Analisi 1 Formulario (Preparazione scritto)

FORMULARIO ANALISI I

• NUMERI COMPLESSI
• LIMITI
• DERIVATE
• INTEGRALI
• SERIE NUMERICHE
• STUDIO DI FUNZIONE

APPUNTI PARTICOLARI

• Metodo per accompagnare

L = arctan(√3) = π/3

Quale angolo da come risultato della tangente √3?

tan α = sin α / cos α

tan α = √3 = √3/2 / 1/2

Ovvero sin(π/3) / cos(π/3)

Quindi l’angolo α = π/3

NUMERI COMPLESSI

Forma cartesiana

z = x + iy

Parte reale (Re z)

Parte immaginaria (Im z)

Nota Bene: i² = -1

Forma trigonometrica

z = p cosθ + i p sinθ

Passare da una rappresentazione all’altra

cos θ = x / √(x² + y²), sin θ = y / √(x² + y²)

θ = arctan (b/a)

Nota Bene: se z = 0, θ = 0, a = Re z / |z|, b = Im z / |z|

Coniugato di z

Modulo di z

|z| = √(Re z)² + (Im z)² = p

z₁z₂ = z₁ · z₂ - (x₁z₂ - y₁z₂), z₁ · z₂

FORMULARIO ANALISI I

• NUMERI COMPLESSI → P. 2
• LIMITI → P. ⁶,⁷,⁸
• DERIVATE → P. ⁹
• INTEGRALI → P. ¹⁰,¹⁴,¹²,¹³,¹⁴,¹⁵
• SERIE NUMERICHE → P. ³,⁴,⁵
• STUDIO DI FUNZIONE → (RICHIEDE ESTERNE)

APPUNTI PARTICOLARI

• ^LUM ≤ ₅ ^M VIE PER LE SERIE
• METODO PER ACCOMPAGNARE
• ²L → ^{ARC TAN}(^√₃) ≈ ^π/₃
• QUALE ANGOLO DA CUI RISULTARO DELLA TANGENTE ^√₃ ?
• ^{→ TAN α} = ^{SIN α}
• ²TAN ^α = ^√₃ ≈ ^√₃/₂
• OVVERO ^SIN(^π/₃)
• ^COS(^π/₃)
• QUINDI (ANGOL ^{≈ π}/₃
• NEI SEGUITO UNA SERSE CON VALORE ASSOLUTO UNA VOLTA TROVATA LA CONVERGENZA, FOCCHIO ATTENZIONE NEL STUDIO DEL CASA UNITE (SESTRANO
• IL VAVELLO NOTARIO)

NUMERI COMPLESSI

• ^{UTEA: IMMAGINARIA}
• ^Z = ^[Z = ^a + ^ib] ≈ PARTE IMMAGINARIA 1/N/Z
• ^Z = ^{P × ε₂π00π0 = 1}

NOTA

• SE SUPERSCRIPTS VOLUME ₁

SE ≤ ₀ ! TEN _. ≤ ₀

• ^N

Radici di un numero complesso

z = ρ (cosθ + i sinθ) →

Piano di Gauss

z = a + ib

Serie numeriche

Data una successione (am)∈ℂ

Serie armonica

1. Σ_m=0^∞ 1/m^α - Converge x > 1
2. Diverge x ≤ 1

Serie geometriche

1. Σ_m=0^∞ q^m, q∈ℝ
2. Converge A 1/(1-q) se |q| < 1
3. Diverge A ±∞ se |q| ≥ 1
4. Indeterminata se q ∈ ℂ

Serie Telescopiche

_m=0∑^∞ (1/m(m+1)) → converge

_m=0∑^∞ log (1 - 1/m) → diverge a -∞

Condizione Necessaria per la Convergenza

• Il termine generale è un infinitesimo per m → +∞

Condizioni Sufficienti per la Convergenza

• Serie a termini non negativi:
1. Criterio del rapporto
2. Criterio della radice
3. Criterio del confronto
4. Criterio del confronto asintotico
• Serie a termini di segno variabile:
1. Criterio dell'assoluta convergenza (serie segno variabile)
2. Criterio di Leibniz (serie a segni alterni)

Criteri Serie a Termini Non Negativi

1. Criterio del Rapporto

   • _m=0∑^∞ (am+1/am) ~ ∑_m=0 ^∞ am = k∑_m=0 ^∞ am
   • Siano am>0 e lim_m→+∞ am+1/am = l:
     • Se l < 1 → la serie converge
     • Se l > 1 → la serie diverge
     • Se l = 1 → cambia criterio!

2. Criterio della Radice

   • Data la successione am>0 ∀ m ∈ N
   • Se esiste lim_m→+∞ √am = l ≠ 1 allora:
     • Se l < 1 → la serie converge
     • Se l > 1 → la serie diverge
     • Se l = 1 → cambia criterio!