Analisi matematica 1

Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21

Analisi matematica I

Mercoledì 16 Settembre 2020

Logica

Lo scopo della logica è quello di introdurre nozioni e terminologie per una corretta interpretazione

della dimostrazione.

In matematica si usano delle abbreviazioni del linguaggio, dette quanti catori, che sono:

∀

• ogni”

, quanti catore universale, si legge “per

∃

• uno”

, quanti catore esistenziale, si legge “esiste

∃!

• uno e uno solo”

, quanti catore esiste unico, si legge “esiste

La matematica e la logica sono fatte di proposizioni, che sono frasi di senso compiuto delle quali

si può dire inequivocabilmente se sono vere o false. Le indichiamo con le lettere P, Q,…

Esempio: P1 - Oggi è venerdì” FALSA

P2 - “Brescia non è una città di mare” VERA

Una proposizione o è vera o è falsa. Una frase che non dà informazioni non è una proposizione,

perché non si può dire se vera o falsa!

Il predicato è una frase che contiene una o più variabili libere.

Esempio: P(x) è un predicato che dipende da una sola variabile, x.

Q(x, y) è un predicato che dipende da due variabili, x e y.

I. P(x) = “l’intero x è un primo”

II. Q(x, y) = “x è maggiore di y”

Il valore di verità dipende dal valore dato alle variabili libere x e y.

I. P(2) è vero, P(4) è falso

II. Q(3, 4) è falso, Q(3, 1) è vero

Un modo per trasformare i predicati in proposizioni è attraverso l’uso dei quanti catori:

• P(x) = “nel luogo x piove” ∀x : P(x)

• Piove in ogni luogo: ∃x : P(x)

• Esiste un luogo in cui piove: MAI

Quando un predicato dipende da più variabili, i quanti catori possono essere mescolati.

invertire l’ordine dei quanti catori in una proposizione!

• Q(x, y) = “nel luogo x piove nel giorno y” ∀x ∃y : Q(x, y)

• In ogni luogo c’è almeno un giorno in cui piove:

∃y ∀x : Q(x, y)

• Esiste un giorno in cui piove in ogni luogo:

I connettivi logici sono degli operatori che trasformano una o più proposizioni in altre proposizioni:

• Non (negazione): trasforma la proposizione P nella proposizione non (P) che ha

valore di verità contrario a P. Se applicato due volte si elide.

• E (congiunzione): date P, Q, P e Q è la proposizione nella quale valgono sia la prima

che la seconda. P e Q è vera unicamente se sia P che Q sono vere. Pagina 1

fi

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• O (disgiunzione): date due proposizioni P, Q, la disgiunzione P o Q è la proposizione

nella quale vale almeno una delle due. Scrivendo P o Q non escludo che siano vere

entrambe.

Notazione P ∧ Q

• P e Q = P ∨ Q

• P o Q = ⇒ P ⇒ Q

• Implicazione = : date P e Q, crea la proposizione , detta “P implica Q”

P ⇒ Q

• Terminologia alternativa: allora

• P è condizione su ciente per Q

• Q è condizione necessaria per P

⟺

• Doppia implicazione = : date due proposizioni P e Q, questo connettivo crea la

P ⟺ Q P ⇒ Q Q ⇒ P

proposizione , che vuol dire e , si legge:

• P è condizione necessaria e su ciente per Q

• P se e solo se Q

Alcune equivalenze ⟺

• Non (P o Q) non (P) e non(Q)

⟺

• Non (P e Q) non(P) o non(Q)

∀x : Q(X ) ⟺ ∃x

• Non ( ): non(Q(x))

∃x : Q(x)) ⟺ ∀x

• Non ( non(Q(x))

P ⇒ Q ⟺

• Non ( ) P e non(Q)

P ⇒ Q ⟺ ⇒

• non(Q) non(P) Mercoledì 17 Settembre 2020

Insiemi

L’insieme è una famiglia, una collezione, di oggetti, detti anche elementi.

Esempio: N = {0,1,2,3…} Numeri naturali

Z {-2,-1,0,1…} Numeri interi

m m, n ∈ Z, n ≠ 0}

{

Q = , Numeri razionali

n

Notazione x ∈ E

• : x appartiene ad E

x ∉ E

• : x non appartiene ad E

∅

• : insieme vuoto, non ha alcun elemento

x ∈ Q : P(x)

• E = { è vera}

Come si descrive un insieme?

• Elencando tutti gli elementi dell’insieme: E = {…lista degli elementi…}

• Descrivendo l’insieme come famiglia di elementi che veri cano un certo predicato

(una proprietà):

x ∈ N : x < 3 ⇒

1. L = { } L = {0,1,2}

2

x ∈ Z : x = 1 ⇒

2. W = { } W = {-1,1}

U è un insieme ambiente.

