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R
f: R → R
Studio locale x0, I(x0)
limiti continuità derivabilità f. Taylor
studio globale loc. tri massimi minimi
f(t)
f'(t)
calcolo primitive f-1(t) = g(f(t))
f1 = g(t, f)
equazioni differenziali
calcolo aree / calcolo integrale
Scriviamo le 2e formule dell'incremento finito
P ∈ (x1, x2) t.c. tale de
(x2)= (x1) + '() (x2-x1)
= 0
⇒ (x2)= (x1)
dato che x1, x2 sono scelti
arbitrariamente concludiamo
che è costante in [, ].
ESERCIZIO
(x)= arcotan x + arcotan 1/x
- calcolare '
- tracciare il grafico di
d/dx arcotan x = 1/1+x2
Fissato P(x0, y0) esiste un'unica primitiva per quel punto
F(x) + k, k ∈ ℝ
il grafico di Fk(x) passa P(x0, y0) se
Fk(x0) = y0
F(x0) + k = y0
k = y0 - F(x0)
trovo un'unica k
f(x)/f'(x) = 2
incognita è f(x)
furnisce un legame fra f e f'
f(x) = ??
f(x) = ex/2
f'(x) = 1/2 ex/2
f(x)/f'(x) = ex/2/1/2 ex/2 = 2
UN' EQUAZIONE DIFFERENZIALE è
un' equazione nelle quale l'incognita è una funzione
e nelle quale è data una relazione fra le funzioni
Il massimo ordine delle derivate delle funzioni incognite che compare nell'equazione.
es. xII + x = 0 eq. 2o ordine
derivata di ordine massimo è xII
es. xI = t × eq. 1o ordine
Definizione
Un'equazione differenziale di ordine n si dice in forma normale se è scritta:
x(m)(t) = ƒ (t, x(t), xI(t),... x(n-1)(t))
y(t) è crescente in un intorno di t=1
l'eq. si riscrive
y'(t) = y(t) (t+1)
sost. l'eq. per t = 1
y'(1) = y(1) (1+1) =
= 2 · 2
y'(1) = 4
y(t) è derivabile
⟹
y(t) è continua
y'(t) = y(t) (t+1)
↖ ↗
continua continua
y'(t) cont., poichè prodotto
di funz. continue
= c1y1'' + c2y2'' + a (c1y1 + c2y2) +
+ b (c1y1 + c2y2) =
= c1 (y1'' + ay1' + by1) + c2 (y2'' + ay2' + by2)
= 0
perché yn è soluz. dell'eq.
= c1 ⋅ 0 + c2 ⋅ 0 = 0
⇒ ẏ è soluzione.
y1, y2 soluzioni
c1 y1 + c2 y2 soluzioni
c1, c2 ∈ ℝ
y'' + ay' + by = 0
y = eat
Cerchiamo delle soluzioni dell'eq. di 2° ordine
della forma
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