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Funzioni convesse e concave
Esistono funzioni che non sono né convesse né concave. Esistono anche funzioni che sono sia concave sia convesse e sono dette funzioni a ni.
Osservazione: Funzioni di tipo a ni sono funzioni lineari y = ax + b, con a, b ∈ ℝ.
Le seguenti funzioni sono convesse nell'intervallo indicato:
- y = xn, con n ∈ ℕ, I = ℝ
- y = ex, I = ℝ
- y = arctan(x), I = (-∞,0)
Le seguenti funzioni sono concave nell'intervallo indicato:
- y = log(x), I = (0, +∞)
- y = arctan(x), I = (0, +∞)
- -xy = 1 - ex, I = ℝ
Convessità e derivabilità:
Se una funzione f: I → ℝ è derivabile in I, allora è:
A. Convessa in I ⟺ ∀x, x ∈ I, f(x) ≥ f'(x)(x - x0) + f(x0)
B. Concava in I ⟺ ∀x, x ∈ I, f(x) ≤ f'(x)(x - x0) + f(x0)
Quindi, la retta tangente al grafico di f è sempre sotto il grafico della funzione f.
⟺ fconcavaAnalogamente, è la retta tangente al grafico di è sempre sopra il grafico della funzione.NB: Una funzione può essere convessa (o concava) anche se non è derivabile in ogni puntoIdi . | |y = x REsempio: è convessa in .Convessità, concavità e punti stazionariCorollariof I x ∈ I fSia una funzione derivabile in e sia un punto stazionario di . Allora:0f I x1. convessa minimo assoluto.Se è in , allora è un punto di0f I x2. concava massimo assoluto.Se è in , allora è un punto di0x ∈ I f′(x ) = 0 f convessa,Dimostrazione: Sia un punto stazionario. Quindi, . Se è dal0 0f (x) ≥ f (x ) ∀x ∈ I ⟹ xTeorema minimo assoluto.precedente segue che è un punto di0 0f f (x) ≤ f (x ) ∀x ∈ I ⟹ xconcava, TeoremaAnalogamente, se è allora il implica che è un0 0massimo assoluto.punto diConvessità, concavità e derivata secondaf : I
→ R
Sia f I ⟺ f′′(x) ≥ 0 ∀x ∈ I
1. f è convessa in I.
f I ⟺ f′′(x) ≤ 0 ∀x ∈ I
2. f è concava in I.
f′′(x) = 0 ∀x ∈ I ⇒ f y = a x + b
NB: Notiamo che se è a ne . Pagina 61      ffi fi fi fi fi
Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21
Punti di esso |f : (a, b) → R x ∈ (a, b) x f ∃ϵ > 0 fpunto di esso
Sia e sia . Diciamo che è un di se0 0(x − ϵ, x ) f (x , x + ϵ)convessa concava) concava convessa)(o in e è (o in .0 0 0 0
2f ∈ C (a, b) ⇒ f′′(x ) = 0
NB: dal Teorema precedente, se è una condizione necessariaox f′′(x ) = 0a nché sia un punto di esso. Tuttavia, è solo necessaria, ma non su ciente.0 0
4f (x) = x , f : R → R R f′′(0) = 0, x = 0
Esempio: è convesso in . ma non è un punto di
esso0f f R fdi , perché è convessa in tutto . Infatti, non ammette alcun punto di esso, essendoRconvessa in tutto .5 1f (x) = arctan x +f : R → REsempio: Cerchiamo i punti di esso di data da .1 + x 21 2x 1 − x∞ 2f ∈ C (R) ∀x ∈ R⇒ f′(x) = + = ( ) ed è crescente .1 + x (1 + x ) 1 + x2 2 2 2π πlim f (x) = − ∧ lim f (x) = .2 2x→−∞ x→+∞2 ±2 2⇒ x − 2x − 1 = 0 ⇒ x = 1 2f′′(x) = ⋅ (1 − x) ⋅ (x − 2x − 1) .(1 + x )2 3 2f′′(x) = ⋅ (1 − x)(x − 1 + 2)(x − 1 − 2)Quindi, .(1 + x )2 3f′′(x) > 0 x ∈ (−∞,1 − 2) ∪ (1,1 + 2)Dunque, per x ∈ (1 − 2,1) ∪ (1 + 2, + ∞)f′′(x) < 0 perx =1 − 2 ∧ x = 1 ∧ x = 1 + 2Punti di esso: 0 1 2 Pagina 62      ffi fl fl fl
fl fl fl ffi fl
Martina Contestabile
Ingegneria Informatica
Comune A-L, A.A. 2020/21
Venerdì 20 Novembre 2020
Integrale di Riemann
Motivazione: Calcolo dell’area di una figura bidimensionale racchiusa da una funzione e dall’asse delle ascisse.
f : [a, b] → R
f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b]
Obiettivo: Calcolo dell’area della figura.
