Analisi Matematica

La funzione f

∀x ∈ ℝ, x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ: f(x) = senx/cosx si dice "funzione tangente" e si denota con "tg".

f(x) = tgx

La funzione f

∀x ∈ ℝ, x ≠ kπ, k ∈ ℤ: f(x) = cosx/sinx si dice "funzione cotangente" e si denota con "cotg".

f(x) = cotgx

La funzione

La funzione ƒ: ℝ \ {x ≠ π/2 + K π | K ∈ ℤ} → ℝ tale che

∀x ∈ ℝ, x ≠ π/2 + K π, K ∈ ℤ : ƒ(x) = ^{sen x}/_{cos x} si dice "funzione tangente" e si denota con "tg."

Funzione cotangente

La funzione ƒ: ℝ \ {K π | K ∈ ℤ} → ℝ tale che

∀x ∈ ℝ, x ≠ K π, K ∈ ℤ : ƒ(x) = ^{cos x}/_{sen x} si dice "funzione cotangente" e si denota con "cotg."

- Osservazione

Così come la tangente, anche la cotangente è dispari e periodica con periodo π.

Oltre alle formule su seno e coseno già viste, valgono le seguenti formule.

∀ x ∈ ℝ, x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ, detto t = tg x si ha che:

sen x = / 1 + ²

cos x = 1 - ² / 1 + ²

Infatti, come noto dalla formula di duplicazione, ti ho che

∀ y ∈ ℝ: (1) sen 2y = 2 sen y cos y e (2) cos 2 = cos² y - sen² y.

Partendo da (1) e tenendo presente che sen² + cos² = 1, si ha

sen 2y = 2 sen y cos y / sen² y + cos² y

Se y ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ, cos y ≠ 0 e perciò posso moltiplicare e dividere per cos² y senza modificare la precedente uguaglianza

sen 2y = 2 sen y cos y / cos² y - cos² y / sen² y + cos² y

= 2 sen y / cos y + 1 / sen² y + cos² y / cos² y =

= 2 tg y + 1 / tg² y + 1 = 2 tg y / 1 + tg² y.

Ponendo y = x / 2, con x / 2 ≠ π/2 + kπ ⇔ x ≠ π + 2kπ, si ha

sinx = ^2t/_1+t², e cioè senx = ^2t/_1+t².

La formula parametrica del coseno si ottiene ponendo do (x) e procedendo allo stesso modo.

Esercizi. Risolvere:

1. 2 cos²x - 3 cosx + 1 = 0.

Poniamo y = cosx. Allora 2y² - 3y + 1 = 0 _Δ=1 y = ^3±√1/₄ V y = ^3±√1/₄

Dunque y = 1 V y = ¹/₂

Cosx=1 x = 2kπ, k∈ℤ

Cosx = ¹/₂ x = ^π/₃ + 2kπ V x = -^π/₃ + 2kπ, k∈ℤ

2. Sen²x = senx. Poniamo y = senx.

Allora y² = y y²y=0 y(y-1)=0 y=0 V y=1

Senx=0 x = kπ, k∈ℤ

Senx=1 x = ^π/₂ + 2kπ, k∈ℤ

3. Cos²x + 3 senx - 3 = 0.

Sappiamo che cos² x=1-sen² x, dunque

1-sen² x+3senx-3=0 sen²x-3senx+2=0

Poniamo senx=y. Allora y²-3y+2=0 (y-2)(y-1)=0 y=2 V y=1

Per x=2 non ci sono soluzioni

Per x≠2 <=> x≠ π/2 + kπ, k∈Z.

4) 2cosx + cos2x = 1/2.

Sappiamo che cos2x = 2cos²x - 1, dunque

2cosx + 2cos²x - 1 - 1/2 ≤ 0 <=> 2cos²x + 2cosx - 3/2 ≤ 0,

Poniamo cosx = y.

Allora 2y² + 2y - 3/2 ≤ 0 (*)

Osserviamo che 2y² + 2y - 3/2 = 0 ammette le due soluzioni reali e distinte y₁ = - 3/2 e y₂ = 1/2, dunque la disequazione (*)

è verificata se - 3/2 ≤ y ≤ 1/2.