Inclusione fra insiemi signi ca che un insieme F si dice sottoinsieme di un altro insieme E, si scrive

F ⊆ E ∀x ∈ F : x ∈ E

, se ogni elemento di F è anche un elemento di E, cioè: .

∅ ⊆ E E ⊆ E E = F ⟺ E ⊆ F F ⊆ E

NB: per ogni insieme E si ha e , e

F ⊂ E F ⊆ E F ≠ E

Inclusione stretta signi ca e

Operazioni sugli insiemi: Pagina 2

ffi fi fi ffi fi

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A ∪ B x : x ∈ A x ∈ B

• Unione: dati due insiemi A e B si de nisce unione = { o }

A ∩ B x : x ∈ A

• Intersezione: dati due insiemi A e B si de nisce intersezione = { e

x ∈ B }; A e B sono disgiunti x : x ∈ A x ∉ B

• Di erenza: dati due insiemi A e B si de nisce di erenza A\B = { e }

c c

B ⊂ A B = B

In particolare, se , allora si usa la notazione A\B, si dice l’insieme

complemento di B (in A)

∀A, B : A ∪ B = B ∪ A

NB: ∀A, B : A ∩ B = B ∩ A

c c

∀A : (A ) = A

Prodotto cartesiano: dati A e B, il prodotto cartesiano di A e B è l’insieme delle coppie ordinate

(a, b) A × B = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B

, al variare di a in A e b in B. { }. L’ordine è fondamentale,

(a, b) = (a′

, b′

) ⟺ a = a′

, b = b′

per questo non vale la proprietà commutativa. .

A × B ≠ B × A .

n

A = A × A × A × A . . .

Relazione d’ordine

R A × B ⇒

Una relazione di A in B è un qualsiasi sottoinsieme di . Se A=B R è una relazione in A.

a ∈ A b ∈ B (a, b) ∈ R ⊆ A × B

Diremo che è in relazione con tramite R se la coppia ordinata .

a Rb

Si scrive .

A ≠ ∅

Sia . Una relazione d’ordine R è una relazione in A che soddisfa:

∀x ∈ A : x R x

• (ri essività)

∀x, y ∈ A : x R y yR x ⇒ x = y

• e (antisimmetria)

∀x, y, z ∈ A : x R y yR z ⇒ x R z

• e (transitività)

∀x, y ∈ A : x R y yR x

Se inoltre vale anche la dicotomia ( oppure ), allora la relazione R si dice

totale.

≤ in R è una relazione d’ordine totale:

∀x ∈ R : x ≤ x

I. ∀x, y ∈ A : x R y yR x ⇒ x = y

II. e

∀x, y, z ∈ A : x R y yR z ⇒ x R z

III. e

∀x, y ∈ A : x R y yR x

IV. oppure

La parte sotto il gra co è colorata Pagina 3

   

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< non è una relazione d’ordine

⊆ inclusione fra insiemi è una relazione d’ordine, ma non totale (manca la dicotomia): esistono

|

A, B ∈ R A ⊊ B B ⊊ A

insiemi e Venerdì 18 Settembre 2020

Numeri naturali ℕ 0,1,2,3...

Sono i numeri interi non negativi = { }

NB: zero (0) è un numero naturale.

Osservazione: hanno una proprietà , l’esistenza del successore, ovvero che ogni numero naturale

n ∈ ℕ ha in N il suo successore, cioè il più piccolo numero naturale maggiore di n.

1 → 2 → 3.... → n → n + 1 (è alla base del principio di induzione).

P(n) n ∈ ℕ

principio di induzione

Il a erma: sia un predicato con ; supponiamo che valgano le

seguenti proprietà:

P(0)

• è vera

∀n ∈ ℕ, P(n) ⇒ P(n + 1)

•

P(n) n ∈ ℕ

Allora è vera per ogni .

n

2 > n ∀n ∈ ℕ

Esempio: dimostriamo che

0

2 = 1 > 0

1. P(0) è vera perché

n ≥ 0,n ∈ ℕ P(n) P(n + 1)

2. Sia e supponiamo . Dobbiamo dimostrare

n+1 n n n

2 =2 +2 >2 + n > n +1

≥ 1

>n

⇒ P(n + 1) è vera n

2 > n ∀n ∈ ℕ

Quindi secondo il principio di induzione

Esempio: disuguaglianza di Bernoulli:

∀x ∈ ℝ, x ≥ − 1, si ha

n

(1 + x) ≥ 1 + n x ∀x ∈ ℕ

0

(1 + x) = 1 ≥ 1 = 1 + 0 ⋅ x

1. P(0) è vera n n

n ∈ ℕ x ≥ − 1 P(n) : (1 + x) ≥ (1 + x) ≥ 1 + n x

2. Sia , sia e supponiamo

n+1 n

(1 + x) = (1 + x)(1 + x) ≥ (1 + x)(1 + n x)

