Analisi 1 Formulario (Preparazione scritto)

Formulario analisi I

Numeri complessi   Limiti   Derivate   Integrali   Serie numeriche   Studio di funzione

Appunti particolari

Metodo per accompagnare

L = arctan(√3) = π/3

Quale angolo dà come risultato della tangente √3?

tan α = sin α / cos α

tan α = √3 = √3/2 / 1/2

Ovvero sin(π/3) / cos(π/3)

Quindi l’angolo α = π/3

Numeri complessi

Forma cartesiana

z = x + iy

Parte reale (Re z)

Parte immaginaria (Im z)

Nota bene: i² = -1

Forma trigonometrica

z = p cosθ + i p sinθ

Passare da una rappresentazione all’altra

cos θ = x / √(x² + y²), sin θ = y / √(x² + y²)

θ = arctan (b/a)

Nota bene: se z = 0, θ = 0, a = Re z / |z|, b = Im z / |z|

Coniugato di z

Modulo di z

|z| = √(Re z)² + (Im z)² = p

z₁z₂ = z₁ · z₂ - (x₁z₂ - y₁z₂), z₁ · z₂

Formulario analisi I

Numeri complessi → P. 2   Limiti → P. ⁶,⁷,⁸   Derivate → P. ⁹   Integrali → P. ¹⁰,¹⁴,¹²,¹³,¹⁴,¹⁵   Serie numeriche → P. ³,⁴,⁵   Studio di funzione → (richiede esterne)

Appunti particolari

^LUM ≤ ₅ ^M VIE PER LE SERIE

METODO PER ACCOMPAGNARE

²L → ^{ARC TAN}(^√₃) ≈ ^π/₃

QUALE ANGOLO DA CUI RISULTATO DELLA TANGENTE ^√₃?

^{→ TAN α} = ^{SIN α}

²TAN ^α = ^√₃ ≈ ^√₃/₂

OVVERO ^SIN(^π/₃)

^COS(^π/₃)

QUINDI (ANGOL ^{≈ π}/₃

NEL SEGUITO UNA SERIE CON VALORE ASSOLUTO UNA VOLTA TROVATA LA CONVERGENZA, FOCCHIO ATTENZIONE NEL STUDIO DEL CASA UNITE (SESTRANO IL VAVELLO NOTARIO)

Numeri complessi

^{UTEA: IMMAGINARIA}

^Z = ^[Z = ^a + ^ib] ≈ PARTE IMMAGINARIA 1/N/Z

^Z = ^{P × ε₂π00π0 = 1}

NOTA SE SUPERSCRIPTS VOLUME ₁SE ≤ ₀! TEN _. ≤ ₀ ^N

Radici di un numero complesso

z = ρ (cosθ + i sinθ) → Piano di Gauss

z = a + ib

Serie numeriche

Data una successione (am)∈ℂ

Serie armonica

• Σ_m=0^∞ 1/m^α - Converge x > 1
• Diverge x ≤ 1

Serie geometriche

• Σ_m=0^∞ q^m, q∈ℝ
• Converge A 1/(1-q) se |q| < 1
• Diverge A ±∞ se |q| ≥ 1
• Indeterminata se q ∈ ℂ

Serie telescopiche

_m=0∑^∞ (1/m(m+1)) → converge

_m=0∑^∞ log (1 - 1/m) → diverge a -∞

Condizione necessaria per la convergenza

Il termine generale è un infinitesimo per m → +∞

Condizioni sufficienti per la convergenza

Serie a termini non negativi:

• Criterio del rapporto
• Criterio della radice
• Criterio del confronto
• Criterio del confronto asintotico

Serie a termini di segno variabile:

• Criterio dell'assoluta convergenza (serie segno variabile)
• Criterio di Leibniz (serie a segni alterni)

Criteri serie a termini non negativi

• Criterio del rapporto
• _m=0∑^∞ (am+1/am) ~ ∑_m=0 ^∞ am = k∑_m=0 ^∞ am
• Siano am>0 e lim_m→+∞ am+1/am = l: Se l Se l > 1 → la serie diverge
• Se l = 1 → cambia criterio!
• Criterio della radice
• Data la successione am>0 ∀ m ∈ N
• Se esiste lim_m→+∞ √am = l ≠ 1 allora: Se l Se l > 1 → la serie diverge
• Se l = 1 → cambia criterio!