Analisi 1, Guida di immediata comprensione

ESEMPIO DI SUCCESSIONE IRREGOLARE

(−1) = 1, −1,1, −1,1, −1, …

La successione è irregolare: non converge ad alcun valore né diverge

PROPRIETA’ DELLE SUCCESSIONI

• : ℝ → ℝ () = lim = lim ()

Se esiste tale che allora

→+∞ →+∞

•

Se è monotona (o è solo crescente o è solo decrescente) allora non ammette

limite; in particolare se è monotona e limitata allora è convergente.

ALCUNI LIMITI DI SUCCESSIONI

! ! = ( − 1) ∙ … ∙ 2 ∙ 1

Sia il fattoriale e cioè

lim ! = +∞ lim = +∞

Allora e di conseguenza

→+∞ →+∞

!

• lim =0

→+∞

• lim =0

!

→+∞

ESERCIZI

1+3

• lim = +∞

→+∞ 1 1 1 1

• (

lim ∙ sin = [sin ~ → +∞)] = lim ∙ = 1

( ) ( )

.

→+∞ →+∞

2

+1 1

• lim =

2

3 −+5 3

→+∞ 1

1

log ( )

• lim √ = lim = lim = lim =1

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

• lim √ = ⋯ = 1

→+∞

GRAFICO DELLE SUCCESSIONI

Il grafico delle successioni numeriche è un insieme di punti nel piano che tramite

interpolazione raffigurano una linea spezzata:

TEOREMA DEGLI ZERI

ENUNCIATO [,

: ] → ℝ

Sia una funzione continua;

()() <

Se e cioè la funzione ha segno discorde agli estremi (cioè cambia segno agli

estremi) allora la funzione interseca le ascisse (e se interseca l’asse x vuol dire che la sua

(,

∃ ): () =

immagine è 0):

DIMOSTRAZIONE (metodo di bisezione)

PRIMO PASSAGGIO

Ragioniamo sull’intervallo [a,b] e supponiamo che f(a)<0 e f(b)>0

a b

» Consideriamo ora c come punto medio dell’intervallo [a,b]

0 C

0

a b

Se f(c )=0 allora abbiamo trovato il valore che cercavamo e quindi il teorema è dimostrato.

0

Ma se così non fosse dobbiamo costruire un altro intervallo che chiameremo [a, b ]

1

contenuto in [a,b] che si trova tra [a, c ] o tra [c ,b] tale che f(a)f(b )<0 e quindi continuo ad

0 0 1

indagare dove la funzione cambia segno

C = b

0 1

a b

» Consideriamo ora c come punto medio dell’intervallo [a , b ]

1 1 1

C = b

C = b 0 1

1 2

a b

Se f(c )=0 allora abbiamo trovato il valore che cercavamo e quindi il teorema è dimostrato.

1

Ma se così non fosse dobbiamo costruire un altro intervallo che chiameremo [a, b ] che si

2

trova tra [a, c ] tale che f(a)f(b )<0 e quindi continuo ad indagare dove la funzione cambia

1 2

segno

» Ripetendo il metodo costruiremo una sequenza di intervalli sempre più piccoli (uno

contenuto nell’altro) e se guardo agli estremi degli intervalli stiamo costruendo delle

successioni le cui caratteristiche saranno spiegate nel secondo passaggio…

SECONDO PASSAGGIO

Esprimiamo e proprietà su queste successioni che stiamo costruendo:

1. Stiamo costruendo una successione (a ) il cui estremo a può solo aumentare mentre

n

nell’altra successione (b ) l’estremo b può solo diminuire. E quindi stiamo costruendo

n

delle successioni monotone (monotone perché o solo aumentano o solo

diminuiscono) e limitate (perché i valori di tali successioni sono tutti compresi tra a e

b) −

2. Al passo n la lunghezza dell’intervallo sarà b -a =

n n

3. Le successioni hanno valori di segno discorde agli estremi f(a )f(b )<0

n n

TERZO PASSAGGIO (considerazione)

Le successioni sono convergenti, cioè idealmente diminuiscono fino a

toccarsi in un punto in cui devo dimostrare che la funzione vale zero.

