converge o diverge ➔ anche pila serie converge o diverge
(n+2)! = (n-2)!(n+1)n!
(cn+1n)(n)n(x+1)n = 1n (1nlog) n+an=0 ➔ ±m
Successioni
(an) → solida una parte
Se an è illimitata (E f) → diverge
Se è limitata (E f) e FLOC converge ma non sempre converge
Successioni equivalenti an ≃ bn se lim an/bn ≠ 0 → diverge a ➔∞ Esclusione infinita LIM 9· 91 → u → u → u
Confronto tra infiniti
lim an = E (F) se an e bn infiniti dello stesso ordine 1) E=0 an ≼ bn 2) E=∞ an ≻ bn
Gerarchia infiniti
nn n! n2 lg n n9 log n cos n
Criterio del rapporto
- lim dn+1 / dn = e e≠1 an→∞
- n→∞ dn >1 an→∞
- = 1 non può essere applicato
|X| ≦ K → K−x < x < K + R ≧ 0 mai x + Z⋃ R -> su RC
|X| > K ≇ x − x−1＜ K + R ≧ 0 x_R → su RC
f(x) ≀ g(x) → tebio della relazione suff &sup seso →
f(x) > E> G(x) → devem alle censore senza problemi
f(x)|-b(x)| > f(x)* f(x) > 0 3(x) > 0
|X| ≦1 ≠0
- x ≧ 0
- x−1≧0
- x ≧1 ⋃
A(x) ≪ B(x) A(x) > 0 B(x) > 0 A(x) < E(x)n
A(x) > B(x) B(x) > 0 ⋃ B(x) ≧ 0 A(x)≰0 ⋃ A(x) > E(x)n
a(loga x) = x ⋃ X ≠0 logax = \frac{logax}{logb²}
Teorema di De L'Hospital
- f,g:(a,b) → R
- f,g ∈ C1 (a,b)
- Pa derivabile in (a,b)
- f(a) = g(a) = 0
- g'(x) ≠ 0 ∀ x ∈ (a,b)
→ se ∃ limx→x0 f'(x)/g'(x) = l → se questo non ±
↓ quello con le P iniziali l = limx→x0 f(x)/g(x) non derivati esiste ugualmente
Polinomi di Taylor
f:A → R x0 ∈ A, f ∈ Cn (x0)
- Pn(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0) + f''(x0) (x-x0)2/2! + f'''(x0) (x-x0)3/3! + … + f(n)(x0)(x-x0)n/n!
Quando x0 = 0 il polinomio si chiama di McLaurin
Resto → Rn(x) = f(x) - Pn(x) → F(x) = Pn(x) + Rn(x) Formula di Taylor
Brema che si commette nel passare da f = fn → se è piccolo si può trascurare il suo peso ↕ varia in base a 2 teoremi
1) Teorema secondo Peano
limx→x0 Rn(x) = 0Ipotesi: f ∈ Cn (x0) → Tesi: limx→x0 Rn(x)/(x-x0)n = 0 → quindi Rn(x) = o((x-x0)n)
Formula di Taylor secondo Peano f(x) = Pn(x) + o((x-x0)n)!
Rn(x) = l’errore è più ci si avvicina a x0 minore è l’errore
2) Teorema secondo Lagrange
Ipotesi: f ∈ Cn+1(x0)cioèf si ammette una derivata in più di quella che già serve per scrivere Pn(x)
Tesi: Rn(x) = f(n+1) (c) (x-x0)n+1/(n+1)! →più il grado del polinomio è grandemigliore è l’approssimazione Formula di Taylor secondo Lagrange
f(x) = Pn(x) + o(c(x-x0)n+1)
Per passare da f e Pn e commettere un errore piccolo si può fare in 2 modi:
1) prendo x molto vicino a x0 2) prendo n molto grande
2)
∫f(x) √ax + b dx, √ax + b = tn
es.
∫ √2x - 3 x dx
2x - 3 = t2
dx = t dt
x = t2 + 3/2
∫ √t2
∫ td = t dt
→
t2
-t2 | -6 | 0
-6
∫(-6 x 1/3) t dt
= ∫ √2/3 * (1/3)
= ∫ 1/t3√1 dt
= ∫ 1/u √x - 3, dx = √3 x - 3/3
= 2x - cotg t + c = √2 √x - 3 - √2 √3 arctan2x - 3/3 + c
3)
∫f(x) √2x + b/cx + a dx
∫(2x + b = tn) dx
es.
∫ √4x + 1/4 dx =
√t2, x + 1
x = (e2)/2x - 3 , x = 1 + √t2
= ∫(t2 - 1)
dx = 2x(t2)
dx = -ut/(-t2 - 1) dt x = (1 + t2)
= ∫- √t2/(-1)(0t2) dx = - √t2
(e2t - 1t2) dt → HERMITE
SERIE DI TAYLOR
ex = ∑n=0∞ (xn) / n! I = ℝ
sin x = ∑n=0∞ ((-1)n x2n+1) / (2n+1)! I = ℝ
cos x = ∑n=0∞ ((-1)n x2n) / (2n)! I = ℝ
(1+x)a = ∑n=0∞ (a n) xn I = (-1,1)
log(1+x) = ∑n=1∞ ((-1)n+1 xn) / n I = (-1,1]
2x = ∑n=0∞ ((-1)n x2n+1) / (2n+1)! I = [-1,1]
(xn) = a0(a-1)...(a-n+1) / n! I = (-1,1)
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