Analisi Matematica

La funzione f: R \ {kπ | k ∈ Z} → R tale che

∀x ∈ R, x ≠ kπ, k ∈ Z: f(x) = ^senx/_cosx si dice "funzione tangente" e si denota con "tg".

La funzione f: R \ {kπ | k ∈ Z} → R tale che

∀x ∈ R, x ≠ kπ, k ∈ Z: f(x) = ^cosx/_sinx si dice "funzione cotangente" e si denota con "cotg".

Osservazione

Così come la tangente, anche la cotangente è dispari e periodica con periodo π.

Oltre alle formule su seno e coseno già viste, valgono le seguenti formule:

∀ x ∈ ℝ, x ≠ t + 2kπ, k ∈ ℤ, detto t = tg₋₁ x, si ha che:

tg x = ^2t/_{1 + t²}

ctg x = ^{1 − t2}/_{t² + 2}

Infatti, come noto dalle formule di duplicazione, ti faccio

∀ y ∈ ℝ: (1) sin 2y = 2 sin y cos y e (2) cos 2 = cos² y − sin² y.

Partendo da (1) e tenendo presente che sin² y + cos² y = 1, si ha

sin 2y = ^{2 sin y cos y}/_{sin² y + cos² y}

Se y ≠ ^π/₂ + kπ, k ∈ ℤ, cos y ≠ 0 e perciò sono moltiplicato e diviso per cos² senza modificare la precedente uguaglianza

sin 2y = ^{2 sin y cos y}/_{cos² y} = ^{cos2 y}/_{sin² y + cos² y}

= ^{2 sin y}/_{cos y} × ¹/_{sin² y + cos² y} =

= 2 tg y × ¹/_{tg² y + 1} = ^{2 tg y}/_{1 + tg² y}

Posto y = ^x/₂, con ^x/₂ ≠ ^π/₂ + kπ ⇔ x ≠ π + 2kπ, ci ho

[0,\pi] \rightarrow \mathbb{R} \quad (3)

\mathbb{C} \setminus [\mathbb{Z}] \quad \rightarrow \mathbb{R} \quad (4)

sono tutte biiettive.

Le funzioni inverse di (1),(2),(3) e(4) si denotano con “arcoss”, “arcem”, “arcotg” ed “arcocotg” e si dicono “arcocosseno”, “arcoceno”, “arcotangente” ed “arcocotangente”. Si avrà dunque

• \text{arcoss}: [\mathbb{Z}] \rightarrow [0,\pi]
• \text{arcem}: \mathbb{C} \rightarrow ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[
• \text{arcotg}: \mathbb{R} \rightarrow ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[
• \text{arcocotg}: \mathbb{R} \rightarrow [0,\pi]

Osservazioni

1. \forall x \in [0,\pi]:\arcoss(\text{cos } x) = x \forall y \in [\mathbb{Z}]: \text{cos}(\arcoss y) = y
2. \forall x \in \mathbb{C}: \arcem(\text{sin } x) = x \forall y \in [\mathbb{Z}]: \text{sin}(\arcem y) = y
3. \forall x \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \text{arcotg}(\text{tg }x)=x \forall y \in \mathbb{R} \text{tg}(\text{arcotg } y) = y
4. \forall x \in ]0, \pi[: \text{arcocotg}(\text{cotg } x) = x \forall y \in \mathbb{R}: \text{cotg}(\text{arcocotg } y) = y.

Siccome ∀n∈ℕ: 2^(-m+1) < 2^-n la successione è decrescente (in realtà strettamente decrescente) perché 2^(-m+1) < 2^-n

Osservazione

• Una successione (a_n)_n∈ℕ si dice "limitata superiormente (inferiormente)" se ∃M∈ℝ tale che ∀n∈ℕ: a_n≤M (M≥a_n). In tal caso, ogni numero M come sopra si dice maggiorante (minorante) della successione.
• Una successione limitata superiormente (inferiormente) ammette "estremo superiore (inferiore) della successione", ossia un elemento b∈ℝ che risulta essere il più piccolo dei maggioranti della successione (nel caso della limitazione inferiore, un elemento a∈ℝ che risulta essere il più grande minorante della successione). Si userà la notazione "b = sup_n∈ℕ a_n (e a = inf_n∈ℕ a_n)".

Si prova che

• b = sup_n∈ℕ a_n⇔ 1) ∀n∈ℕ: a_n≤b
• 2) ∀ε>0 ∃n∈ℕ∋ c. b-ε < a_n

• a = inf_n∈ℕ a_n⇔ 1) ∀n∈ℕ: a ≤ a_n
• 2) ∀ε>0 ∃n∈ℕ∋ e. a_n < a+ε

Se (a_n)_n∈ℕ è una successione limitata superiormente (inferiormente) ed esiste n∈ℕ tale che ∀n∈ℕ: a≤a_n (a_n≤a) allora a_n si dice "massimo (minimo) della successione".