Analisi 1, geometria e algebra lineare

14/09/2020

*insiemi numerici

N numeri naturali {0,1,2,3,4,...}

Z numeri interi/relativi {0,-1,+1,-2,+2,...}

Q numeri razionali ^m/_n m,n∈ℤ n≠0

I numeri razionali possono essere scritti in forma decimale

1/3 = 0,3333... = 0,3

Scritti in forma decimale presentano un numero finito di

cifre dopo la virgola oppure un numero infinito di cifre

che si ripetono periodicamente

R numeri reali

Sono quelli che scritti in forma decimale presentano dopo

la virgola una successione qualsiasi di cifre diverse da zero

(non periodici)

NB Questi insiemi sono uno intero all'altro

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

*operazioni

1. Intersezione di 2 insiemi A e B

A ∩ B = { x ∈ A e x ∈ B }

2. Unione di 2 insiemi A e B

A ∪ B = { x, x ∈ A o x ∈ B }

3. Differenza di 2 insiemi A e B

A \ B = { x, x ∈ A e x ∉ B }

4. Complementazione di 2 insiemi A rispetto ad un insieme X, A ⊆ X

C_A = X \ A

(Se X è sottinteso si usa il simbolo A^c)

Prodotto cartesiano di 2 insiemi A e B

A x B = {coppie ordinate (a,b) con a∈A e b∈B}

Esempio:

Nota bene: Il prodotto cartesiano non è commutativo.

A x B ≠ B x A

Esempio: R x R = R²

Insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali (piano cartesiano) con variabili (x, y)

Proprietà delle operazioni

• Commutativa A ∩ B = B ∩ A
• Associativa (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• Idempotenza A ∩ A = A
• Commutativa A ∪ B = B ∪ A
• Associativa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Idempotenza A ∪ A = A

Proprietà distributive → legano Unione e Intersezione

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Leggi di De Morgan

• (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'
• (A')' = A

d² = 1 + 1 = 2

Q è inadeguato per esprimere le lunghezze dei segmenti

→ per questo si amplia l'insieme Q

• def. X insieme totalmente ordinato
• X è un maggiorante di E se ∀ x₀ ∈ X x ≤ x₀ ∀ x ∈ E
• X è un minorante di E se ∀ x ∈ E x ≤ x₀
• E è limitato superiormente se ammette un maggiorante
• E è limitato inferiormente se ammette un minorante
• E è limitato se è limitato superiormente e inferiormente
• X₀ è massimo di E se x₀ ∈ E e x₀ è maggiorante di E (max E)
• X₀ è minimo di E se x₀ ∈ E e x₀ è minorante di E (min E)
• X₀ è estremo superiore di E se x₀ è il minimo maggiorante di E (sup E)
• X₀ è estremo inferiore di E se x₀ è il massimo minorante di E (inf E)

esempio X = R E = {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, ..., 1/n}

• max E = sup E = 1
• min E non esiste
• inf E = 0

*Teorema 1 R ha la proprietà dell'estremo superiore → ogni sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di R ammette un estremo sup in R

*Teorema 2 completezza di R: afferma che siamo A ≤ B

due sottoinsiemi non vuoti di R∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, a ≤ b = > Ǝ x ∈ R (elem separatore) x ∈ a ≤ x ≤ b &

Binomio di Newton

Dati a, b ∈ &Real;

(a+b)ⁿ = ∑_k=0^{n (n)}C_k a^n-k b^k

n=2

(a+b)² = ⁽²⁾C₀ a^2-0 + ⁽²⁾C₁ a^2-1b + ⁽²⁾C₂ b²

= a² + 2ab + b²

n=3

(a+b)³ = ⁽³⁾C₀ a³ + ⁽³⁾C₁ a²b + ⁽³⁾C₂ ab² + ⁽³⁾C₃ b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Dimostrare binomio Newton per induzione

n=1 ovvia

(a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)ⁿ (a+b) = (a+b) ∑_k=0ⁿ a^n-k b^k = ...

