Formulario Analisi matematica 1

P(E)) P(E)

1

= -

(AUB)" - Ba

A 1

Morgan

De = favorevoli

semplici)

I casi

Probabilità #casi

p = )

/CASI POSS

TOT

# . .

P(BAC)

P(AnB)

BeaP(B)

sA +

- =

, TOTALI

PROBABILITÀ

PLAUBLEPCALAP(BL-PLAMBI SULE

Bea

A TH

, .

P(A)-P(B)

P(A-B) P(B)

BCA P(A)

moltre =

-se =

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

P(B)c

B

A

Se a o

c con

, cui

P(A1B) P(B)

P(AIB)

P(AIB) P(A1B)

da =

= = P(B)

BAYES

Al ESAUSTIVI

An DISGIUNTI

EVENTI

Se ed

, ... V PROBABILITA

ADDITIVITÀ

0

A11An AIUAn = V

perché BRAI)

PCBIAil (BM A2

P(Ai(B) P(Ai)

P(Ai) P(BIAil B ....

B

=> = =

= = PLAK)

P(B) P(BIAK)

V

BMA1) (BMA2

(

B -

Se 1

B

Oss =

=

: ...

P(BMA2) P(BIA1) P(A1)

P(B) P(B1A1) P(BRA1)

+

=> con =

= P(B)

P(A11B)

oppure

INDIPENDENZA

indipendenti

A B

se a

e

, indipendenti

P(B)

PLAMBI P(A) prob condizionata

se

= applico

= sono

non .

P(AnB) P(A(B) P(B)

- =

CALCOLO COMBINATORIO

oggetti !

di precedente

permutazione PERM

tolgo caso =

n

. .

possibili

coppie uk

K-PLE #KPLE

co

o oggetti

con =

· uguali

considero coppie

anche

· SEMPUCI ugualil

presi coppie

K lescludo

DISPOSIZIONI elementi ka

e u

!i

#DISP De

1 k

= = ,

!

(n k)

- presi qui

elementi l'ordine

Kak

COMBINAZIONI di interessa

non un

u ,

! .

precedent si

#COMB cu nelle

= u k

= ) ,

=

: ,

k)

!

k (n - INSUCCESSO

SCHEMA SUCCESSO - POSSIBIUTA

BINOMIALE-2

SCHEMA rimpiazzo

con

· voglio lauci

# ;

quello che es

X u

= = .

-K k

u 3

-

(4) possibilità

k) P(T)

p(x m) 1

(1 delle 2

prob

con

= =

=

= - .

P(c) 1

succes n

= -

V

M2CC .

IPERGEOMETRICO rimpiazzo

SCHEMA senta

· voglio

#quello che

X = voglio

k quello che

0

= 1

, ... u

= ,

palline r #b

b X

cou

ex e =

(2)(u k) condizionata

P(x k) intersezione passo per

= per

= = -

" )

(

VARIABILI ALEATORIE +bea

cftcIR(w X(w)

t

IR =

:

X > :

> .

x(W)EIR

wi - Plu"

Chiave "Al

Parola

A

V DISCRETA /

· .

-condizioni X miu (R(x) R(x)

1

p(X) X

0 :

se -

= (R(x) discreto

2 > eseme

max (x1 3

Xt(R(x)) 23

p(x(30 x2 ...

, ,

,

2p(x) 1

=

XR(x) 1 my

distributa 41

i

p(xi)

-uniformemente 2

,

=

: ,

, ...,

N

BINOMIAl

V A

= . lauci, prob

successo

con in

= =

,

B(u p)

X - , * k

(br)

()(br) u - 3 P(s)

p(x x) n

RIMPIAZZO =

col

> = =

=

Con r

B(1 )

BERNOUUI ho 1

XV u=

sempre

,

indipendenti

binormali (

costante

-le /prob

sono .

