Analisi 1 - numeri, successioni, limiti

TEOREMA DEI CARABINIERI

Prese tre successioni tali che : dimostrare che se → → allora

anche → .

IPOTESI : → →

TESI: →

Per dimostrare questo teorema ci si serve della definizione di limite e precisamente per le

ipotesi vale: | |

| |

e per la tesi: | |

se il numero n lo prendiamo maggiore degli altri due possiamo scrivere, risolvendo la

3

disequazione modulare: e

perciò ricordandoci che :

quindi :

e infine è dimostrato : | |

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OPERAZIONI CON I LIMITI

1

Avendo → →

Si ha che: →

| | | |

IPOTESI: → →

TESI: →

Per dimostrare questo teorema ci si serve della definizione di limite, cioè :

|( ) ( )|

e risolvendo le operazioni si ottiene:

|( ) ( )|

| | | | | |

e per la disuguaglianza triangolare si ha:

|( ) ( )| | | | |

Per la proprietà transitiva della disuguaglianza si dimostra che la definizione di limite della

tesi è corretta e il teorema è quindi dimostrato.

|( ) ( )|

5

2

Avendo → →

Si ha che: →

| | | |

IPOTESI: → →

TESI: →

Per dimostrare questo teorema ci si serve della definizione di limite, cioè :

| |

ora aggiungendo e sottraendo all’ interno del modulo la quantità e poi raggruppando:

| |

| ( ) ( )|

per la disuguaglianza triangolare:

| ( ) ( )| | ( )| | ( )|

| | | || | | | | |

dato che e che per ipotesi si aveva si scrive:

| ( )| | ( )| | || | | || | | | | |

| | | |

ora basta prendere un numero tale che per aver dimostrato la tesi:

| || | | || | | |

è

6

3

Avendo → →

Si ha che: →

| | | |

IPOTESI: → →

TESI: → | | | |

| |

Dalle ipotesi si può ricavare ponendo che perciò anche | | | |

ora servendoci della definizione di limite scriviamo la tesi e svolgiamo i passaggi:

| | | | | |

| |

ricordandoci della disuguaglianza posta in precedenza: | |

| | | |

| | | | | |

ora aggiungo e sottraggo la quantità AB e per la disuguaglianza triangolare:

| | | | (| | | |)

| | | | | |

e per la disuguaglianza triangolare:

(| | | |) (| |( ) | || |) ( )

| | | | | |

( )

mettendo a fattor comune e chiamando la restante parte si ottiene

| |

la tesi: | | 7

PRINCIPIO DI INDUZIONE

Per dimostrare che una proprietà “P” sui numeri naturali è vera per ogni “n” basta dimostrare

due punti:

1) è

ovvero che la proprietà in esame sia vera per un punto iniziale

2) ( )

se è vera per “n” allora è vera per tutti gli “n”

PROGRESSIONE GEOMETRICA

Vogliamo trovare una formula per calcolare la somma all’infinito della progressione

( )

moltiplicando ambo i membri per

( )

ora sottraendo membro a membro: ( )

( )

perciò mettendo in evidenza ( ) ( )

per vedere come si comporta questa successione all’infinito ci interessa il fattore

8 →

| | →

{ }

lim →

perciò a livello di sommatoria | |

{ }

lim ( )

TEOREMA DI DENSITA

Vogliamo dimostrare che ogni intervallo (a ; b ) contiene sia punti razionali che punti

irrazionali. 1

Per dimostrare che esiste un numero razionale prendiamo il punto medio (c) dell’intervallo

(a ; b): …

quindi sempre per ipotesi prendiamo che:

che sono i due segmenti individuati dal punto medio

e logicamente: | | ( )

cioè ogni numero la cui distanza dal punto medio è inferiore a che a sua volta è inferiore

alla distanza del punto medio dagli estremi, è un numero che appartiene all’intervallo

costruendo ora un numero razionale q così formato:

… (stesse cifre del punto medio ma troncate prima)

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perciò la distanza dal punto medio:

| | … … | |

il valore di queste cifre dipende dalla loro posizione ed è dato da e dal momento che ogni

cifra al massimo può essere : | |

∑ ∑

che riducendo la sommatoria: ∑ ∑

ora ricordandoci che la somma all’infinito è

| | ∑

abbiamo dimostrato che all’interno di qualsiasi intervallo (a ; b) esiste almeno un numero

razionale. 2

Allo stesso modo è possibile dimostrare che esiste anche un numero irrazionale costruendolo

in questo modo: … …

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POTENZA

Per esistere la potenza in esame devono sussistere tra condizioni:

1

2

Infatti basta prendere : ( ) 3

| | ( | |) | |

Per dimostrare la continuità della funzione potenza prendiamo:

| |

dalla disuguaglianza si ha che: | | | | | | | |

vediamo il comportamento della funzione potenza:

| | | || | | | | | |

∑|

…

ritornando alla disuguaglianza si può scrivere:

| | | | | | | | |)

∑| ∑(

ed esplicando la sommatoria si ha la conferma della tesi sopra enunciata

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| | | | ( | |)

Ciò dimostra che per quanto mi avvicino a da un punto esiste sempre la distanza

ed è sempre minore della distanza dei due punti, questo vuol dire che la funzione è continua

nel punto . SUPERIORMENTE LIMITATO

Prendendo un insieme A contenuto in R e diverso dal vuoto

si DEFINISCE l’insieme A “superiormente limitato” se:

e si definisce inoltre a* “elemento massimo” di A se:

1. a*

2. a* INFERIORMENTE LIMITATO

Prendendo un insieme A contenuto in R e diverso dal vuoto

si DEFINISCE l’insieme A “inferiormente limitato” se:

e si definisce inoltre a* “elemento minimo” di A se:

1. a*

2. a* 12