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SUCCESSIONI (NUMERICHE)
Def: Una successione è una legge che ad ogni n ∈ N corrispondente uno ed un solo an ∈ R. Quindi una successione è una funzione da N in R.
a1, a2, a3, a4, ..., an,
es. an = n+1 bn = 1/n cn = 1/logh
Notazione: in luogo di a(n) si usa scrivere an. la successione si indica {an}n≥1 ma con abuso di notazione la indichiamo an
an = n bn = 1/n cn = (-1)n
DIVERGENTE CONVERGENTE OSCILLANTE
Def: an è limitata se ∃ K>0 t.c. |an| ≤ K ∀ n.L'insieme delle immagini A={an t.c. n ∈ N} perchè A limitato ↔ an limitata
Def: an è positiva se an ≥ 0 ∀n.
Def: an converge (oppure è convergente, ammette limite, ha limite) ad un valore L ∈ ℝ se ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ ℕ (n0 = n0(ε)) T.C. se n ≥ n0 => |an - L| < ε
L - ε < an < L + ε
|an - L| < ε
Notazione: an → L
- lim an = L
- lim an = L
OK!
lim an → L NO!
Def: an diverge a +∞ se ∀M > 0 ∃ n0 = n0(M) T.C. se n ≥ n0 => an > M
Notazione: an → +∞
- lim an = +∞
- lim an = +∞
Talvolta, con abuso di notazione, si dice an converge a ∞
vale che |an-L|<ε ∧ |an-L'|<ε
O<|L-L'|=|L-an+an-L'|≤|L-an|+|an-L'|<ε+ε=2ε ⊗ ≥ |L-L'|⊗
O<|L-L'|<|L-L'| ASSURDO
Oss. Le successioni divergenti sono necessariamente NON LIMITATE
Le successioni oscillanti possono essere LIMITATE o NON
Teorema: an convergente ⇔ an limitata
⇒ per ip. ∃ L∈ℝ T.C. an→L
Fisso ε=1
∃n0 T.C. ∀ n≥n0 ⇒ |an-L|<1
⇒|an|=|an-L+L|≤|an-L|+|L|< 1+|L|
Ho mostrato che |an|≤|L|+1 ∀ n≥n0.
∣an∣≤max{|a1|,|a2|,…,|an0−1|} ∀ n<n0
M=max{K,|L|+{⨁}⇒an|≤M ∀ n
Teorema (PERMANENZA DEL SEGNO): p.ia an→L∈ℝ
1. p. L>0⇒an>0 defin
2. p. an⧐0⇒L≥0
L⧲⧲ fisso ε=♌⧊
∃n T.C ∀ n&n0 ⇒ |an−L|<<ε
⇒−⧊⧋<an−L<⧊⧋⇒an>L=⧊⧋>0
0 < | an/bn - a/b | ≤ 2/|b|2 [|b||an-a| + |a| |bn-b|]
↓ ↓ ↓ ↓
0 0
ARITMETICA IN R
a ∈ Ra + ∞ = ± ∞ a - ∞ = ± ∞± ∞ + ± ∞ = ± ∞ ± ∞ - ± ∞ = ± ∞a > 0a · (+ ∞) = + ∞ a · (- ∞) = - ∞a > 0a /+ = + ∞ a /- = - ∞a < 0a /+ = - ∞ a /- = + ∞a < 0a · (+ ∞) = - ∞ a · (- ∞) = + ∞a ∈ Ra /+ ∞ = 0a > 0± ∞ /a = ± ∞a < 0± ∞ /a = ∓ ∞FORME DI INDETERMINAZIONE
+ ∞ - ∞
0 · ∞
00
∞0
Ulteriori forme
an/bn = ebn log an
lim ean = elim an
lim log an = log (lim an)
(1 + En)1/Eₙ → e
(1 - En)1/Eₙ → 1/e
L = En = 1/n
(1 - 1/n)n = [(1 - 1/n)-1/n]n =
=[ (1 + (1/n))-1/n ]-n = 1/e
fissato n ∃ K (K = K(n)) t.c. quando En → 0 ⇒ K ⇒ +∞
L → 1/(K+1) ≤ En ≤ 1/K
K < 1/En ≤ K+1
- (1 + 1/(K+1))K ≤ (1 + 1/K)1/En ≤ (1 + 1/K)En ≤ (1 + 1/K)K+1
e ← (1 + 1/K+1)K+1
1 < 1 + 1/(K+1) → e
{ < (1 + En)1/En ≤ (1 + 1/K)K
{ (1 + 1/K)K
1 ↔ e
ASINTOTICO
055. Data an e εn → 0
allora an(1+εn) hanno lo stesso comportamento
Def. an e bn sono asintotiche se an/bn → 1 e
scriveremo an ~ bn (RELAZIONE DI EQUIVALENZA)
056. Se an → L ∈ ℝ con L ≠ 0 allora an ~ L
es (1+εn)1/εn ~ e , pin εn ~ εn
Se bn ~ an => bn = bn/an
an = (1 + bn/an - 1)an = (1+εn)an
Se an è "brutta" posso scegliere una bn "bella" e
asintotica ad an, quindi lim an = lim bn
055.1: Se an ~ bn
e εn≠0 defin => an ~ bn . dn e an/cn ~ bn/cn
055.2: Se an ~ bn => (an)α ~ (bn)α
055.3: Se limn(bn)3 ≢ cn(dn)3 => an ~ cn e bn ~ dn
055.4: Se an ~ bn
e cn≠0 defin. { => an . cn ~ bn . cn
=> an+cn ~ bn+cn
es: an=n
bn=n+1
cn=-n
an ~ bn bn/an = n+1/n
an+cn = n-n = 0 → 0
bn+cn = n+1-n = 1 ≠ 0
1)
∑n=0∞ (-1)n
2)
∑n=1∞ n
3)
∑n=1∞ 1/n(n+1)
1)
an = (-1)nS0 = a0 = 1S1 = a0 + a1 = 1 + (-1) = 0S2 = a0 + a1 + a2 = 1
gn = { 1, n pari 0, n dispari }
perciò ∑n=1∞ 1/n(n+1) è INDETERMINATA
2)
an = nS1 = a1 = 1S2 = a1 + a2 = 1 + 2Sn = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 --> + ∞ =>∑n=1∞ n DIVERGE a + ∞
3)
Serie di Mengoli (es di serie telescopica)
an = 1/n(n+1) = 1/n - 1/n+1Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an == 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 + ... + 1/n-1 - 1/n + 1/n - 1/n+1 =Sn = 1 - 1/n+1 --> 1
∑n=1∞ 1/n(n+1) = 1
Serie di Eulero
∑n=1∞ 1/n2 = π2/6
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