Analisi 1, Guida di immediata comprensione

Analisi

1

A cura di Matteo Rotundo Corso di Ing.Gestionale

Nozioni

di base

INSIEMI NUMERICI

NUMERI NATURALI, INTERI, RAZIONALI, REALI

Si illustrano di seguito i principali insiemi numerici:

NUMERI NATURALI

È l’insieme degli interi positivi compreso lo zero:

ℕ = {0,1,2, … }

NUMERI INTERI O RELATIVI

È l’insieme degli interi positivi e negativi lo zero:

ℤ = {0, ±1, ±2, … }

NUMERI RAZIONALI

È l’insieme delle frazioni:

ℚ = { | , ∈ ℤ, ≠ 0}

1

→ = 0,25

4

I numeri razionali hanno tre rappresentazioni:{ 1

→ = 0, 3

3

→

ℝ

NUMERI REALI

Hanno rappresentazione decimale qualsiasi, e comprendono anche i numeri irrazionali, che

hanno una rappresentazione decimale illimitata non periodica.

INADEGUATEZZA DEI NUMERI RAZIONALI PER MISURARE LUNGHEZZE

ℚ

Nell’insieme vi sono grandezze che non sono commensurabili tra di loro.

Si prenda l’esempio del quadrato di lato 1 con la diagonale:

Se il lato del quadrato misura 1, l’ascissa B che misura la diagonale non può essere un

numero razionale. 2 2 2

= 1 + 1 = 2,

Infatti, per il teorema di Pitagora ma non esiste un numero razionale il

cui quadrato è 2.

Dunque, il punto B sulla retta non è rappresentante di alcun numero razionale.

Ciò significa che, dopo aver occupato i punti della retta con i numeri razionali, su di essa

rimangono come dei “buchi” o “posti vuoti”.

Si ricorre quindi all’insieme dei numeri reali, che presenta una corrispondenza biunivoca

con i punti della retta (assioma di continuità: ad ogni numero reale corrisponde un punto

sulla retta e viceversa).

VALORE ASSOLUTO

DEFINIZIONE )

Si dice valore assoluto del numero reale (o modulo di il numero non negativo così

definito: ≥ 0

|| = {

− < 0

A livello geometrico il valore assoluto indica la distanza di un punto dall’origine:

|| = (, 0)∀ ∈ ℝ

Si può generalizzare il discorso prendendo in considerazione la distanza di due punti

qualsiasi sulla retta: |

(, ) = − | ∀, ∈ ℝ

<

x

y

0 | |

= − | = −

|

| <

x

0 y

| = − = | − |

| |

PROPRIETA’ DEL VALORE ASSOLUTO

• ≥ 0

Il valore assoluto di un numero reale è sempre

|| ≥ 0

• Il valore assoluto rispetta il prodotto ed il quoziente

1

| || || ||

∙ | = ∙ = ∙ (à à)

| | | |

• Il valore assoluto non rispetta la somma

| || ||

+ | ≠ +

• Il valore assoluto rispetta la disuguaglianza triangolare

| || ||

+ | ≤ +

SI DIMOSTRA: ||

∀ ∈ ℝ ≤

È noto che vale che

Poiché sia il valore assoluto che il quadrato di binomio non tengono conto del segno

2 2 2 2

| (

+ | = + ) = + 2 +

delle quantità: 2 2 2 2

|| ||

+ 2 + = + 2 +

2 2 2 2

|2| || || || ||

2 ≤ |2| = 2|||| → + 2 + ≤ + 2|||| +

Poiché e 2 2 2

|| || (|| ||)

+ 2|||| + = +

2 2 2 2

| (|| ||) | (|| ||)

+ | ≤ + →→ + | ≤ +

√ √

Risulta quindi che | || ||

+ | ≤ +

Estraendo la radice quadrata si ottiene che:

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORE ASSOLUTO

In questo modo si possono risolvere equazioni e disequazioni geometricamente e non

analiticamente. ∀, ∈ ℝ >0

0

• || = = ±

• || < − < <

• || > < − >

• | |

− = = ±

0 0

• | |

− < − < < +

0 0 0

• | |

− > < − > +

0 0 0

− +

0

| |

|

− +

0

0 0

|

| |

FUNZIONI DI UNA VARIABILE

GENERALITA’

Dati due insiemi e qualsiasi, una funzione di dominio a valori in (codominio) è

.

una qualsiasi legge che associa ad ogni elemento di uno e un solo elemento di

Si scriverà quindi che: : → è

Mentre la scrittura seguente indica che la funzione agisce sugli elementi:

: ↦ () è ()

()

Il simbolo indica il valore che associa ad e non va confuso con il simbolo che

denota la funzione stessa.

