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ESEMPIO
(, ) =
(,
) =
(,
) = 0
(,
) =
(,
) = 0
(, (,
) = ) = 1
0 1
( , ) = [ ]
0 0 1 0
TEOREMA DI SCHWARZ
OSSERVAZIONE
2 ()
= {: → ℝ|, , , , , , }
DEFINIZIONE
2 2
: ⊆ ℝ → ℝ ⊆ ℝ (: )
Sia 2
∈ ()
Supponiamo che
Allora le derivate miste sono uguali e cioè:
2 2
(, (,
) = ) ∀ (, ) ∈
DIMOSTRAZIONE ( , )
Consideriamo un punto nel dominio e un suo intorno
0 0
Si può considerare il prodotto cartesiano dei due insiemi (intorni) e cioè il quadrato in
rosso. 2 2
∈ () ( , )
Poiché allora è sicuramente di classe nel punto e, inoltre, sarà di
0 0
2
classe nel quadrato ottenuto come prodotto cartesiano di:
[
= − , + ] × [ − , + ]
0 0 0 0
Quindi: 2
(,
∀ ) ∈ , > 0
è di classe a patto che sia sufficientemente piccolo, ovvero tale
⊂
che
Nel quadrato definiamo la seguente quantità:
)
= ( + ℎ, + ) − ( + ℎ, − ( , + ) + ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
|ℎ|, ||
∈ ℝ <
Ovvero è ben definita se e solo se (bisogna rimanere dentro il quadrato).
I vertici del rettangolo costruito all’interno del quadrato sono i punti dove si sta andando a
valutare la funzione.
Se consideriamo a coppia le funzioni, si può applicare il Teorema di Lagrange rispetto ad
ogni coppia in una direzione: )
= ( + ℎ, + ) − ( + ℎ, − ( , + ) + ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
() ) (
→ ( + ℎ, + ) − ( + ℎ, = + ℎ, + ) ∙ 0 < < 1
0 0 0 0 0 0 1 1
< + < +
0 0 1 0
() ) (
→ ( , + ) − ( , = , + ) ∙ 0 < < 1
0 0 0 0 0 0 2 2
< + < +
0 0 2 0
Per cui la quantità si può riscrivere come:
( (
= + ℎ, + ) ∙ − , + ) ∙
0 0 1 0 0 2
( (
= + ℎ, + ) − , + )] ∙
[ 0 0 1 0 0 2
= =
In realtà perché si è applicato il Teorema di Lagrange alla funzione la cui
1 2 (∎, ) .
ascissa è congelata e quindi si sta applicando Lagrange lungo la direzione
+
Quindi che la funzione sia valutata in oppure in poco cambia.
0 0
Segue che:
( (
= + ℎ, + ) − , + )] ∙
[ 0 0 0 0
Poiché si ha la stessa variabile, è possibile congelare la variabile e applicare il Teorema di
Lagrange lungo questa volta.
E quindi: (
= + ℎ, + ) ∙ ℎ] ∙
[ ( ) 0 3 0
Cioè: 2
(
= + ℎ, + ) ∙ ℎ , ∈ (0,1)
0 3 0 3
Ora riprendendo la quantità nella forma iniziale e come prima svolgiamo alcuni passaggi:
)
= ( + ℎ, + ) − ( + ℎ, − ( , + ) + ( , )
0 0 0 0 0 0 0 0
[( ) )]
= ( + ℎ, + ) − ( , + ) − + ℎ, − ( ,
0 0 0 0 0 0 0 0
(, ∎):
Vogliamo applicare Lagrange alla funzione
() (
→ ( + ℎ, + ) − ( , + ) = + ℎ, + ) ∙ ℎ ∈ (0,1)
0 0 0 0 0 0
() ) ) ( )
→ ( + ℎ, − ( , = + ℎ, ∙ ℎ ∈ (0,1)
0 0 0 0 0 0
Quindi:
( ( )
= + ℎ, + ) ∙ ℎ − + ℎ, ∙ ℎ
0 0 0 0
( ( )]
= + ℎ, + ) − + ℎ, ∙ ℎ
[ 0 0 0 0
:
Applicando Lagrange in (
= + ℎ, + ) ∙ ℎ ∈ (0,1)
( ) 0 0
Unendo quanto fatto sopra, abbiamo dimostrato che:
2 2
( (
= + ℎ, + ) ∙ ℎ = + ℎ, + ) ∙ ℎ
0 3 0 0 0
2 2
( (
+ ℎ, + ) = + ℎ, + )
0 3 0 0 0
(ℎ, ) → (0,0):
Passando al limite ambo i membri per
2 2
(
lim + ℎ, + ) = ( , )
0 3 0 0 0
(ℎ,)→(0,0) 2
∈ ().
