Analisi 1 P.Cortese, corso completo + riassunto teoremi-dimostrazioni più importanti

Analisi matematica 1

Nozioni di logica matematica

Una proposizione logica è un enunciato del quale si può dire in un certo contesto se è vero o falso. Es. "Oggi piove a Torino".

Invece, es. "Umberto è bello" non è una proposizione logica perché non è definito il concetto di "bellezza".

I connettivi logici sono simboli che connettono proposizioni:

Negazione logica "non"

Data la proposizione p, ¬p è la negazione di p.

Coniugazione logica "et"

Date le proposizioni p e q, p∧q si legge "p e q" e risulta vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.

Osserva: (p∧¬p) F

Osserva: (p∨¬p) V

Disgiunzione logica "o"

Date le proposizioni p e q, p∨q si legge "p o q" e risulta vera se almeno una delle due è vera. Es. 6 < 7 V 6 = 7 VERA.

Predicati

Chiamiamo predicato logico un enunciato p(X,...) che dipende da uno o più argomenti "variabili" in opportuni insiemi, determinati per alcuni elementi una proposizione logica con valore di verità. Esempi:

• p(x): "se x è un numero pari"
  • Se x=4, Vera
  • Se x=5, Falsa
• p(a,b): "a conosce il significato della parola b"
  • a, diete: allora falso
  • a, casa: allora vera

Implica

Molti enunciati in matematica sono del tipo: "Se è vera p allora è vero la tesi q (condizione sufficiente di verità)".

Implicaione logica

p implica q "Se p allora q" data le proposizioni p e q, p ⇒ q è una nuova proposizione falsa solo quando dal vero si deduce il falso.

Se Andrea supera Andés, va a Parigi. Se Andrea supera Andés, non va a Parigi [MENTO]. Se Andrea non supera Andés, va a Parigi. Se Andrea non supera Andés, non va a Parigi.

Osservazione: Ci sono forme equivalenti logicamente:

1. p ⇒ q = ¬q ⇒ ¬p