Vogliamo per quali x ∈ R è verificata la doppia disequazione - 3/2 ≤ cosx ≤ 1/2.

In particolare, poiché - 3/2 < -1, la disequazione

- 3/2 ≤ cosx è sempre verificata, perciò ci riduciamo a cercare soluzioni solo per cosx ≤ 1/2.

Vediamo quindi quali archi della circonferenza goniometrica soddisfano la disequazione.

Infatti, i punti evidenziati sulla circonferenza hanno cosx ≤ 1/2, quindi x i corrispondenti archi

soddisfano la disequazione.

In [0, 2π] la disequazione è soddisfatta per x tale che:

π/3 ≤ x ≤ 5/3π, in R tutte le soluzioni ci danno per π/3 + k2π ≤ x ≤ 5/3π + k2π, k∈Z.

. Funzioni trigonometriche inverse.

E evidente che sia il cos che il sen non sono re-iniettive (infatti nessuna funzione periodica lo è) né surjective (infatti sen(R)=[-1,1] e cos(R)=[-1,1]).

Così come abbiamo visto per la funzione f(x)=x³, attraverso restrizioni ad opportuni sottoinsiemi di R è possibile qualunque e iniettività mantenendo inalterati l'insieme dei valori assunti.

Consideriamo il cos.

Si vede facilmente che cos|[0,π] : [0,π]→R è re-iniettiva, dunque cos|[0,π] sara biettiva e, quindi, invertibile.

Poiché cos([0,π]) = [-1,1], si ha che la funzione:

(cos|[0,π]) : [0,π]→[-1,1] (1)

Analogamente

(sen|[-π/2, π/2]) : [-π/2, π/2]→[-1,1] (2)

[0, π] → R (4)

sono tutte biettive.

Le funzioni inverse di (1), (2), (3) e (4) si denoteranno con “arccos”, “arcsen”, ”arctg” ed “arccotg” e

si diranno “arcocoseno”, “arcoseno”, “arcotangente” ed “arcocotangente”.

Si avrà dunque

• arccos: [-1,1] → [0, π]
• arcsen: [-1,1] → [-π/2, π/2]
• arctg: R → ]-π/2, π/2[
• arccotg: R → ]0, π[

Osservazione

1. ∀ x ∈ [0, π], arccos(cos x) = x∀ y ∈ [-1,1], cos(arccos y) = y
2. ∀ x ∈ [-π/2, π/2], arcsen(sen x) = x∀ y ∈ [-1,1], sen(arcsen y) = y
3. ∀ x ∈ ]-π/2, π/2[ arctg(tg x) = x∀ y ∈ R tg(arctg y) = y
4. ∀ x ∈ ]0, π[, arccotg(cotg x) = x∀ y ∈ R cotg(arccotg y) = y.

f(x)=arccos x

f(x)=arcsen x

f(x)=arctg x

f(x)=arcotg x

- Osservazioni

• a > 0, a ≠ 1. La funzione f(x) = a^x è illimitata superiormente ed è limitata inferiormente (infatti, siccome ∀x ∈ ℝ: a^x > 0, 0 è un minorante della funzione).Inoltre 0 = inf a^x_x∈ℝ.
• a > 0, a ≠ 1. La funzione f(x) = log_a x è illimitata.
• sen e cos sono limitate; inoltre -1 = min sen x_x∈ℝ = min cos x_x∈ℝ e 1 = max sen x_x∈ℝ = max cos x_x∈ℝ.tg e cotg sono illimitate.
• arcsen e arccos sono limitate; inoltre0 = min arccos x_x∈[-1,1], π = max arccos x_x∈[-1,1],-π/2 = min arcsen x_x∈[-1,1], π/2 = max arcsen x_x∈[-1,1].
• arccos è strettamente decrescente.arcsen è strettamente crescente ed è dispari.arctg è strettamente crescente, dispari e limitata: inf arctg x_x∈ℝ = -π/2, sup arctg x_x∈ℝ = π/2
• arccotg è strettamente decrescente e limitata:inf arccotg x_x∈ℝ = 0, sup arccotg x_x∈ℝ = π.

