Appunti Analisi matematica 1

Analisi Matematica 1

INSIEME: Si definisce insieme (A, B, C, X, Y...) una famiglia di elementi (a, b, c,...)

Come si definisce un insieme?

• Elencare gli elementi

ESEMPIO: A = {1, 2, 4, 5} = {5, 4, 2, 1}

• Descrivere la proprietà degli elementi

P(X) = predicati/proposizioni

A = {X : P(X)}    X è un insieme di X

ESEMPIO: A = {m ∈ N: m pari} = {2, 4, 6, ... 2K ...}

• Simboli logici

∀ = quantificatore universale (“per ogni”)

∃ = esistenziale (“esiste”, “esiste almeno”)

∃! (“esiste un unico”)

P ⇒ Q (implicazione logica) (“implica”; “se allora”)

⇔ (“se e solo se”) Q condizione necessaria per P P condizione necessaria per Q

• Relazioni tra insiemi

2 insiemi si dicono uguali se hanno gli stessi elementi

∅ insieme si dice vuoto ovvero privo di elementi

A = B relazione di ugualianza: A e B hanno gli stessi simboli

A ≠ B non uguagliato

A ⊂ B relazione di inclusione: x ∈ A ⇒ x ∈ B

• Osservazione

(A = B) ⇔ (A ⊂ B e B ⊂ A)

A ⊂ B (“inclusione propria”) A sottoinsieme di B

② A ⊂ B  A si dice sottoinsieme di B se x ∈ A e x ∈ B

③ ∅ = A ⊂ B ⇔ imp

Operazioni tra insiemi

1. Unione: A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ x ∈ B}
2. Intersezione: A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ x ∈ B}
3. Differenza: B \ A = {x: x ∈ B ∧ x ∉ A}

Diagrammi di Venn → Definisco le operazioni

Disunione A e B sono disgiunti se l'intersezione è il vuoto A ∩ B = ∅

Legge di De Morgan

Se vado a considerare il complemento dell'unione

1. C(A ∪ B) = (C(A) ∩ C(B))
2. C(A ∩ B) = (C(A) ∪ C(B))

Verifica

1. C:(A ∪ B)

2. (C(A) ∩ C(B))

Prodotto cartesiano

A, B insiemi

A × B prodotto cartesiano degli insiemi { (a,b) a ∈ A e b ∈ B }

A₁ × A₂ × ... × Aₘ = { (a₁, a₂, ... , aₘ) : aᵢ ∈ Aᵢ }

I numeri che hanno una rappresentazione decimale

ILLIMITATA NON PERIODICA SI DICONO IRRAZIONALI

Si dice NUMERO REALE un numero che ha questa rappresentazione

decimale R = ℚ U I

CONSEGUENZA:

1. LA RETTA REALE è "CONTINUA" cioè l'insieme R è adeguato

per la misura di Cantor

2. L'equazione x² = 2 ammette soluzioni in R

Tutte le proprietà descritte per (ALBERICHE, ORDINAMENTO) valgono in R

cioè R è un campo ordinato

ℕ, ℤ, ℚ ⊊ ℝ

INTERVALLI IN ℝ

• LIMITATI a, b ∈ ℝ a < b
• [a, b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b} intervallo chiuso di ℝ
• (a, b) = {x ∈ ℝ: a < x < b} intervallo aperto
• [a, b) = {x ∈ ℝ: a ≤ x < b} semi-aperto
• (a, b] = {x ∈ ℝ: a < x ≤ b}

• ILLIMITATI ∞ ∀x ∈ ℝ -∞ < x < +∞
• [a, +∞) = {x ∈ ℝ: x ≥ a}
• (a, +∞) = {x ∈ ℝ: x > a}
• (-∞, a] = {x ∈ ℝ: x ≤ a}
• (-∞, a) = {x ∈ ℝ: x < a}
• ℝ = (-∞, +∞) ℝ = (0, +∞) ℝ = (-∞, 0)

VALORE ASSOLUTO

Dato x ∈ ℝ

• |x| = {x se x > 0, -x se x ≤ 0}

|x| ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

|x| = misura la "distanza" tra x e 0

Proiezione

∑_k=0^m q^k = 1 - q^m+1

Fattoriale

∀m ∈ ℕ

(m!) = 1 · 2 · (m-1) · m

(0!) = 1

Esempio

3 · 1 · 2 · 3 = 6

6 · 1 · 5 · 4 · 3 · 2

3 · 2

Proprietà

1. m! = m(m-1)!
2. m!/(m-k)! = m · (m-1) ... (m-k+1)

Combinazioni Semplici

m! è il numero di combinazioni possibili per m oggetti a, b, c.