IPERGEOMETRICHE

V A

=> . (u

(*) k) rdipendenti

)

p(x prove

rimpiazzo sono

senza non

= =

· (Per Ep/xi 1)

DISCRETE

VERIFICARE

BISOGNA SEMPRE SIANO

CHE 1

=> =

POISSON

A

V DI

=> . /grande) /piccola O

e

u1 =

con ne

Yel parametri

Br

X- in

, k

(k)(y)k(2 2) -

-

P(x k) =

> =

= xXk

- P(Y (x)

Y

-2 ) posson

= con

=

+ 0

u- !

k "TI

ISTANTE PRIMO SUCCESSO dei

21

R(T) lanci

è 3

A fuo

T:m 2

V secondo

os

una =

-

↑ a

a

, ...

. al

K) ho tentativo

K-essuo

successo

P(T = =

=> successi Kesmo)

[successo

laucizn

vei

P/40 K-1 al

= -p

n)k -

(2

= - Modificata (n)

T-Grou

· . 1

k -

Modificata

Deusrtà P(X k) h)

della n(1

glow = = -

. (1-p)

tentativi

v)

P(T dopo

successo =

= u

= .

GEOMETRICA

A

V . phX

1903t

e R(x) h) (h)

IN P(X p(1 geouetrica

v

X =

a cou c = = -

=

. .

TIX

RELAZIONE .

( glow modificata 1

(h) Tr

X ,

T-1 (n

glow.

V

= glow .

PROPRIETÀ PERDITA MEMORIA

p(m P(T)w)

P(Tu >u)

w(T (1

=

+ =

= - proprieta

solo T gode questa

de

BIDIMENSIONALI

VA widureussonali

Y) Y

X2) (X

X (X1 devensionale V

X A

se

s V A

dice

= e

=

, , .

.

Q(Y)

Y

11R(x) 1

:

X e :

: R(y)

R(x)

y)

P(X y)(ou(x y) -

(x

=> X

=

, ,

,

E

E h(x 1

y)

oss =

: ,

xcR(x)yER(y) i

P(X j)

Densità (Pli y

j)

couguuta =

=

= ,

,

ci [

3 p(x y) 1

=

e ,

marguali

Deussta' Ep(x

Py(y)

E p(i j)

y y)

a =

= ,

,

jEp(i PX(x) Ep(X

j)

ax y)

= =

, ,

INPEDENZA y3)

x3)n((y 23)P((y y3)

p((x

idependenti GX

P , =

y =

X va se = =

=

, d ↓ ↓

↓ B A

A B

Pearguali

P

sí uguta

rumpiazzo

con

~ /prodotto

se

No senza rumpiazzo

>

- variabili (

TH ADDIZIONE

L

DI Sou

buomiali

variabili

· n)

Y B(m B(u

z y

X n)

B(u p) x +

=

- -

= m

- +

, , ,

,

d

maipendenti

CONVOLUZIONE

FORMULA DI

· mopendenti

densità y)

Y p(X

X congiunta e

con ,

,

Devatà' con zeR/z)

di z X Y

discreta +

=

2 EPx(x)Py(z

Pz(z) p(x x)

x)

; z

=

=> =

- -

.

possib

x

A POISSON

DI

V

· . edipendenti

Y-Poissou/M)

X-Poisson(x) , 4)

Possou(X

z y

x

= +

+ - m)

(x u)2

+

- (x

z)

P(z e +

= = !