QUARTO PASSAGGIO

Riprendiamo le proprietà delle successioni espresse nel secondo passaggio e per ognuna di

esse scriviamo la conseguenza:

• Leggendo quanto dice la 1. e ricordando una delle proprietà delle successioni,

le successioni (a ) e (b ) convergono e quindi hanno limite finito.

n n −

• ( )

lim − = lim =0

Per la 2.:

2

→+∞ →+∞

( ) ( )

lim − lim = 0

Per l’algebra dei limiti questo significa che

→+∞ →+∞

( ) ( )

lim = lim

E quindi portando il secondo limite a destra

→+∞ →+∞

Dunque i due limiti sono uguali e il loro valore supponiamo sia genericamente c

( ) ( )

lim = lim =

→+∞ →+∞

• Per la 3. e per il corollario del teorema di permanenza del segno, siccome la

successione f(a )f(b ) è negativa allora lo sarà anche il limite

n n )( )

lim ( ≤ 0

→+∞ +∞

Ma abbiamo detto che per n che va sia che diventano e quindi

2

(c)(c) = [()] ≤ 0

(c) = 0

Ma l’unica soluzione a ciò è che

TEOREMA DI WEIERSTRASS

ENUNCIATO [,

: ] → ℝ

Sia una funzione continua;

Allora f ammette sempre massimo e minimo assoluti e cioè:

[, [, ) )

∃ , ∈ ]: ∀ ∈ ], = ( < () < ( =

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

ENUNCIATO [,

: ] → ℝ

Sia una funzione continua;

Allora f assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo:

[, [,

̅ ̅ ̅ ̅

∀ ∈ ] ∃ ∈ ]: = ( )

DIMOSTRAZIONE

PRIMO PASSAGGIO

) )

( = ( =

Sia e

SECONDO PASSAGGIO [,

̅

∈ ],

Sia g(x) una nuova funzione che è il “traslato” della funzione f(x) di un valore

̅

() = () −

quindi

TERZO PASSAGGIO

Scriviamo due aspetti della nuova funzione g(x):

• ̅

, ] perchè < <

g è continua nell’intervallo [

• ) ) ̅ ̅

( = ( − = − < < ̅

)

Valuto (perché

) ) ̅ ̅

( = ( − = − > < ̅

)

Valuto (perché

QUARTO PASSAGGIO

Abbiamo g(x) che è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato che cambia

segno agli estremi e quindi vale il teorema degli zeri.

Per tale teorema

[ ] ) )

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

∃ ∈ , . ( = ( − = → = ( )

CALCOLO

DIFFERENZIALE

DERIVATA DI FUNZIONI

INTERPRETAZIONE ANALITICA

: (, ) → ℝ ∈ (, )…

Data e 0

ℎ ∈ ℝ , |ℎ| ≪ 1)

Ci si sposta da con un incremento molto piccolo (ℎ

0 ( + ℎ) − ( ),

La funzione avrà quindi una variazione variazione che di per sé non è

0 0

significativa se non si rapporta all’incremento della variabile indipendente: cioè questa

variazione, per darci un tasso di variazione, deve essere rapportata all’incremento:

( + ℎ) − ( )

0 0

ℎ

Questa quantità è nota come rapporto incrementale ed è il tasso di variazione medio nel

+ ℎ

momento in cui la variabile indipendente passa da a (tasso di variazione medio

0 0

).

dei valori di rispetto ad + ℎ.

In pratica esprime come varia la funzione mediamente nel passare da a

0 0

Si osservi però questo caso: 1 2

Sicuramente il rapporto incrementale di ed è uguale (hanno la stessa variazione) ma

puntualmente ciò non è vero.

L’idea è quella di lavorare localmente in un intervallo sempre più piccolo e quindi sfruttare

il limite per trovare puntualmente (punto per punto) questa variazione.

( +)−( )

= ′( )

Si dice derivabile in se esiste finito il che è la derivata

→

La derivata è quindi il tasso di variazione puntuale dei valori di rispetto ad

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Data una funzione che si suppone essere derivabile in , si parte dall’idea di voler

0

definire una tangente ad una curva qualsiasi:

()

Si considera quindi la retta secante ad passante per i punti

))

( , ( ( + ℎ, ( + ℎ))

e

0 0 0 0

L’equazione della secante sarà la seguente:

− ( ) −

() = =

( + ) − ( )

Ordinando per formula inversa:

( + ) − ( )

( )

= ∙ − + ( )

Si nota che il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della secante.

Si nota inoltre che man mano che diminuisce l’incremento, cioè considerando incrementi

sempre minori, la retta secante tende a diventare sempre più retta tangente fino a

quando le due rette coincideranno. →

Dunque, il coefficiente angolare della tangente lo si trova passando al limite per

( + ) − ( )

=

→ = ()

Se questo limite esiste ed è finito allora la funzione si dice derivabile nel punto

e il valore che assume il limite prende il nome di derivata di in

A questo punto l’equazione della retta tangente sarà la seguente:

′ ( )( )

= − + ( )

PRIME REGOLE DI DERIVAZIONE

[] =

Si dimostra:

(+ℎ)−() −

= =0 .

ℎ ℎ

ℎ→