Analisi 1 - Schemi per risolvere esercizi di esame

Le serie

∑ a_n lim S_n^{n → +∞} ∑ diverge 1 indeterminata

Serie di Mengoli

∑ 1/(n(n+1))

Serie geometriche

∑ a_nqⁿ

Serie armoniche

∑ a_n^{n → +∞} log(n) diverge ∑ 1/n diverge

• 1) Criterio del confronto
• 2) Confronto asintotico
• 3) Criterio del rapporto
• 4) Criterio della radice
• 5) Condizione necessaria
• 6) Teorema del val. assoluto
• 7) Criterio di Leibnitz

Se un integrale converge o diverge

(n+1)!/n! = 1/n

cos(1+1/n) ~ 1/n

Le serie

∑_n=1^∞ a_n

lim S_{nn→∞} => S > ∞ diverge

lim S_{nn→∞} => ∞ converge

lim S_{nn→∞} indeterminata =

lim a_{nn→∞} ≠ 0 diverge

Serie di Mengoli

∑_n=1^∞ 1/(n(n+1))

Serie geometriche

∑_n=0^∞ qⁿ lim S_{nn→∞} lim_{n→∞}

Serie armoniche

∑_n=1^∞ 1/n p d := 1 converge

d = 1 diverge

1) Criterio del confronto

0 ≤ a_n ≤ b_n se ∑ b_n converge ⇒ ∑ a_n converge

se ∑ b_n diverge ⇒ ∑ a_n diverge

2) Confronto asintotico

lim a_n/b_n = 1 ⇒ ∑ a_n converge ∑ a_n diverge

3) Criterio del rapporto

lim_{n→∞} a_n+1/a_n 1 diverge = 1

4) Criterio della radice

lim_{n→∞} a_n^1/n = e¹ diverge

< 1 converge > 1 diverge

5) Condizione necessaria

quando non riesco ad applicare nulla ⇒ lim a_n = 0

6) Teorema del val. assoluto

∑_n=1^∞ |a_n| conv = |∑_n=1^∞ a_n Convee

7) Criterio di Leibnitz

(solo per serie a segno alternato, cioè con (-1)ⁿ)

se ∑ a_n crescente converge

a_n+1 ⊂ a_n decrescente

Se un integrale => anche la serie => diverge

(n+2)! = (n+2)*(n+1)*n!

(n+2)!/n! = 1/n + (n+1)/n! = n+1

1/n (1+ 1/n)^1/2 ~ ⇒ 1/√n

Successioni

(a_n)_n

se a_n è illimitata => diverge

se a_n è limitata (E ∃ r) può convergere ma non sempre converge

Successioni elementari

n^a, a > 0 => diverge a +∞

Geometriche

qⁿ, q > 1 => → → →

Confronto tra infiniti

lim (a_n / b_n) = E ∈ ℝ⁺ a_n e b_n infiniti dello stesso ordine

E = 0 a_n ≤ b_n

E = +∞ a_n ≥ b_n

Gerarchia infiniti

nⁿ, n!, n², qⁿ, n^a, logn, cosn

Criterio del rapporto

lim (a_nten() / a_n) = e ∃ ε>1 n→+∞

ε k → x k → x ∈ ℝ\(-k, k)ϵ (ℝ)

f(x) > g(x) → ↓telo dalla seconda

studio ↓ = 0

f(x)>|g(x)| → ↓telo alla seconda

senza problemi

f(x) ∣ -b(x) ≥ b(x)

f(x) ∼ π(x)

3x(.)

f(x) ∼ R(x) 0 +

A(x) ≤ B(x) A(x) > 0

B(x) > 0

A(x) n

A(x) > B(x) B(x) > 0 ∪ B(x) ≥ 0

[A(x) > 0

A(x) > [B(x)]ⁿ

αloga^x = xx log_x = logxlogₘb²|x| - 1 ≥ 0

x ≥ 0

x² - 1 ≥ 0

x ≥ 1 ∪ x

-x² - 1 ≥ 0

mai

Limiti

x → x₀

x → ∞

Infinitesimi

lim_x→x₀ f(x) g(x)≫g(x) ℓ=0

f(x)≫g(x) ℓ=∞

In una somma di infinitesimi si possono trascurare quelli di ordine maggiore

Tabella

lim_x→0 ^senx/_x = 1

lim_x→0 ^1-cosx/_x² = 1/2

lim_x→0 ^log(1+x)/_x = 1

lim_x→0 ^eˣ-1/_x = 1

lim_x→0 ^(1+x)α/_x