Analisi 1 P.Cortese, corso completo + riassunto teoremi-dimostrazioni più importanti

Anàlisi matematica 1

Nozioni di Logica Matematica

Una proposizione logica è un enunciato del quale si può dire in un certo contesto se è vero o falso.

es. "Oggi piove a Torino" falso

invece

es. "Umberto è bello" non è una proposizione logica perchè non è definito il concetto di bellezza

I connettivi logici sono simboli che connettono proposizioni:

_¬ Negazione logica "non":

data la proposizione p, ¬p è la negazione di p.

• p | ¬p
• V | F
• F | V

_∧ Congiunzione logica "et":

date le proposizioni p e q, p ∧ q si legge "p et q" risulta vera solo se entrambe le proposizioni sono vere.

• p | q | p ∧ q
• V | V | V
• V | F | F
• F | V | F
• F | F | F

Osserva: (p ∧ ¬p) F

Osserva: (p ∨ ¬p) V

_∨ Disgiunzione logica "o":

date le proposizioni p e q, p ∨ q si legge "p o q" risulta vera se almeno una delle due è vera.

es. 6 < 7 ∨ 6 = 7 vera

• p | q | p ∨ q
• V | V | V
• V | F | V
• F | V | V
• F | F | F

p(x,...) PREDICATI:

Chiamiamo predicato logico un enunciato p(x,...) che dipende da 1 o + argomenti variabili in appositi insiemi, diventando per alcuni elementi una proposizione logica con valore di verità:

es. p(x) "se x è un numero pari"

• se x = 4 Vera
• Se x = 5 Falsa

es. 2: p(a,b) "a conosce il significato della parola b"

• a, diletto allora falso
• a, casa allora vero

Molti enunciati in matematica sono del tipo. "Se è vera p allora è vera q (Condizione sufficiente di verità) e bisogna introdurre a tal punto nuovi connettivi:

> IMPLICAZIONE LOGICA p implica q "Se p allora q"

data la proposizione p e q, p implica q, è una nuova proposizione falsa solo quando dal vero si deduce il falso.

[p = IPOTESI, ANTECEDENTE, Condizione Sufficiente ][q = TESI , Conclusione, Condizione Necessaria ]

Se Andrea passa Anedsi gli pago il viaggio a Parigi

• Se Andrea supera Anedsi va a Parigi
• Se Andrea supera Anedsi non va a Parigi [MENTO]
• Se Andrea non supera Anedsi va a Parigi
• Se Andrea non supera Anedsi non va a Parigi

Osservazione: Ci sono Forme Equivalenti logicamente:

1. p implica q = ¬q implica ¬p (Se non viaggio allora non ha superato)
2. = ¬p V q (Non passa o va a Parigi)
3. = (pΛ¬q) implica ¬p
4. = (pΛ¬q) implica (¬pΛ¬q)

Per assurdo

Proprietà distributiva degli insiemi

1. ∀A, B, C: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
   • es: 5 ∗ (6 + 7) = (5 ∗ 6) + (5 ∗ 7)
2. ∀A, B, C: A ∪ (B ∩ C) ≠ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
   • es: 5 + (6 ∗ 7) ≠ (5 + 6) ∗ (5 + 7)

Gli insiemi numerici

• N naturali ξ 0, 1, 2, 3, ... godono di somme e moltiplicazioni
  • con relative proprietà commutativa, associativa, distributiva
• Z interi ξ -2, -1, 0, +1, +2, +3 negativi e positivi. Hanno definite somma, moltiplicazione e differenza
• Q razionali ξ m/n : m, n ∈ Z ∧ m ≠ 0 ∧ m, n ξ 3
  • un razionale è un quoziente di due interi si oppone anche l'operazione quoziente ξ ∃ x ∈ Z : x ∗ 0 = m/n x
• ... non tutti i punti corrispondono a numeri razionali.
• R reali costituiscono un’estensione e fornisce il giusto modello matematico per la rappresentazione della retta.
  • ... ma non terminiamo con la retta quindi serviva l'introduzione altri insiemi.

Assioni algebrici della somma:

• S₁ : ∀a, b ∈ Q : a + b = b + a Commutativa
• S₂ : ∀a, b, c ∈ Q : (a + b) + c = a + (b + c) Associativa
• S₃ : ∃ 0 ∈ Q: ∀a ∈ Q, a+0 = a Elemento neutro di somma.
• S₄ : ∀a ∈ Q, ∃ b ∈ Q : a + b = 0 Elemento inverso ∃ i(a) = 0
• S₁+S₂+S₃+S₄ = Q gruppo commutativo rispetto alla somma

Assioni del prodotto:

• P₁ : ∀a, b a ∗ b = b ∗ a Commutativa
• P₂ : ∀a, b, c ∈ (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) Associativa