Analisi 1 - numeri, successioni, limiti

Principio di incastro

Date due successioni, una crescente e l’altra decrescente, si può dimostrare che tra loro esiste almeno un numero reale.

Ipotesi e tesi

Ipotesi: e tesi:

Per determinare il numero “x” intermedio si procede creando due successioni…………. ……………..… …( ) ( ) con cifre con cifre.

La differenza tra le due successioni che si avvicinano all’infinito è data da: ( )

Si nota quindi che l’unico numero “x” compreso fra le due successioni sarà: …un numero che appartiene all’insieme dei numeri reali R ma non essendo esprimibile come frazione non appartiene all’insieme Q dei numeri razionali.

1

Disuguaglianza triangolare

| | | | | |

Dimostrare che il modulo della somma di due numeri è sempre minore o al massimo uguale alla somma dei moduli dei due numeri.

1. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene: | | | | | |
2. E inserendo il modulo a X e Y senza che ciò modifichi la disuguaglianza: | | | | | | | | | || |
3. Ora basta notare che per ogni valore di X, Y e la tesi è dimostrata.

Proprietà di Archimede

Questa proprietà è facilmente dimostrabile poiché, procedendo per assurdo se allora ovvero che l’insieme dei numeri naturali è limitato superiormente e questo non è possibile.

Limiti

lim divergente

| |

lim convergente

2

Regole per i limiti

lim lim

lim lim

Se → e → →

Se → e → →

3

Teorema dei carabinieri

Prese tre successioni tali che: dimostrare che se → → allora anche → .

Ipotesi: → →

Tesi: →

Per dimostrare questo teorema ci si serve della definizione di limite e precisamente per le ipotesi vale: | || | e per la tesi: | |

Se il numero n lo prendiamo maggiore degli altri due possiamo scrivere, risolvendo la disequazione modulare: e perciò ricordandoci che: quindi: e infine è dimostrato: | |

4

Operazioni con i limiti

1

Avendo → →

Si ha che: →

| | | |

Ipotesi: → →

Tesi: →

Per dimostrare questo teorema ci si serve della definizione di limite, cioè: |( ) ( )|

E risolvendo le operazioni si ottiene: |( ) ( )|| | | | | |

E per la disuguaglianza triangolare si ha: |( ) ( )| | | | | |

Per la proprietà transitiva della disuguaglianza si dimostra che la definizione di limite della tesi è corretta e il teorema è quindi dimostrato.

|( ) ( )|

5

2

Avendo