Suddivisione
[a, b] a < b [a, b]
Sia , con , un intervallo chiuso e limitato. Si chiama suddivisione di , e si indica
|D x : j = 0,...,n ⊆ [a b] a = x < x < x < . . . < x = b
con , un insieme finito { } .
j 0 1 2 nnj=1[a, b] = ∪ I ; I = [x , x ]
Chiaramente, si ha dove .
j j j−1 jD D [a, b] D D D ⊂ D
Date due suddivisioni e di , diremo che è più fine di se .
1 2 1 2 1 1f D
Somma inferiore e superiore di relativa alla suddivisione
f : [a, b] → R D = x , x , . . . , x [a, b]
funzione limitata
Sia una e sia { } una suddivisione di .
0 1 nf D
Chiamiamo somma inferiore di relativa alla suddivisione la quantità
n∑s(D,
Per ogni funzione limitata vale: Funzioni integrabili ∫(f : [a, b] → R f )=∫( f ) integrabile secondo Riemann. Una funzione limitata si dice se .bb ∫∫ ∫( f )=∫( f )f (x)d x = f (x)d x integrale di Riemann. In tal caso scriviamo e chiamiamo dia af [a, b]in . b∫f ≥ 0 ⇒ f (x)d x gra f ( f )
NB: Se coincide con l’area della gura racchiusa tra , l’asseax x = a ∧ x = bdelle e le rette .
NB: esistono funzioni limitate NON integrabili secondo Riemann. Pagina 64fi fi fiMartina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21
Funzioni integrabilif : [a, b] → R [a, b] Diciamo che è continua a tratti in se esiste una suddivisioneD = x : j = 0,...,n{ } tale che:j f (x , x ) ∀j = 1,...,nI. è continua in .j−1 jlim f (x), lim f (x), lim f (x) ∀j = 1,...,n − 1II. Esistono niti i limiti .± −+ x→bx→a x→x jf [a, b]Quindi, ammette in un numero nito di punti di
discontinuità eliminabile o di salto.
Classi di funzioni integrabili f : [a, b] → R
Sono integrabili le seguenti funzioni :
[a, b]
A. Funzioni continue in . [a, b]
B. Funzioni continue a tratti in .[a, b]
C. Funzioni monotone in . f
NB: Ciascuna di queste condizioni è su ciente, ma non necessaria, per l’integrabilità di .
Teorema (Proprietà dell’Integrale)
f, g [a, b]
Siano integrabili in . Valgono le seguenti proprietà:
b b b∫ ∫ ∫|∀α, β ∈ R (α f (x) + βg(x))d x = α f (x)d x + β g(x)d x
1. Linearità: .a a ab c b∫ ∫ ∫∀c ∈ (a, b) f (x)d x 0 f (x)d x + f (x)d x
2. Additività: si ha .a a cb b∫ ∫∀x ∈ (a, b) ⇒ f (x)d x ≤ g(x)d x
3. Confronto: se .a ab b∫ ∫| | | | | |f ⇒ f (x)d x ≤ f (x) d x
4. Confronto con modulo: se è integrabile .a a
Teorema della media integrale b∫|f : [a, b] → R
<p>⇒ ∃c ∈ [a, b] f (x)d x = f (c)(b − a)continua</p> <p>Sia .ab∫ f (x)d x<sub>a</sub> = α . . . f [a, b]</p> <p>NB: la media integrale di in .b − a f [a, b] m M</p> <p>Teorema di Weierstrass</p> <p>Dimostrazione: per il assume in il minimo e il massimo .∀x ∈ [a, b] m ≤ f (x) ≤ M</p> <p>Quindi, .3.,</p> <p>Quindi, per la proprietà del confronto vale</p> <p>b b b∫ ∫ ∫m(b − a) = mdx ≤ f (x)d x ≤ Md x = M(b − a) .a a a Pagina 65</p> <p>fi fi ffiMartina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21</p> <p>b b∫ ∫f (x)d x f (x)d xa am ≤ ≤ M = α2.Da segue che . Abbiamo che .b − a b − a|α ∈ [m, M ] f ∃c ∈ [a, b] f (c) = α Teorema dei valori</p> <p>Quindi e, siccome è continua, (per ilintermedi). Da cui la tesi.f</p> <p>NB: La continuità di non può essere omessa. Mercoledì 25 Novembre 2020</p> <p>Primitivef : A → R, A ⊆ R F : A → R F f A F A</p> <p>Sia , . Diciamo che è una primitiva di in , se</p>
è derivabile inF′(x) = f (x) ∀x ∈ Ae se . ∫ f (x)d xCon .
NB:
- Non tutte le funzioni integrabili ammettono una primitiva. Ad esempio, Pagina 66 Martina Contestabile Ingegneria Informatica Comune A-L, A.A. 2020/21F f ⇒ F + c ∀c ∈ R
- Se è una primitiva di lo è anche per , in quanto(F + c)′(x) = F′(x) = f (x) . f
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