Successioni

Definizione

Si dice "successione" ogni funzione che ha come insieme di partenza ℕ o un suo sottoinsieme infinito. Invece di usare la notazione f: ℕ → ℝ si scriverà (a_m)_m∈ℕ. Per ogni m∈ℕ l'unico numero reale immagine di n si denota con a_m.

Esempio

(a_m)_m∈ℕ = (2m+1)_m∈ℕ

• m=0 → a₀=1
• m=1 → a₁=3
• m=2 → a₂=5

è la successione dei numeri dispari.

Osservazione

Sia (a_m)_m∈ℕ una successione. Allora l'insieme delle immagini è A={a_m | m∈ℕ}.

Tutti i concetti che è possibile definire su A come, per esempio, limitatezza, estremo superiore ed inferiore, massimi e minimi, si attribuiscono ad (a_m)_m∈ℕ.

Per esempio consideriamo

(a_m)_m∈ℕ=(2^-m)_m∈ℕ

A={2^-m|m∈ℕ}={2, 2^-1, 2^-2, ...}={1, 1/2, 1/4, ...}

L = max A quindi 1 = max 2^-m (questa è la notazione scelta), cioè 1 è il massimo di A quindi 1 è il massimo di (2^-m)_m∈ℕ.

Siccome A è limitato inferiormente diciamo che

(2^-m)_{m ∈ N} è limitato inferiormente.

Siccome ∀ ε ∈ A : 0 ≤ α, 0 è un minorante di A e quindi

diciamo che 0 è un minorante di (2^-m)_{m ∈ N}.

nulla è il più grande minorante perché se ε > 0

allora posso trovare α ∈ A tale che α < ε. Vogliamo come:

α < ε, α ε A ⇔ 2^-m < ε, m ∈ N ⇔ ½^m < ε, m ∈ N ⇔

< > m > log_½ ε, m ∈ N.

ampie log di

« stellarmente decrescente »

Quindi posso prendere n sufficientemente grande.

Perciò 0 = inf A si scriverà 0 = inf 2^-m

m ∈ N

Osservazione

-

Abbiamo definito la monotonia di f : Σ → ℝ in

precedenza osservando, in corrispondenza de <x<Σ

x<y arbitrari, il comportamento di f .

Nel caso delle successioni, per stabilire la monotonia

di (a_m)_{m ∈ N} potrò considerare m ∈ N arbitrario e

confrontare a_m con a_m+1.

In particolare, detta (a_m)_{m ∈ N} una successione, si ha che

∀ m ∈ N : a_m ≤ a_m+1 ⇔ (a_m)_{m ∈ N} è crescente (stellarmente)

∀ m ∈ N : a_m+1 ≤ a_m ⇔ (a_m)_{m ∈ N} è decrescente (stellarmente)

Osservazioni

• Una successione _{(an)n ∈ N} si dice “limitata superiormente (inferiormente)” se ∃ M ∈ R tale che ∀n ∈ N: a_n ≤ M (M ≤ a_n). In tal caso, ogni numero M come sopra si dice maggiorante (minorante) della successione.
• Una successione limitata superiormente (inferiormente) ammette “estremo superiore (inferiore della successione)”, ossia un elemento b ∈ R che risulta essere il più piccolo dei maggioranti della successione (nel caso della limitatezza inferiore, un elemento α ∈ R che risulta essere il più grande minorante della successione). Si usa la notazione “b = sup_{n ∈ N} a_n (e α = inf_{n ∈ N} a_n)”.

Si prova che

• b = sup_{n ∈ N} a_n ⇔
1. ∀n ∈ N: a_n ≤ b
2. ∀ε > 0, ∃n ∈ N: ε, c. b - ε < a_n
• α = inf_{m ∈ N} α_n ⇔
1. ∀n ∈ N: α ≤ a_n
2. ∀ε > 0, ∃n ∈ N: t. e, a_m < α + ε

• Se _{(an)n ∈ N} è una successione limitata superiormente (inferiormente) ed esiste n* ∈ N tale che ∀n ∈ N: a_n ≤ a_n* (a_n* ≤ a_n) allora a_n* si dice “massimo (minimo) della successione”.

