Analisi 1 - Logica

Logica

Def. Proposizione Logica

Si definisce PROPOSIZIONE LOGICA un enunciato linguistico di cui si può stabilire con certezza la veridicità.

Una proposizione logica porta quindi con sé un VALORE DI VERITÀ cioè può essere VERA o FALSA.

esempi

1. Roma è la capitale dell’Olanda. → non proprio, direbbe infatti che è sicuramente falsa.
2. Il Chumbuco è il monte più alto del mondo rispetto al livello del mare. → è l'Everest.

Ma se diciamo:

Il Chumbuco è il monte più alto del mondo rispetto al centro della Terra. → V

3. La vita è bella → non è una prop. logica. → è una questione soggettiva.

NB Queste proposizioni sono dette PROPOSIZIONI SEMPLICI.

Connettivi logici

A partire da proposizioni semplici possiamo ottenere nuove proposizioni utilizzando i connettivi logici.

• "e" — simbolo "^"

Connesione due proposizioni semplici p e q.

La tavola di verità del connettivo ^ è data da:

TAVOLA DI VERITÀ

• p | q | p^q
• V | V | V
• V | F | F
• F | V | F
• F | F | F

— è vera solo se sono entrambe vere

• "o" — simbolo "V"

• p | q | pVq
• V | V | V
• V | F | V
• F | V | V
• F | F | F

— è falsa solo se entrambe false

• "non" — simbolo "¬"

• p | ¬p
• V | F
• F | V

Implicaione — simbolo "⇒"

• p ⇒ q si legge: p implica q
• Se p allora q

p può essere chiamata:

• Premessa o ipotesi

q può essere chiamata:

• Conclusione o tesi

7p => 7q = (r => s = 7r V s = 7(7q) V (7p)

= 9 V 7p = 7p V 9

7p V 9 = 79 => 7p

Abbiamo allora:

p => 9 = 7p V 9 = 79 => 7p

Grazie all' equivalenza:

p => 9 = 79 => 7p

Si possono fare le dimostrazioni per assurdo:

Dimostrare per assurdo significa partire

negando l' tesi, fare una serie di ragiona

menti inerenti al problema che portano

ad una CONTRADDIZIONE/NEGAZIONE dell' 'ipotesi

Se riusciamo a fare questo abbiamo

dimostrato l' enunciato perchè fare

p=>q = 79 => 7p. Quindi devo

dimostrare che p => q è equivalente

a dimostrare 79 => 7p

Si possono definire anche predicati in più di una variabile.

x, y sono studenti del politecnico

Definiamo:

P(x,y) = "x ed y sono sullo stesso corso"

P(x,y) = "è vero per esempio se i cognomi di x e y iniziano con [FER, GEM] mentre non è vero se uno inizia con A e l'altro con R.

Quantificatori

Per un predicato p(x) è naturale chiederci:

P(x) è vero per ogni x? (per tutte le x)

Esiste un valore di x che mi rende vero P(x)?

x = "per ogni" —> QUANTIFICATORE UNIVERSALE

• ∀x p(x) → con questa scrittura si intende dire che per ogni valore di x si ha che p(x) è vera.

v = "esiste" —> QUANTIFICATORE ESISTENZIALE

• ∃x p(x) → con questa scrittura si intende dire che esiste almeno un valore di x tale per cui p(x) è vera → possono essere piú di uno.

∃! = "esiste ed è unico"

• ∃! x p(x) = esiste un unico valore di x tale per cui p(x) è vera

Esercizi

Negare i seguenti predicati:

1. ∀m,m ∈ ℕ ∃c | c∈ℤ m

I met. utilizzano

∀m,m ∈ ℕ ∃c | c∈ℤ m

Il met. manipolare il predicato

¬(∀m,m ∈ ℕ ∃c | c∈ℤ m)

⇒ ¬(∀ ρ(x))

predicato

¬(∀ x ρ(x)) = ∃x ¬ ρ(x)

quindi:

∃ m,m ∈ ℕ ¬(∃c | c∈ℤ m)

prima parte e

poi dopo

si utilizza:

¬(∃c | c∈ℤ m) = ¬(∃Q ρ(x))

¬(∃ x q(x)) = ∀x ¬q(x)

= ∀a ¬(c∈ℤ m) = ∀ a c∉ℤ m

= ∀ a c∉ℤ m

so quindi [∃m,m∈ℕ ∀a c : c∉ℤ m]