Serie numeriche - Analisi 1

DIMOSTRAZIONE

∑

Sia una serie convergente

lim = ∈ ℝ

Allora

→+∞ +∞

∑

= −

Risulta

=0 +∞

∑

lim = − lim = − = 0

Passando al limite si scriverà

=0

→+∞ →+∞

2 TEOREMA: CONDIZIONE NECESSARIA

2 ALLA CONVERGENZA

∑ lim = 0

Se una data serie converge allora condizione necessaria è che

→+∞

DIMOSTRAZIONE

=0

∑

=

Sia somma parziale della serie

lim = ∈ ℝ

Per ipotesi

→+∞ = − = + + ⋯ + + − − − ⋯ −

Intuitivamente risulta: −1 0 1 −1 0 1 −1

lim = lim − lim = − = 0

Passando al limite si scriverà −1

→+∞ →+∞ →+∞

ESEMPI NOTEVOLI

SERIE GEOMETRICA +∞

∑ ∈ ℝ

Una serie geometrica è una serie dove è detto ragione della serie

=0

2

→

= = 1 + + + ⋯ + = 1 + 1 + ⋯ + 1 = + 1

(

lim = lim + 1) = +∞

→+∞ →+∞

2

→

≠ = 1 + + + ⋯ +

(1 − )

Moltiplicando ambo i membri per

2

(1 (1 )(1

− ) = + + + ⋯ + − )

2 2 +1 +1

= 1 + + + ⋯ + − − − ⋯ − − = 1 −

+1

1−

=

1− 1

|| < 1 → 1−

+1

1−

lim = lim = {

≥ 1 → +∞

1−

→+∞ →+∞ ≤ −1 →

1

|| < 1 → = 1−

+∞

∑ = { ≥ 1 →

=0 ≤ −1 →

ESEMPIO +∞ +∞

2 2

=

∑ ∑( )

3 3

=0 =0

2 1

→ = =3

Si ha una serie geometrica di ragione Allora la serie converge a 2

3 1−

3

ESEMPIO +∞ +∞

1 1

=

∑ ∑( )

2 2

=1 =1

1 1

→ = −1=1

Si ha una serie geometrica di ragione Allora la serie converge a 1

2 1−

2

ATTENZIONE: Si è sottratto 1 alla somma perché la regola per calcolare di una serie

+∞.

geometrica vale per la serie geometrica che va da 0 a La serie in esame parte da 1

= 1

quindi dobbiamo sottrarre quanto vale la serie quando e cioè vale 1

ESEMPIO

+∞ +∞ +∞

1 + 2 1 2 1 1 1 2 19

= + → = − 1 − + − 1 − =

∑ ∑ ( ) ∑ ( ) 1 2

5 5 5 5 5 60

1− 1−

=2 =2 =2 5 5

SERIE ARMONICA 1

+∞

∑ = +∞

Una serie armonica è una serie =1

DIMOSTRAZIONE: LA SERIE ARMONICA DIVERGE

Si scelga 1

() =

1

() = ∀ ∈ ℕ, > 0

Si osservi che per cui si consideri per (dato che si sta ragionando

1

ℕ) () =

su il grafico di che è un’iperbole:

Si considerino ora i rettangoli che hanno per base gli intervalli sull’asse x aventi come

estremi i numeri naturali e come altezza il valore sul primo estremo:

Si calcolino le aree dei rettangoli:

• (1) = 1

1

• (2) = 2

• … 1

• () =

In generale, considerando una serie le cui somme parziali sono le seguenti:

1 1

= 1 + + ⋯ +

2

Si noti come i termini della serie corrispondano alle aree dei rettangoli considerati

Quindi si può scrivere che:

1 1

= 1 + + ⋯ + = (1) + (2) + ⋯ + ()

2

L’unione di quei rettangoli contiene l’area della regione di piano sottesa alla funzione:

La somma delle aree dei rettangoli è quindi maggiore dell’integrale definito che prende

1 + 1:

l’area della parte di piano sottesa alla funzione da a +1

1 1 1

= 1 + + ⋯ + = (1) + (2) + ⋯ + () > ∫

2

1

Passando poi al limite di e conservando la disuguaglianza sui limiti per il teorema del

confronto: +1 +∞

1 1

lim > lim ∫ = ∫

→+∞ →+∞ 1 1

+∞ 1 lim > +∞

Si sa che è un p-integrale che diverge: abbiamo dimostrato che e

∫

1 →+∞

lim = +∞.

quindi

→+∞

La serie è divergente.