Esempio

Si consideri la successione ₍ⁿ/_n+1)n∈N. Si provi che è limitata (cioè è limitata sia superiormente che inferiormente) e determinare estremo superiore ed inferiore. Verificare se la successione ammette massimo e/o minimo.

Osserviamo che n/_n+1 = n+1-1/_n+1 = n+1/_n+1 - 1/_n+1 = 1 - 1/_n+1 = ... = 1 - 1/(_n+1) = ...

Perciò, siccome 1/_n0 < 1 - 1/_n+1 < 1 - 1/_n+1 < 1 - 1/₂₊₁ < ... < 1 - 1/_n+1 < ... < 1 - 1/(_n+1)

la successione è strettamente crescente. Perciò essa ammette minimo a₀ = 0.

Infatti ∀n≥1: a_n = ⁿ/_n+1 = 1 - 1/_n+1 ≤ 1, perciò

la successione è limitata superiormente ed 1 è un maggiorante. Proviamo che 1 è il sup.

Sia ε>0 e mostriamo che c’è un elemento della successione più grande di 1−ε.

a_n = 1 - 1/_n+1 ≥ 1−ε ⇔

⇔ - 1/_n+1 ≥ - ε ⇔ 1/_n+1 < ε

⇔ n+1 > 1/ε ⇔ n > 1/ε - ε

Per la proprietà di Archimede, la precedente è vera per qualche n ∈ N.

- A volte una proprietà è vera o falsa a seconda del valore che si attribuisce ad una variabile da cui quella proprietà dipende.

Nel caso la variabile in questione è in N e si vuole verificare che tale proprietà sia vera per ogni n, una tecnica dimostrativa molto valida è il principio di induzione.

- Principio di induzione -

Sia (Pn) con n una successione di proprietà. Sappiamo detta dipendente da n.

Allora se:

1. P0 è vera (cioè la proprietà ottenuta attribuendo valore 0 ad n)
2. ∀n≥0 si verifica la seguente implicazione

Pn è vera ⇒ Pn+1 è vera,

si ha che Pn è vera ∀n∈N.

La dimostrazione del principio di induzione si basa sulla idea della reazione a catena in cui ogni fenomeno è causato dal precedente ed a sua volta causa il successivo, essendo il processo stato innescato in un certo momento da un qualche impulso esterno. Infatti, l'assunzione per ipotesi che P0 sia vera, fa partire il processo poiché, per l'ipotesi 2, anche P0+1=P1 è vera. Dunque, siccome P1 è vera, per l'ipotesi 2 anche P1+1=P2 è vera e così via.

Vediamo una applicazione

Proposizione (Gauss è la somma dei primi 100 numeri)

Per ogni n ∈ N: 0 + 1 + 2 + ... + n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂

Dim.

La proprietà Pn è:

Pn: 0 + 1 + 2 + ... + n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂

Vediamo se è vera P0:

0 = ⁰⁽⁰⁺¹⁾⁄₂. Vero.

Ora assumiamo per ipotesi che Pn sia vera e proviamo

Pn+1 : 0 + 1 + 2 + ... + n + (n+1) = ^(n+1)(n+2)⁄₂

Calcoliamo:

0 + 1 + 2 + ... + n + (n+1) =

⇓ &uparrow è l'assunzione vera Pn

= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂ + n + 1

= ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂ [n + 2] = ^(n+1)(n+2)⁄₂

⇓ Metto in evidenza N+1

Dunque Pn vera ⇒ Pn+1 vera.

Allora la tesi è vera ∀n ∈ N.

Più in generale se si vuole che una certa proprietà valga

da 3 in poi, o da 7 in poi, o da un certo n in poi,

si utilizza la seguente versione del principio di

induzione.