Analisi matematica 1 - Funzioni Trigonometriche

Trigonometriacirconferenza goniometrica

Circonferenza centrata nell’origine e con raggio pari a 1.

Il radiante

Il radiante è il rapporto tra la lunghezza dell’arco individuato dall’angolo e il raggio della circonferenza.

Angoli notevoli

Funzioni

Per i criteri di similitudine dei triangoli si può osservare che:

Estendendo queste funzioni a tutto R si ottiene:

Proprietà

Si ricava immediatamente dal Teorema di Pitagora:

(cos²(θ) + sin²(θ) = 1)

Deriva dal fatto che il coseno è una funzione pari e il seno è una funzione dispari.

Formule di addizione e sottrazione

Dalla figura emergono subito i seguenti punti nel piano cartesiano:

(cos(θ), sin(θ))

[(cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β))]

E dall’uguaglianza dei segmenti e, poiché corde di archi che sottendono angoli uguali, si può scrivere la seguente uguaglianza:

(cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β))

Sviluppando l’uguaglianza si arriva a:

(cos²(θ) - sin²(θ)) = (cos(2θ))

Si ottiene facilmente a partire dalla precedente e sostituendo con:

(cos²(θ) + sin²(θ) = 1)

Inizialmente bisogna ricordare che: sin²(θ) + cos²(θ) = 1

Quindi possiamo scrivere:

(sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ))

In rosso è evidenziata una formula che abbiamo appena dimostrato e precisamente:

(sin²(θ) = 1 - cos²(θ))

Formule di duplicazione

(cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ))

Formule facilmente ottenibili dalle precedenti formule di addizione e sottrazione.

Formule di bisezione

Sapendo che possiamo scrivere il cos(θ/2) come:

(cos²(θ/2) = (1 + cos(θ))/2)

E risolvendo con la formula di addizione si ottiene che:

(cos²(θ/2) = (1 + cos(θ))/2)

Più semplicemente usando l’identità trigonometrica:

(cos(θ) = 1 - sin²(θ))

Dalle quali si possono ricavare le formule:

• 1 - cos²(θ) = sin²(θ)
• |sin(θ)| = √(1 - cos²(θ))

Grafico di funzioni

Dai grafici è facile comprendere come le due funzioni siano periodiche e precisamente: sin(θ) e cos(θ).

Tangente e cotangente

Definiamo ora altre due funzioni trigonometriche:

• tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
• cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)

Sono due funzioni di cui il grafico è il seguente:

Funzioni iniettive

Prima di poter introdurre le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche dobbiamo restringere il dominio delle funzioni in modo da renderle iniettive.