≥ 0 x ≥ − 1

, perché

2

= 1 + n x + x + n x ≥ 1 + x(n + 1) ⇒ P(n + 1)

≥ 0 n > 0

Il principio di induzione può essere formulato partendo da un qualsiasi numero naturale al

0

posto di 0. Se valgono:

P(n )

• è vera

0

∀n ≥ n : P(n) ⇒ P(n + 1)

• 0 n ≥ n

Allora P(n) è vera per ogni 0

Esempio: dimostrare che

n n(n + 1)

∑ k = 1 + 2 + 3 + .... + n = ∀n ≥ 1

2

k=1 n =1

Quindi 0 Pagina 4

ff

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1 1(1 + 1)

∑ k =1 =1

1. P(1) è VERA: ; 2

k=1

n ≥ 1

2. Sia , supponiamo P(n). Allora

n+1 (n + 1)(n + 2)

∑ k = 1 + 2 + 3 + ... + n + n + 1 = 2

k=1

É veri cata.

Esercizio: dimostrare che

n n(n + 1)(2n + 1)

2 2

∑ k = 1 + 4 + 9 + . . . + n = 6

k=1 1(1 + 1)(2 ⋅ 1 + 1)

n = 1 n = k = 1

= 1

, quindi: è vera, perché

• 0 0

6

n(n + 1)(2n + 1) 2

+ (n + 1) =

P(n) = P(n + 1) →

• 6 2 2

= n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1) = (n + 1)(2n + 7n + 6) =

(n + 1)(n + 2)(2n + 3)

= Veri cata

6

Fattoriale n!

È una funzione su numeri naturali

0! = 1 ∀n ∈ ℕ n ≥ 1 n! = n(n − 1)!

, , :

Coe cienti binomiali

k, n ∈ ℕ n ≥ k ≥ 0

Siano ,

Se k>n, allora si pone =0

Formula del binomio di Newton n n−k

n ∑

∀a, b ∈ ℝ ∀n ∈ N a b

(a + b) = (nk)

e vale k=0

0

0 =1

Qui si usa la convenzione Pagina 5

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Numeri razionali

Z = . . . . , − 4, − 3, − 2, − 1,0,1,2,3,4...

{ } numeri interi

m , m, n ∈ Z, n ≠ 0

Q = { } numeri razionali

n

N ⊂ Z ⊂ Q

NB: (Q, ≤ )

≤ totalmente ordinato,

Su Q è de nita relazione d’ordine tale che è un insieme cioè la

≤ totale.

relazione d’ordine è

∀p, q ∈ Q p ≤ q p ≥ q

o |

(M, ≤ ) E ⊆ M a ∈ E a ≤ x

Sia un insieme totalmente ordinato, e sia . Allora se esiste

∀x ∈ E b ∈ E x ≥ b ∀x ∈ E

, diciamo che a è minimo di E. Se esiste tale che , allora diciamo

che b è massimo di E. 2

x x = 2 x non è razionale.

Teorema: se un numero soddisfa , allora 2

x = 2

1 1 m 2

p = m, n ∈ Z p = 2

Dimostrazione: supponiamo per assurdo che esista un , con , tale che .

n

non siano entrambi pari.

Possiamo supporre che m e n

2 2 2

m = 2n ⇒ m ⇒ m

Quindi è pari è pari

2

⇒ m è divisibile per 4

2

m

2

⇒ n = è pari

2

⇒ n contraddizione

è pari

⇒ p non è razionale Q

Consideriamo i seguenti sottoinsiemi di :

2

A = x ∈ Q : x ≤ 2

{ }

2

B = x ∈ Q : x ≥ 2

{ }

Dimostro che A non ammette massimo. 2

( p − 2) (2p + 2)

p ∈ A p > 0 q = p − =

Sia , supponiamo . De niamo ( p + 2) ( p + 2)

2 2 2

(4p + 8p + 4) (2p + 8p + 8 + 2p − 4)

2

q = =

q ∈ Q

Quindi . E vale ( p + 4p + 4) ( p + 4p + 4)

2 2 Pagina 6

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2 2

p ∈ A, p − 2 < 0 ⇒ q < 2

Siccome

⇒ q ∈ A 2

2 − p

q = p + > p

Dall’altra parte da (1) segue che p +2 |

p ∈ A ∃q ∈ A q > p A non ammette massimo.

Abbiamo dimostrato che per ogni . Dunque

B non ammette minimo.