Induzione: attribuire alla tesi scritta per n+1 al posto di n

Sia A un insieme di n elementi

Dimostra che la cardinalità dell’insieme delle parti di A è 2ⁿ

Somma primi 15 interi pari

∑_i=0¹⁵ 2i = 0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22+24+26+28

Somma primi 10 interi positivi a segni alternati (partendo dal +)

1+2+3+4+5-6+7-8+9-10=

∑_i=1⁵ 2i - ∑_i=1⁴ 2i

∑_k=1ⁿ k³ = ( ∑_k=1ⁿ k )²

Dato un n complesso

z = ρ₁ e^{i θ} e z₁ = ρ₂ e^{i θ₂}

Si può dire che z · z₁ = ρ₁ ρ₂ e^{i (θ + θ₂)}

(con z ≠ 0)

z₁ / z₂ = ρ₁ / ρ₂ e^{i (θ₁ - θ₂)}

Prodotto e rapporto con forma esponenziale

Potenza n-esima di un numero complesso

n = 1, 2, 3, 4, 5...

z = ρ e^{i θ} → zⁿ = (ρ e^{i θ})ⁿ = ρⁿ e^{i n θ}

Forma mρθ = zⁿ = ρⁿ [cos (n θ) + i sin (n θ)]

Formula di De Moivre

Esempio

z = -√3 / 2 + i / 2 calcolare z⁶

• Si converte da alg a mρθ
• Si incale che ρ = 1 θ = 5π / 6 → z = cos 5π/6 + i sin 5π/6

z⁶ = cos π + i sin π = -1

Dimostrazione proprietà del modulo

|z ̅| = |z| ̅ = z ̅ z = z

z = x / a + iy / b

z = x / c + iy / d

|z|² = (Re z)² + (Im z)²

|z|² = (Re z)² + (Im z)² = x² + y²

|z|² = (Re z) + (Im z)² = x² + y²

z ̅z = (ac - bd) + i(ad + bc) = (x² + y²) + i[(x y) + (x y)] = x + iy

|Re z| ≤ |z|

|Im z| ≤ |z|

• |Re z| ≤ |z|

|Re z| ≤ √((Re z)² + (Im z)²)

• x < √(x² + y²) → √(x² + y² - x)
• {x² + y² ≥ 0}_xi ∪ {x ≥ 0} → _xi{x² + y² ≥ x²}

x < 0 ∪

Ver. per x < 0

• t Ver. per x > 0 ⇒ sempre

Pertanto ogni polinomio a coefficienti reali si scompone come prodotto di polinomi reali di I grado e di polinomi reali di II grado irriducibili.

x⁴ + 1 come si scompone?

Ci saranno 4 radici in C di -1 (nessuna di queste in R).

Avremo 2 radici complesse e le loro 2 coniugate.

Se moltiplichiamo il polinomio per il polinomio coniugato si trova un polinomio irriducibile di grado 2 a coeff reali.

I) Calcolo le radici quarte di -1

x⁴ = -1 → insolvere

• si scrive -1 in forma esponenziale

ρ = 1

Θ = π

le radici quarte di -1 sono

z_k = e^iΘ_k

Θ_k = π + 2kπ / 4

k = 0, 1, 2, 3

cosΘ_k sinΘ_k

z₀ = e^iπ/4 = +1 + i ¹ / √2 + i ¹ / √2

z₁ = e^i3π/4 = -1 + i ¹ / √2 + i ¹ / √2

z₂ = e^i5π/4 = -1 - i ¹ / √2 - i ¹ / √2

z₃ = e^i7π/4 = +1 - i ¹ / √2 - i ¹ / √2

II) Moltiplico (z - z₀)(z - z_0̅) e (z - z₁)(z - z_1̅)

Facendo i conti si ottiene z² + z² / √2 + 1

(z - z₀)(z - z_0̅) =

(z - ¹ / √2 ¹ / √2i)(z - ¹ / √2 ¹ / √2i ) =

z² + ¹ / √2 z + ¹ / √2 z - ¹ / 2 - ^{i z 1} / 2 + ¹ / 2 + ¹ / 2 = -z² - ^2z / √2