Analisi 1, geometria e algebra lineare

14/09/2020

Insiemi numerici

N numeri naturali {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Z numeri interi/relativi {0, -1, -2, ...}

Q numeri razionali {\(\frac{m}{n}\), m, n ∈ Z n ≠ 0}

• I numeri razionali possono essere scritti in forma decimale
• 1/3 = 0,333... = 0,3̅
• Scritti in forma decimale presentano un numero finito di cifre dopo la virgola, oppure un numero infinito di cifre che si ripetono periodicamente

R numeri reali

• Sono quelli che scritti in forma decimale presentano dopo la virgola una successione qualsiasi di cifre diverse da zero (non periodica)

N.B. Questi insiemi sono uno interno all'altro

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

Operazioni

1. Intersezione di 2 insiemi A e B
• A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B}
2. Unione di 2 insiemi A e B
• A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}
3. Differenza di 2 insiemi A e B
• A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B}
4. Complessamento di 2 insiemi A rispetto ad un insieme X
• C_XA = X \ A
• (se X è sottinteso si usa il simbolo A^C)

14/09/2020

Insiemi numerici

• N numeri naturali {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• Z numeri interi/relativi {0, -1, 1, -2, 2, ...}
• Q numeri razionali ƒ _m/_n, m, n ∈ Ζ n ≠ 0

I numeri razionali possono essere scritti in forma decimale

scritti in forma decimale presentano un numero finito di

cifre dopo la virgola, oppure un numero infinito di cifre

che si ripetono periodicamente

• R numeri reali

sono quelli che scritti in forma decimale presentano dopo

la virgola una successione qualsiasi di cifre diverse da zero

(non periodici)

NB: Questi insiemi sono uno interno all'altro

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Operazioni

1. Intersezione di 2 insiemi A e BA ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
2. Unione di 2 insiemi A e BA ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
3. Differenza di 2 insiemi A e BA \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
4. Complementazione di 2 insiemi A rispetto ad un insiemex | A XC_A = A^c (se X è sottointeso si usa il simbolo A^c)

Prodotto cartesiano di 2 insiemi A e B

A x B = {coppie ordinate (a,b) con a ∈ A e b ∈ B}

esempio, A = {1, 2} B = {1, 2}

A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

NB: Il prodotto cartesiano non è commutativo

A x B ≠ B x A

B x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

esempio, R x R = R²

insieme di tutte le coppie ordinate di numeri reali (piano cartesiano) con variabili (x, y)

(1,0) "ordinate" (0,1) ordinate (0,1)

Proprietà delle operazioni

• ∩ commutativa A ∩ B = B ∩ A
• associativa A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• idempotenza A ∩ A = A
• ∪ commutativa A ∪ B = B ∪ A
• associativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• idempotenza A ∪ A = A

Proprietà distributive → legano Unione e Intersezione

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Leggi di De Morgan

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c (A^c)^c = A

Logica elementare

Il numero naturale n₁ é dispari

dipende da n₁

variabile che in base al valore rende

l'affermazione vera o falsa (predicato o proprietà)

Per ogni numero naturale n₁, se n é dispari allora n² é dispari é vera

Non ha senso assegnare valori particolari ad n, questa affermazione é vera o falsa una volta per tutte (enunciato o proposizione)

Implicaione universale dato un insieme A e due predicati p(x) e q(x) il cui argomento x varia in A

Si ha la seguente struttura logica:

• ∀ x ∈ A p(x) => q(x)
• quantificatore universale
• La maggior parte dei teoremi sono implicazioni universali
• p(x) = ipotesi
• q(x) = tesi
• => implica

Un teorema può essere vero o falso

• Per dimostrare che é vero devo fare una dimostrazione
• Per affermare che é falso devo esibire un contro esempio.

1. Dimostrazione diretta. Si parte da p(x) (allora, allora... q(x))
2. Dimostrazione usando la "contronominale"