Analisi 1, geometria e algebra lineare

Integrali

Parola chiave: AREA

y = x²

(_i ⁱ⁺¹_n)

[x₀, x_n] = [0, 1]

[x₁, x₂] = [₁ⁿ, ₂ⁿ]

Area S_n = somma aree dei rettangoli

Si può dim. che (per induz.)

^n-1 _Σ ¹ _i=1 (i(n-i)(2n-i)) / 6n³

conclusione area = lim S_n

Considero una f: [a, b] → R limitata

Consid. la suddivisione di [a, b] ind. dai punti x₀=a

x₁ < x₂ < … < x_n-1

x_n = b

con x_j = a + j _(b-a)/h

missione intervalli [x_j-1, x_j]

costruisco la somma di Cauchy-Riemann

S_n = ⁿ _Σ f(ξ_j)(x_j - x_j-1)

= b-a ⁿ_Σ f(ξ_j)/n

esiste finito _lim S_n e tale limite non dipende da

come abbiamo scelto i punti ξ_i

In tal caso si pone _limn→∞ S_n = ∫_aⁿ_b f(x)dx

Interpretazione geometrica

f ≥ 0 e f continua:

∫_aⁿ_bf(x) dx definisce l’area

del trapezoide individuato da f

(delimitata sotto da fì grafico)

oss. se φ cambia segno, integrale

cambia segno

qui l’integr. è pos.

qui è neg.

esempio: ∫₀ⁿ_2π sinx dx = 0

Interpretazione fisica

sopponiamo che un pto materiale si muova con velocità

v(t) t ∈ [0, T]

Quanto spazio ha percorso?

• suddivido [0, T] in n intervalli [t_j-1, t_j]

• approssimo v(t_i)≈v(ξ_i) dove ξ_j è un pto fissato in

[t_j-1, t_j]

• spazio percorso in [t_j-1, t_j] ≈ v(ξ_j) (t_j - t_j-1)

• spazio percorso in [0, T] ≈ Σ v(ξ_j) (t_j - t_j-1)

• al decrescere di n una somma di Cauchy-Riemann

approssimazione sempre

migliore

spazio percorso in [0, T] = ∫₀ⁿ_T V(t)dt

Nella pratica verificare se una f è integrabile usando la

definizione è molto difficile

^* teorema: se g : [a, b] → R è continua allora è integrabile

ma non vale viceversa

(ciò sottintende che è limitata)

essendo integrabile (perché continua).

Teorema fondamentale del calcolo (C2)

{ab} → integrabile allora detta F(x) = ∫_a^x f(t)dt

1. F è continua in [a,b]

2. Se f è continua in [a,b] allora F è derivabile

   ∀x ∈ [a,b] c ≤ c ∀x ∈ [a,b]

• ∃y ∈ [a,b] fisso. Considero F(y + Δy) - F(y)=

= ∫_y^y+Δy f(x) dx = f(c) Δx + f(c) Δx ±

f(y+Δy)-f(y) = ∫_y^y+Δy f(x) dx modulo ≤ costante

Conclusione:

Per il teorema del confronto fortifica continua

1. Y ∈ (y, y+Δy)

divido

=>

se devo calcolare ∫_a^b β(x)g(x) = β(x)g(x)|_a^b - ∫_a^b β'(x)g(x) dx

Problema: identificare chi sono β e g

esempio: ∫x sin x dx = -x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + c

β(x) - g'(x)

g(x) = cos x

se le avessi prese al contrario

∫(x) × (sin x) dx = ^x/₂ sin x (-^x/₂cos x) più complicato

g''(x) = ^-x/₂

g(x) = ^x/₂

In generale per calcolare ∫xⁿβ(x)dx con n≥1 e β(x)=sinx, cosx, eˣ, eⁿˣ sinx, dx.

∫ si integra per parti n volte, abbassando sempre la potenza.

