Analisi 1 - numeri, successioni, limiti

PRINCIPIO DI INCASTRO

Date due successioni una crescente e l’altra decrescente si può dimostrare che tra loro esiste

almeno un numero reale.

IPOTESI: e

TESI:

Per determinare il numero “x” intermedio si procede creando due successioni

…………. …………..

… …

( ) ( )

con cifre con cifre

La differenza tra le due successioni che si avvicinano all’infinito è data da:

( )

si nota quindi che l’unico numero “x” compreso fra le due successioni sarà:

…

un numero che appartiene all’insieme dei numeri reali R ma non essendo esprimibile come

frazione non appartiene all’insieme Q dei numeri razionali.

1

DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

| | | | | |

Dimostrare che il modulo della somma di due numeri è sempre minore o al massimo uguale

alla somma dei moduli dei due numeri.

1. Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:

| | | | | |

2. E inserendo il modulo a X e Y senza che ciò modifichi la disuguaglianza:

| | | | | | | | | |

| |

3. Ora basta notare che per ogni valore di X, Y e la tesi è dimostrata.

PROPRIETA’ DI ARCHIMEDE

Questa proprietà è facilmente dimostrabile poiché, procedendo per assurdo se allora

ovvero che l’insieme dei numeri naturali è limitato superiormente e questo non è

possibile. LIMITI

lim DIVERGENTE

| |

lim CONVERGENTE

2

REGOLE PER I LIMITI

lim lim

lim lim

Se → e → →

Se → e → → 3

TEOREMA DEI CARABINIERI

Prese tre successioni tali che : dimostrare che se → → allora

anche → .

IPOTESI : → →

TESI: →

Per dimostrare questo teorema ci si serve della definizione di limite e precisamente per le

ipotesi vale: | |

| |

e per la tesi: | |

se il numero n lo prendiamo maggiore degli altri due possiamo scrivere, risolvendo la

3

disequazione modulare: e

perciò ricordandoci che :

quindi :

e infine è dimostrato : | |

4

OPERAZIONI CON I LIMITI

1

Avendo → →

Si ha che: →

| | | |

IPOTESI: → →

TESI: →

Per dimostrare questo teorema ci si serve della definizione di limite, cioè :

|( ) ( )|

e risolvendo le operazioni si ottiene:

|( ) ( )|

| | | | | |

e per la disuguaglianza triangolare si ha:

|( ) ( )| | | | |

Per la proprietà transitiva della disuguaglianza si dimostra che la definizione di limite della

tesi è corretta e il teorema è quindi dimostrato.

|( ) ( )|

5

2

Avendo