Quest’uguaglianza la garantisce il fatto che
2 2
( ( )
lim + ℎ, + ) = ,
0 0 0 0
(ℎ,)→(0,0)
Allora segue che: 2 2
( ) ( )
, = , ∀ ( , ) ∈
0 0 0 0 0 0
COROLLARIO
2
∈ () ( , )
Se allora la Matrice Hessiana è simmetrica.
0 0
CONTROESEMPIO AL TEOREMA (Voto Alto-Lode)
Sia: 2 2 )
( − (, (0,0)
) ≠
(, ) = { 2 2
+ (,
0 ) = (0,0)
1 (0,0)):
∈ (
1) Verificare che
• (0,0)
continua in
• (0,0)
differenziabile in
• , (0,0)
sono continue in
: Calcolando e facendo vedere che queste due derivate parziali sono continue e poi
applicando il Teorema del Differenziale Totale ci permette di avere risolti i primi due
punti gratis. 2 2
∃ (0,0) ≠ (0,0)
2) Verificare che
SVOLGIMENTO 2)
2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2
[( ) ) )2 ( )
− + 2 ]( + − ( − − + 2 )( + − 2 ( − )
(, ) = = =
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
+ +
4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2
− + 2 + − + 2 − 2 + 2
=∙ 2 2 2
( )
+ 4 2 2 4
+ 4 −
(,
) = ∙
2 2 2
( )
+
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[( ](
) ) )2 ( )( )
− − 2 + − ( − − 3 + − 2 ( − )
(, ) = = ∙ =
2 2 2 2 2 2
( ) ( )
+ +
4 2 2 2 2 4 2 2 4
+ − 3 − 3 − 2 + 2
=∙ 2 2 2
( )
+
4 2 2 4
− 4 −
(,
) = ∙
2 2 2
( )
+
5
− −0
(0,
) − (0,0) Una funzione nulla sugli assi avrà derivata
4
(0,0)
= lim = lim = −1
nulla nell’origine
→0 →0 (0,0)
= −1 (ℎ, 0) − (0,0)
(0,0)
= lim
ℎ
ℎ→0 1 2
∈ (ℝ )
Si può quindi dimostrare che
5
ℎ −0
(ℎ,
0) − (0,0) 4
ℎ
(0,0)
= lim = lim =1
ℎ ℎ
ℎ→0 ℎ→0 (0,0)
= 1
Quindi: (0,0) (0,0)
= 1 ≠ = −1
(0,0)
La Matrice Hessiana in sarà: (0,0) 1
2
(0,0) = [ ]
−1 (0,0)
FORMULA DI TAYLOR AL SECONDO ORDINE CON RESTO SECONDO PEANO
DEFINIZIONE
2 2
: ⊂ ℝ → ℝ , ∈ ()
Sia ∀ ( , ) ∈
Allora vale che:
0 0 1
ℎ ℎ ℎ 2 2
( ) ( )+< ( ), ( )
( ) ( ) ( )
+ ℎ, + = , ∇ , > + < , ∙ , > +(ℎ + )
0 0 0 0 0 0 0 0
2
ℎ
2 2
ℎ + = ‖( )‖
NB:
OSSERVAZIONE 1
ℎ ℎ ℎ 2 2
( ) ( ) ( ), ( )
( ) ( ) ( )
+ ℎ, + − , =< ∇ , > + < , ∙ , > +(ℎ + )
0 0 0 0 0 0 0 0
2
2 2
Si immagini di trascurare (ℎ + )
Si immagini che il punto preso in considerazione sia un punto critico (stazionario) e, in
analogia con quanto visto in Analisi 1, abbia gradiente nullo.
1
ℎ ℎ ℎ 2 2
( ) ( ) ( ), ( )
( ) ( ) ( )
+ ℎ, + − , =< ∇ , > + < , ∙ , > +(ℎ + )
0 0 0 0 0 0 0 0
2
( ) ( )
Studiare l’incremento equivale a capire se la funzione in quel
+ ℎ, + − ,
0 0 0 0
punto ammette un massimo e un minimo.
( ) ( )
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