Nello stesso modo si dimostra che Lunedì 21 Settembre 2020

Trigonometria ̂

α

Si considerano solo gli angoli al centro che insistono sull’arco A

∘

360 = 2π (rad)

Il radiante è l’angolo la cui misura è identica alla misura dell’arco sotteso dall’angolo.

x ascissa

p

y ordinata

p

Ciò che varia è il segno. Esso dipende dal

quadrante in cui si trova il seno e il coseno! Le funzioni goniometriche

OHP ∼ OBT Pagina 7

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y = sin x , è l’ordinata del punto

D = R

I = [−1,1] (è limitata)

T = 2π (1 giro)

1 ≤ sin x ≤ 1 è sempre valida

−1 + 3 ≤ sin x + 3 ≤ 1 + 3 sempre positiva,

se moltiplico per -1 cambio verso della funzione.

−1 ⋅ 2 ≤ sin(2 ⋅ x) ≤ 1 ⋅ 2

Dall’angolo si passa all’operatore decimale.

Funzione arcseno π π

− ≤ arcsin(x) ≤ restrizione in cui seno è

2 2

invertibile e arcseno è de nita! È una funzione

crescente. y = x

La funzione inversa è la simmetrica a con

π π

D = [−1,1] I = [− , ]

e 2 2

Dall’operatore decimale si passa all’angolo.

Ad ogni posizione d’ordinata corrispondono due angoli.

Funzione coseno D = R I = [−1,1]

e

T = 2π Pagina 8

fi

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T = π sin(x)

tan(x) = cos(x)

È una funzione limitata e ha

π π

D = R I = (− , )

e 2 2

T = π Pagina 9

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2

sin (x) − 3 sin(x) − 4 ≥ 0

2

2 sin (x) − 1 > 2

π

| |

2 sin(x − ) = 1

3

| |

x + 3

y = arctan x +1

y = arctan(x)

Prima disegno x +1

y = tan(x) x

Dominio di una funzione esponenziale con base variabile

π π

a > 0 ∧ a ≠ 1 a = tan(x) ⇒ 0 < x < + k π x ≠ + k π

Base : (con ) e .

2 4

x ≠ 0

L’esponete, per esistere, deve avere , perché l’esponente è costituito da una frazione.

x −x

e e

Semisomma tra e

P(0,1)

Nel punto passa il gra co del coseno iperbolico

Se vado a meno in nito, diverge a più in nito. E viceversa.

f (−x) = f (x)

È simmetrica rispetto all’asse y: , funzione

y = 1

pari. È limitata inferiormente: Pagina 10

fi fi fi

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A un valore positivo prossimo a zero sommo un valore tendente ad in nito. È una funzione

illimitata e

simmetrica

rispetto all’origine

f (−x) = − f (−x)

,

funzione dispari.

Mercoledì 23 Settembre 2020

I numeri reali, completezza

Un campo è un insieme dotato di operazioni somma prodotto.

N

Esempio:

K ≤

Un campo si dice totalmente ordinato, se è dotato della relazione d’ordine totale .

(K, ≤ )

Notazione:

(Q, ≤ )

Esempio: è un campo totalmente ordinato.

(K, ≤ )

Un campo si dice completo se vale l’assioma di completezza:

∀A, B ∈ K, A ≠ ∅, B ≠ ∅ vale

∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B : a ≤ b

Se allora

|

c ∈ K ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ≤ c ≤ b

Esiste

elemento separatore.

NB: c è detto (Q, ≤ )

Quindi il campo non è completo.

2

A = a ∈ Q : a ≤ 2 a > 0

{ } con

2

B = b ∈ Q : b ≥ 2 b > 0

{ } con

A ≠ 0,B ≠ 0 ∀a ∈ A, ∀b ∈ B : a ≤ b

Allora e

c ∈ Q a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A, ∀b ∈ B

Ma non esiste alcun tale che !

c = 2 ∉ Q

a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A, ∀b ∈ B

Infatti, l’unico c che soddisfa è .

R Q (R, ≤ )

L’insieme di numeri reali è un’estensione dei numeri razionali , tale che il campo è

totalmente ordinato e completo.

La completezza di numeri reali è fondamentale per analisi matematica.

L’interpretazione geometrica si ottiene

attraverso la retta reale.

I. Ogni numero reale può essere

univocamente associato ad un punto

della retta

II. Ogni punto della retta corrisponde ad uno ed un solo numero reale Pagina 11

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Maggioranti e minoranti

A ⊆ R A ≠ ∅ x ∈ R A ∀a ∈ A, a ≤ x

Dato , , chiamiamo maggiorante di , se .

A ⊆ R A ≠ ∅ x ∈ R A ∀a ∈ A : a ≥ x

Dato , , chiamiamo minorante di , se .

x ∈ A

NB: la de nizione non richiede .

|

M(A) x ∈ R x ≥ a ∀a ∈ A

Notazione: chiamiamo ={ }

|

m(A) = x ∈ R x ≤ a ∀a ∈ A

{ }

|

A = x &