Z

DENSITA' CONDIZIONALE y) y)

PX(y(X(y) P(x

Y x(y

subordinata p(X

1

di X = =

a =

= , =

ly fessato Py(y)

PY(X(X(y)

Y P(y x)

y(x

subordurata

di y)

X p(X

= =

1 a =

= = ,

fessato

IX Px(x)

DISTRIBUZIONE DI PASCAL modificata

di

parliamo glom

glom e lanci

capire

Mi necessari

i o

al

interessa esempio 1 successo

per affinchè variabili

di lanci entrambi

valore abbiamo

MASSIMO successo

max

:

· GS +3

z MAX

= ,

. edipendenti

P(zi

P(zi)

P(z i) 1) S T

se

-

= = - ,

lanci affinché

minimo di

MINIMO valore almeno una v. a

·

abbia successo

S3 /- glow)

GT

Y MIN HYPER

VARIANZA

= ,

. TEORIA

PER

P(Si)P(Ti)

P(y(i) = i 1

-

&(1 9) E è

i)

P(y Yr

di

oss mod

parametro

se

: glow

=

= -

=- .

↑ min[S T3

Y- 1

-glow =

se woo ,

& an

j

a

= + -

V T

prob Se

al

.

MEDIA ho fiuta

ho x

se media

· [X2 3

R(X) P(X

deuseta' X)

X2 =

discreta p(x)

= con =

,

, ...

Sixipi

E(X) =

no X2

X1

se

. , Ex 2g(x1

Ex

E(y) x2)

x2)p(x1

= , ,

E(X2)

E(Y) E(X1)

Media +

somma - =

. X2)

E(Y) E(X1)E(X2)

E(X1

prodotto

Media = =

e ·

· Y X)

= E(y 10

x x 10

positiva

Media y

e

· = >

se = -

-

CE(X)

E((x)

· = -(E(X)1[E((XI)

Modulo Media

· il

Bernoubi s /è parametro)

E(X) n

· =

Buonale E(x)

& mp

· =

E(X) x M

=

Posson + parametro n

=

· -

b

-E(x)

Ipergeometrica M

=

· b r

+

1

E(x) 1

geometrica s =

· -

er

1

God-E(X)

grow =

· . er privi successi

Pascal In

E(Tk) K

- =

· n

VARIANZA 3 P(X

4x2

R(x) x)

IR px(x)

X x2

-

1 =

: =

= , ...

S ,

ordine K

Momento

· 2xxPx(x)

E(x") = K

centrato

Momento ordue

de

· EL(X-E(X(2] dispersione

Var(X) de valore medio

al

attorno

-mesura x

de suo

= E(X) può negativa

Var(x) E(X) e essere

non

=

= - Chebicev sia Var(X)

E(X)

Di segualianza V A meda

X

de e

: con

· .

E(X)(E)

6P(IX Var(x)

=

- E

Proprieta' var(x) -Var(x)

var(ax)

var(x) a

=

O ·

· 4)

x) Var(x) Var(x) Var(y)

var(x Var(X y) 2cou(X

+ +

+ +

=

= =

· ,

2[E(Xy)

[E(y2)

EC(x)] E(x)E(Y)]

E<(Y)]

[E(x2) +

+

= - -

-

pendenti y)

Y) Var(Y)

Var(X Var(x)

se cov(X 0

+

mar +

e = =

= ,

Bernoulli(X-B(1 Ef(x)

h) E(x)) 12

Var(x) 2)

n y(n

e =

=

=

· - -

-

, h)

h) +Var(x)

B (n

(X

Bluonale nh(1

=

-

· -

,

Posson (x)) X

/X-Posson +Var(x) =

· h

Var(x) h

Var(X) Var(T)

1 1

Geometrica Wods

grow

- ·

=

· =

- = -

.

2 en2

n))

h)

Pascal Ipergrou/X-Hyper

Var(x) b

br

Var(x)

(r

k(1 b

·

· > n

= r

=

= - .

, , I

2

p b

r)

(b 1

r

+

+ -

lezioni

o esonero 12

prime

sulle

1

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE un'applicazione

prob

Dato

Def dice

di

spazio si va

uno

: .

CIR(w X(W)t3A

131rt cXt

X : :

.

continue def

le questa

riprendiamo

v a

per .

.

[x e 3

+3 1 pqx +

=

evento

=

=> un = ripartizione

Edd

definiamo la funzione

e +3)

f