SERIE ARMONICA GENERALIZZATA 1

+∞

∑

Una serie armonica è una serie =1

COMPORTAMENTO DELLA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA

Si noti che la serie armonica generalizzata richiama i p-integrali (su intervalli illimitati).

Si può dimostrare che guardando i termini della successione come aree di rettangoli (come

1

() =

nell’esempio precedente) e mettendoli in relazione con la funzione :

+∞ 1 > 1

=

∑ {

≤ 1

=1

ESERCIZIO 1

+∞

∑

Dimostrare che la serie armonica converge.

=1 2

1 1

La funzione da considerare non è ma che però ha un andamento simile.

2

Mentre nella dimostrazione della serie armonica sono stati considerati i rettangoli in modo

tale da includere la regione di piano sottesa al grafico (si voleva ottenere divergenza),

poiché si farà una considerazione sul p-integrale con esponente uguale a 2 (convergenza),

nel grafico si andranno a considerare i rettangoli che hanno come altezza l’immagine del

secondo estremo dell’intervallino considerato.

Si scriverà quindi che la somma parziale della serie è maggiorata dall’integrale della

funzione e quindi è più piccola di un valore convergente.

CRITERI PER STABILIRE IL CARATTERE DI UNA SERIE (CRITERI DI

CONVERGENZA)

NB: Una serie a termini positivi può solo convergere o divergere perché una successione

monotona ammette sicuramente limite (proprietà delle successioni)

CRITERIO DEL CONFRONTO

ENUNCIATO ∑ ∑

, ≥ 0), ≤

Siano e due serie a termini positivi ( con

ALLORA

∑ ∑

1 CONVERGE CONVERGE

∑ ∑

2 DIVERGE POSITIVAMENTE DIVERGE POSITIVAMENTE

DIMOSTRAZIONE

≤

Dall’ipotesi , se consideriamo le successioni delle somme parziali:

= ≤ = ′

∑ ∑

=0 =0

Da cui passando al limite: lim ≤ lim ′

→+∞ →+∞

Le tesi 1 e 2 sono diretta conseguenza di questo limite

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

ENUNCIATO ∑ ∑

, ≥ 0), ~

Siano e due serie a termini positivi ( con

ALLORA

∑ ∑

1 CONVERGE CONVERGE

∑ ∑

2 DIVERGE POSITIVAMENTE DIVERGE POSITIVAMENTE

DIMOSTRAZIONE

~ lim =1

Dall’ipotesi e cioè

→+∞

Si richiama quindi la definizione di limite e si ha che per sufficientemente grande

1 − < < 1 + ; questo perché il quoziente tende ad 1 e, per la definizione di limite,

.

per sufficientemente grande tale quoziente sta nell’intorno di centro 1 e raggio

1 1 3 1 3

→

= < < < <

Fissato per esempio:

2 2 2 2 2

E di qui la tesi sfruttando il criterio del confronto.

CRITERIO DELLA RADICE

ENUNCIATO ∑

Sia una serie a termini positivi

lim √ =

Se esiste il

→+∞

ALLORA

• < 1 →

Se La serie converge

• > 1 →

Se la serie diverge positivamente

• = 1 →

Se Non si ha alcuna informazione

DIMOSTRAZIONE

< < 1 > 0 = +

Poiché è possibile scegliere tale che cioè prendo un intorno di raggio

= + < 1

abbastanza piccolo in modo tale che anche

− < √ < + =

Dalla definizione di limite si ha che per sufficientemente

grande.

< < 1.

Allora si può scrivere che dove

∑

La tesi segue per confronto con la serie geometrica convergente.

> > 1 > 0 = − > 1

Poiché si sceglie tale che

= − < √ < +

Dalla definizione di limite si ha che per sufficientemente

grande.

>

Allora si può scrivere che .

Passando al limite:

lim > lim = +∞

→+∞ →+∞

lim ≠ 0

Quindi il e non è rispettata la condizione necessaria alla convergenza.

→+∞

L’unica cosa che può fare la serie è divergere.

CRITERIO DEL RAPPORTO

ENUNCIATO ∑

Sia una serie a termini positivi

+1

lim =

Se esiste il

→+∞

ALLORA

• < 1 →

Se La serie converge

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