Analisi 1 Formulario (Preparazione scritto)

FORMULARIO ANALISI I

• NUMERI COMPLESSI ➔ p. 2
• LIMI ➔ p. 6, 7, 8
• DERIVATE ➔ p. 9
• INTEGRALI ➔ p. 10, 11, 12, 13, 14, 15
• SERIE NUMERICHE ➔ p. 3, 4, 15
• STUDIO DI FUNZIONE ("DISUGLIE ESTERNE")

APPUNTI PARTICOLARI

• lim ≤ _s m v.d(e) per le serie
• METODO PER ACCOMPAGNANTE

L = arctan(√3) = π/3

QUALE ANGOLO DA SOPRE RISULCIO DELLA TANGENTE

=> tan _L = sin_L/cos_L

tan _L = √3 = √3/2 / 1/2

OVVERO sin(π/3)

cos(π/3)

QUINDI L'ANGOLO = π/3

RIELLO SUGLUCITO UNA SERIE CON UN VALORE ASSOLUTO, UNA VOLTA TROVATA LA CONVERGENZA, FACCIO ATTENZIONE NEL STUDIO DEL CASO ULTRE (TOSNISING + UN VALORE NEURATE)

Numeri Complessi

Z = z = a + ib

PARTE REALE (re Z)

a = parte reale (re Z)

n.b.

SE 2 REZ = 0, ALLOCA Z ≠ i b = 0

• FORMA CARTESIANA PARTE IMMAGINARIA (IM Z)
• FORMULA ESPONENZIALE Z = P Cos θ + i P sin θ

• N.B | e^x = (cos α + i sin α)
• N.B: δ = o; p (cos θ+i sin θ)

PASSARE DA UNA RAPPRESENTAZIONE ALL'ALTRA

cos θ = a/(√(v) √(b)² )

sin θ = b/(√(a)²)

θ = arc tan b/a

θ = arc tan b/a

n.b. SE a ≥ o b ≥ o θ = arc tang b/a

SE a ≤ o b ≤ o θ =/== π

Coniugato di Z:

• Sia Z = Z + ib = P (cos θ + i sin θ)
• Modulo di Z: |z=|
• SIA z = a + ib = p (cos θ + i sin θ)
• Il coniugato è dato da
• Z = z + ib (cos - θ + a sin - θ)

Il modulo è dato

• |z|
• √

Z₁: Z₁ Z₂ : Z₁ e Z₂ Z₃ Z=₁^²

• _ais - Z^²/|z|² = 1
• _C2. Z₁ e Z₁ a Z₂ Z_p Z_p_o0

Radici di un numero complesso

z = ρ (cosθ + i sinθ) →

n√z = √ρ (cos ^θ+2kπ/_n + i sin ^θ+2kπ/_n)

con k ∈ {0, 1, 2, ..., n-1}

Piano di Gauss

z = a + ib

IM(z)

r = |z|

arg(z)

Serie numeriche

Data una successione (am) ∈ C R, chiamiamo

somma parziale n-esima:

Sn = a₁ + a₂ + ... + a_n = ∑ⁿ_k=1 ak

Si dice serie di termine generico am e si indica con ∑^∞_n=1 an

Indice ∑^∞_n=1 an = s

lim_m→∞ Sm = S

Carattere della serie

• Se S è finito → la serie si dice convergente
• Se S = ±∞ → divergente
• Se S non esiste → indeterminata

Serie armonica

• Converge ↔ γ > 1
• Diverge ↔ α < 1

∑^∞_n=1 1/n^α

∑^∞_n=2 1/n^(logγ(n)β)

• Converge ↔ β > 1
• Diverge ↔ β ≤ 1

Serie geometriche

∑^∞_m=0 q^m q∈R

• Converge ↔ q∈(-1,1)
• Diverge ↔ q = ±∞
• Indeterminata se q = ±1

• Date f, g: A ⊂ R → R
• X₀ ∈ Α (c(Α)) ∩ R{ φalcHe
  • lim f(x) = ±∞
  • lim g(x) = ±∞
  • x → X₀ x → X₀
  • F e infinito di ordine inferiore rispetto a g
• Per x → X₀, ovvero g e infinito di ordine superiore rispetto a f per x → X₀ se
  • lim f(x)/g(x) = 0
  • x → X₀

Asintotico

f ∼ 0 per x → X₀ non va ma senso perche

vorrebbe dire che lim f(x)/0

• Il simbolo di asintotico può fallire nei limiti
• d. Somme differenze (quando gli addendi hanno
• la stessa parte principale) e con le composizioni
• di funzioni (per esempio x → 2^x non è asintotico
• per x → 2^x+1)

formula di Stirling

• m ! ∼ m^m e^-m √ (2 π m)
• per m → +8

∞ crescente :

• lim sen x/x = 1
• x → 0
• lim (1-cos x)/x = 0
• x → 0
• 1
• -lim (1-cos x)/x²
• x → 0 = 1/2
• lim (1 + 1/x)^x = e
• x → ł
• lim (1 + 1/x)^x = b
• x → 0
• lim e^x - 1/x = 1
• x → 0
• => e^x ∼ 1/x ln ǝ
• lim e^x - 1/x = e
• x → 0
• => e^x - 1/x ln x
• lim (4+x)^1/x - 1/x = a
• x → 0
• => (4+x)^1/x - 1/x ln (k)
• lim log (1+x)/x = 1
• x → 0
• => log (1+x) ∼ 1/x ln y
• lim log_a (1+x)/x = log_{a n} = 1/log(a)
• x → 0
• => log_a (1+x) ∼ 1/log a

TAL CASO SI PRESENTA NELLA FORMA

∫^k/_ax²+bx+c dx

∫^k/_ax²+bx+c dx = ∫^k/_ax²+bx+c dx = ...

2° CASO

p₂(x) = ax²+bx+c

R(x) = 1° GRADO

COSANTE

∫^cx+d/_ax²+bx+c dx

SE cx+d È LA DERIVATA DEL DENOMINATORE

allora -> ∫^cx+d/_ax²+bx+c dx = ln |ax²+bx+c|

SE cx+d NON È LA DERIVATA DEL DENOMINATORE

2) Δ=0

β = α -> ax²+bx+c = a (x-α)²

Cx+d / ax²+bx+c = cx+d / a(x-α)² = A / (x-α) + B / (x-α)²

3) Δ