= ()

è l’immagine di tramite

FUNZIONE INIETTIVA

È la funzione per cui presi due elementi diversi del dominio, allora anche le loro immagini

sono differenti.

Quindi: ) )

↔ ≠ → ( ≠ ( ∀ , ∈

1 2 1 2 1 2

FUNZIONE SURIETTIVA

È la funzione per cui tutti gli elementi del codominio vengono raggiunti da almeno un

elemento del dominio, cioè quando l’insieme delle immagini e il codominio corrispondono

FUNZIONE BIIETTIVA

È una funzione sia iniettiva che suriettiva

FUNZIONE PARI E DISPARI

−() → → ′

(−) = { ′

() → →

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

Sono le funzioni che hanno come variabile di ingresso un numero reale e in uscita

altrettanto. ℝ ℝ;

La funzione ha per dominio un sottoinsieme di e per codominio l’immagine di sarà

ℝ

anch’essa un sottoinsieme di : → ℝ ⊆ ℝ

: ↦ ()

OPERAZIONI CON LE FUNZIONI

SOMMA, PRODOTTO E QUOZIENTE

, : ℝ → ℝ

Considerando due funzioni reali

• ( + )() = () + ()

• ( ∙ )() = () ∙ ()

• ()

() = () ≠ 0

( )

()

COMPOSIZIONE DI FUNZIONI

Date due funzioni

: ⊆ ℝ → ℝ

: ⊆ ℝ → ℝ

( ) ⊆

È necessario che l’immagine di sia contenuta nel dominio di

Comporre due funzioni significa applicarle in sequenza:

( ∘ )() = (())

La composizione di funzioni non è commutativa:

∘ ≠∘

Ma vale la proprietà associativa: ( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ )

FUNZIONE INVERSA

Una funzione è invertibile se per ogni elemento dell’immagine si trova tramite la funzione

un unico elemento del dominio.

: ⊆ ℝ → ℝ,

Sia si dice che è invertibile se:

• )

∀ , ∈ , ≠ → ( ) ≠ (

1 2 1 2 1 2

Oppure

• ∀ ∈ ()∃! ∈ : = () ∃

e cioè per ogni elemento dell’immagine un unico

elemento del dominio :

In tal caso è definita la funzione inversa di

−1

: () → ∈ () ∈

Ed è la funzione che ad ogni elemento di associa quell’unico tale che

= ()

Di seguito alcune osservazioni sulle funzioni inverse:

• Le funzioni monotone (strettamente crescenti o decrescenti) sono sempre invertibili

• = :

La funzione inversa è simmetrica rispetto la bisettrice questo perché la

bisettrice è l’unico elemento “fermo” del sistema, invertendo e non cambia nulla

= .

perché

• −1

= ()

Per calcolare è necessario risolvere l’equazione per fissato

nell’incognita

ALCUNE PROPRIETA’

• ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ , () ≤

è LIMITATA SUPERIORMENTE se

• ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ , () ≥

è LIMITATA INFERIORMENTE se

• ∃ ≥ 0: ∀ ∈ , − ≤ () ≤ ↔ |()| ≤

è LIMITATA se ) )

∀ , ∈ , < → ( ≤ (

• 1 2 1 2 1 2

è:{ ) )

∀ , ∈ , < → ( ≥ (

1 2 1 2 1 2

• ( + ) = ()( ∈ )

è PERIODICA di periodo se

LIMITI

GENERALITA’ TEORICHE SUI LIMITI

IL CONCETTO DI INTORNO ∈ ℝ,

Un intorno è un intervallo aperto centrato in detto centro dell’intorno, mentre la

0

semi-ampiezza dell’intervallo viene detta raggio dell’intorno (). .

Si può definire l’intorno come l’insieme dei punti che hanno una distanza da minore di

0

( | |

I( , ) = − ; + ) = { ∈ ℝ: − < }

0 0 0 0

INTUIRE IL CONCETTO DI LIMITE

Fino ad ora è chiaro che le funzioni sono quantità variabili, mentre i limiti esprimono il

comportamento (cioè come variano) di queste quantità. ()

Il problema che si pone è il seguente: studiare il comportamento dei valori di una

∈ ℝ ∪ {±∞}

funzione quando la variabile tende ad un dato valore 0

ESEMPIO 1

1 (−∞,

() = : 0) ∪ (0, +∞)

2

La funzione non permette che si possa dividere per 0, però è possibile osservare cosa

( → 0):

succede quando il valore di si avvicina a 0

1 1

…

± ±

10 100

1 2 4

10 10 …

2

Si noti come man mano che tende a 0, il valore della variabile dipendente assume un

valore sempre più grande e cioè: 1

lim = +∞

2

→0

( → ±∞)

Si osservi ora cosa succede quando tende a valori sempre più e meno grandi

2

±10 ±10 …

1 1 1 …

2 2 4

10 10

1

lim =0

2

→±∞

I DIVERSI CASI DI LIMITE ()

L’obiettivo è rendere rigorosa l’idea che i valori tendano al valore quando il valore di

tende al valore .