=1/1(n)∫xⁿ⁻¹β(x) dx

Ma in generale: si integra con la stessa tecnica + ∫ integr. per scomposizione un polinomio del tipo

(pₙ(x)β(x) β(x) = sinx, cosx, eˣ, eⁿˣ, sinx

=1/n∫(3xⁿ-ωxⁿ⁻¹+xⁿ) eˣdx

esempio: ∫eˣ sinx dx = eˣ sinx - (∫eˣ cosx dx = eˣ sinx - eˣ cosx +

g(x) - g(x)

-∫eˣ sinx dx ⇒ 2∫eˣ sinx dx = eˣ(sinx-cosx) + c

integ di ∫eˣ sinx dx = 1/2 eˣ (sinx-cosx) + c

in generale: ∫β(x)g(x)dx β(x) = (e^αx

la tecnica sopra è spesso utile

esempio: ∫β(x)dx = ∫∫ x β(x) dx = x lβ(x) - ∫x dx = x lβ(x) - x + c

g(x) - β(x) g(x) - x

In generale la generica matrice m_n si scrive

A = [a_ij] con i=1,...,m

Notazione abbreviata: A(a_ij) e i, j sono pedici muti

Def Se m=n la matrice si dice quadrata di ordine m.

Def Due matrici di tipo (m,n) (dello stesso tipo) si dicono uguali se sono uguali i rispettivi elementi A=(a_ij) e B=(b_ij) sono uguali (A=B) se a_ij=b_ij ∀i, ∀j.

Somma di Matrici

Def Se A=(a_ij) e B=(b_ij) sono matrici di tipo m,n si dice somma tra A e B la matrice A+B=C se e solo se C=(c_ij) con c_ij=a_ij+b_ij

esempio:

A = [_{7 8 -3}] B = [_{-1 0 0}] => A+B= [_{1 8 -3}]    [_{3 2 4}]     [_{0 3 0}]      [_{3 5 4}]

NB: Non si possono sommare matrici che non siano dello stesso tipo, come

A = [_{3 0}] B = [_{8 8 9}]   [_{1 2}]     [_{-1 0 -1}]

oss: A+B = B+A (La somma è commutativa)

(u)

Il vettore opposto -V di un vettore V con la proprietà che V + (-V) = (-V) + V = 0.

Notazione: la somma V + (-w) si indica con V – w detta differenza tra V e w.

Moltiplicazione vettore per scalare

V vettore, t ∈ ℝ. Il prodotto tV è il vettore che ha modulo |t| |V| (modulo di V).

Stessa direzione di V, stesso verso se t ≥ 0, verso opposto se t < 0.

La moltiplicazione soddisfa le seguenti proprietà:

1. V = V
2. s(tV) = (st) V
3. t(V + w) = tV + tw
4. (s+t)V = sV + tV

V, s, t ∈ ℝ

Ogni vettore di modulo unitario si chiama versore (detto V ≠ 0). Posso costruire un versore dividendo V per |V|.

Questa procedura si chiama normalizzazione. Il modulo di un vettore si dirà NORMA.

Equazione retta nello spazio

Geometria analitica nello spazio e nel piano

• retta: 3 modi
• 1 punto di passaggio e vettore direzione
• 2 punti
• 2 piani non // a cui la retta è intersezione

caso 1 - 1 punto di passaggio e vettore direzione

Una retta nel piano è il luogo geometrico dei punti {(x,y): ax+by=c} con a,b,c ∈ R e a,b non nulli contemporaneamente:

• se b=0 → a≠0 → ax=c → x= ^c/_a (retta vert.)
• se b≠0 → by=c=ax → y= ^a/_b (coeff. ang.) → q (ordinata intercetta)

coesistenziali della retta:

P₁(x₁, y₁) P₀(x_o, y_o) V=(a,b)

P₁±tV al variare di t ∈ R descrive la retta

Il generico vettore P(x,y) della retta soddisfa:

P= P_o+tV

• eqq. param della retta
• {x=x_o+ta
• y=y_o+tb
• t ∈ R

La procedura si estende in modo analogo nello spazio:

Dato P_o(x_o, y_o, z_o) {p.t. di passaggio} e dato V=(a,b,c) {vettore direzione} il generico punto P=(x,y,z) sulla retta soddisfa:

p= p_o+tV t∈ R In componenti:

• x=x_o+ta
• y=y_o+tb
• z= z_o + tc_c
• con t ∈ R = eqq. parametrica

x=x_o+ta, y=y_o+tb, z=z_o+tc

t= ^x-x_o/_a

t= ^y-y_o/_b

t= ^z-z_o/_c

x= ^x-x_o/_a, y= ^y-y_o/_b, z= ^z-z_o/_c

(equazione cartesiana retta nello spazio)