3! = 6

Principio di Induzione

Il principio di induzione è utile per dimostrare teoremi del tipo: "∀m ∈ ℕ, m ≥ m₀, vale P(m)"

Se P è vera per un numero 0, e se inoltre il fatto che sia vera per un generico numero naturale (m) comporta necessariamente che sia vera anche per il successore di m, m+1.

Se valgono i seguenti fatti:

1. è vera per m=m₀ = P(m₀) vera
2. se è vera per m, allora è vera anche m+1. Allora P è vera per ogni m ∈ ℝ P(m) ⇒ P(m+1) ⇒ P(m) è vera ∀m ∈ ℕ, m ≥ m₀

Teorema (Disuguaglianza di Bernoulli)

∀m ∈ ℕ₁, ∀x ∈ ℝ x > 1

(1+x)^m > 1 - mx

ESEMPIO

₁ g(x) = -x²; g(x) = cos x

f(g(x)) = f(cos x) = cos x

sono 2 funzioni diverse f o g o g o f

₂ g(x) = e^x; g(x) = √x

Df(x) = R Dg(x) = x > 0 = [0, +∞)

g o g(x²) = g(√e^x) = [0, +∞)

D_gof = R qualunque numero > 0

FUNZIONE INVERSA

f invertibile se ∀ y ∈ f.I ∃! x ∈ D t. c.

y = f(x) La funzione g che a y ∈ f(b)

assicura quello unico x ∈ D t.C. y = f(x)

Si dice funzione inversa di f

f invertibile

strettamente crescente

f non è invertibile

f non invertibile

f invertibile

OSSERVAZIONE

f invertibile ⇔ vale una delle seguenti condizioni

₁ PUNTI DISTINTI HANNO IMMAGINI DISTINTE x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x) ≠ f(x₂)

₂ f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

₃ x → y = g(x)^-1 f g^-1 o f identica

Osservazione (non esistenza del limite)

Se non esiste _x→x₀ lim f(x) o lim⁺ f(x) oppure sono allora non esiste lim^- f(x)

Esempi

f(x) = segno(x) = {1 se x>0, -1 se x<0}

lim_x→0⁺ |x| = 1 lim_x→0^- |x| = -1 1_x→0 lim⁺

Proprietà dei limiti

Teorema (unicità del limite)

Se il limite di una funzione esiste questo è unico.

Dimostrazione:

f: A⊆R→R, x₀ punto di accumulazione per A; l₁, l₂ ∈ R

P.V. Assurdo supp. lim_x→x₀ f(x) = l₁ lim_x→x₀ f(x) = l₂ con l₁ ≠ l₂. Dalla definizione ε>0 δ₁>0 d c. c. c. α |x-x₀|<δ₅ ε> |f(x) - ε|< x₀ ε>0 δ₂ 0.C.C. 0α|x-x₀|<δ₂ ε |f(x) - |<ε₂.

ε= |l₁ - l₂| ₂³ - ε₂ l₁ →> f(x=p)

Risveta. ε∈ (|l₁ - l₂| =) (|l₁ - f(x)₂| + f(x) - l₂|) | f(x) ²

S₂ = min. {S₁;δ₁;δ₂}

{f(x)} ε1.² - |l₂| < ε f(x) e ε₆ e per α|x-x₀|⟨s e

Di conseguenza δᵞ che e ε

Teorema (di permanenza del segno)

Se una funzione assume limite ε≠0 allora in un intorno opposto valori della funzione hanno lo stesso segno del limite εl.

g: A⊆ (R)→IR, x₀ ∈ I R punto di accumulazione per A. Supponiamo lim f(x) - ε segno

ε=X 0 δ>20.C.C._α|x-x₀|⟨sβ0 {f(x) - ε|⟨ε} →- ε ² → f(x) - l₂' εξ | g(x) (1<ε|)

Di conseguenza scelto ε=ε2 7 δ>50.C.C. αO

|x-x₀|⟨sδ2 |Σ

Risulta f(x) Ɛ - ε

=^1/2 =ε₁ ε² →0IA