0 ()

Questo significa che è possibile rendere i valori vicino a quanto si vuole, scegliendo

opportuni valori di abbastanza vicini a .

0

∈ ℝ, ∈ ℝ

I CASO: | |

− <

Se scelgo nell’intorno di raggio 0 |()

() − | <

Il valore di cade nell’intorno di e cioè

Si dà la definizione di questo limite: | | |()

lim (x) = ↔ ∀ > ∃ > ∶ − < → − | <

→

0

∈ ℝ, = +∞

II CASO: | | |()

lim (x) = + ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ − < → − | <

→

0

∈ ℝ, = −∞

III CASO: | |

lim (x) = − ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ − < → () < −

→

0

→ +∞, ∈ ℝ

IV CASO: |()

lim (x) = ↔ ∀ > ∃ > ∶ > → − | <

→+∞

→ −∞, ∈ ℝ

V CASO: |()

lim (x) = ↔ ∀ > ∃ > ∶ < − → − | <

→−∞

= +∞, = +∞

VI CASO: lim (x) = + ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ > → () >

→+∞

= +∞, = −∞

VII CASO: lim (x) = − ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ > → () < −

→+∞

= −∞, = +∞

VIII CASO: lim (x) = + ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ < − → () >

→−∞

= −∞, = −∞

IX CASO: lim (x) = − ∞ ↔ ∀ > ∃ > ∶ < − → () < −

→−∞

LIMITI UNILATERALI

Si analizza il limite da destra e da sinistra. La definizione di limite cambia in questo modo:

|()

lim (x) = ∈ ℝ ↔ ∀ > ∃ > ∶ < < + → − | <

+

→

0 |()

lim (x) = ∈ ℝ ↔ ∀ > ∃ > ∶ − < < → − | <

−

→

0

PROPOSIZIONE: ESISTENZA DEL LIMITE

Il limite di una funzione esiste e vale se e solo se esistono e sono uguali il limite destro e

sinistro

lim (x) = ↔ lim (x) = lim (x) =

−

+

→ →

→

0 0

0

Se il limite destro e sinistro non esistono o non sono uguali allora il limite non esiste.

ASINTOTI

ASINTOTI ORIZZONTALI

: ℝ → ℝ = −∞ +∞

Data , la retta è asintoto orizzontale per a e a se rispettivamente

lim (x) = lim (x) =

e

→+∞ →−∞

ASINTOTI VERTICALI

: ℝ → ℝ = lim (x) = ∞

Data , la retta è asintoto verticale per se

0 +

→

0

lim (x) = ∞

oppure −

→

0

ASINTOTI OBLIQUI

: ℝ → ℝ = + → ±∞

Data , la retta è asintoto obliquo per

La funzione all’infinito ha crescita lineare, cioè si comporta come una retta.

=

Quindi il suo rapporto con la retta (si escluda per ora) deve dare come valore 1.

() ()

=1→ =

()

= ≠

In modo rigoroso:

→±∞

→ ∞ () +

Al limite di la differenza tra ed dovrebbe dare come valore 0 dato che

si stanno sottraendo due enti che si comportano allo stesso modo e sono quindi uguali

= () −

In modo rigoroso: →±∞

I TRE TEOREMI SUI LIMITI

1-TEOREMA DI UNICITA’ DEL LIMITE

ENUNCIATO

Se una funzione ammette il limite (in un punto Xo), allora tale limite sarà unico.

DIMOSTRAZIONE

PRIMO PASSAGGIO

Il teorema mi dice che il limite (se esiste) è unico: io allora parto con l’assumere un assurdo:

dirò che la funzione in Xo ammetterà due limiti diversi e cioè:

lim () =

1

→ ≠

0 1 2

lim () = 2

→

0

SECONDO PASSAGGIO )

Assumiamo che il raggio dei due intorni (cioè deve avere una lunghezza minore della

| |

−

1 2

<

metà della distanza tra e cioè

1 2 2

TERZO PASSAGGIO

Scriviamo le definizioni dei due limiti:

• | | |() |

∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − <

1 0 1 1

• | | |() |

∀ > 0 ∃ > 0 ∶ − < → − <

2 0 2 2

{ }

= min ,

Pongo in modo da scegliere il raggio dell&