SUCCESSIONI (NUMERICHE)
Def: Una successione è una legge che ad ogni n ∈ N fa corrispondere uno ed un solo an ∈ R. Quindi una successione è una funzione da N in R.
a1, a2, a3, a4, ..., an, ...
es. an = n + 1 bn = 1⁄n cn = 1⁄logbn
Notazione:
- in luogo di a(n) si usa scrivere an
- la successione si indica {an}n∈N, ma con abuso di notazione la indichiamo an
an = n bn = -1⁄n cn = (-1)n
DIVERGENTE CONVERGENTE OSCILLANTE
Def: an è limitata se ∃ K > 0 t.c. |an| ≤ K ∀ n.
L'insieme delle immagini A = {an t.c. n ∈ N} prende
A limitato ↔ an limitata
SUCCESSIONI (NUMERICHE)
Def: Una successione è una legge che ad ogni n ∈ ℕ fa corrispondere uno ed un solo an ∈ ℝ.Quindi una successione è una funzione da ℕ in ℝ.
a1, a2, a3, a4, ..., an, ...
es. an = n + 1 bn = 1/n cn = 1/log(n)
Notazione:
- In luogo di a(n) si usa scrivere an
- La successione si indica {an}n ≥ 1, ma con abuso di notazione la indichiamo an
an = n bn = 1/n cn = (-1)n
DIVERGENTE CONVERGENTE OSCILLANTE
Def: an è limitata se ∃ K > 0 t.c. |an| ≤ K ∀ n.
L'insieme delle immagini A = {an t.c. n ∈ ℕ} perché A è limitato ↔ an limitata
Def:
an è positiva se an ≥ 0 ∀n
Def:
an converge (oppure è convergente, ammette limite, ha limite) ad un valore L ∈ ℝ se ∀ε > 0 ∃ n0 ∈ ℕ (n0 = n0(ε)) t.c. ∀n ≥ n0 ⇒ |an - L| < ε
L - ε < an < L + ε
⇒ |an - L| ≤ ε
Notazione:
- an → L
- lim an = L
- lim an = L
OK!
lim an → L NO!
Def:
an diverge a +∞ se ∀M > 0 ∃ n0 = n0(M) t.c. ∀n ≥ n0 ⇒ an > M
Notazione:
- an → +∞
- lim an = +∞
- lim an = +∞
Talvolta, con abuso di notazione si dice an converge a ∞
Def:
una successione regolare è tale se converge o diverge.
una successione non regolare è detta
- indeterminata
- oscillante
- non regolare
Verificare che bn = 1/n tenda a zero (ε infinitesima)
∃ ε>0 ∃ n0 t.c per n≥n0
=> |an - 0| < ε
⇔ 1/n < ε ⇔ n > 1/ε
n0 = ⌈1/ε⌉ + 32
Siano an→L e K∈ℝ ⇒ Kan→KL
=> |Kan - KL| < ε ⇔ |K||an-L| < ε ⇔ |an-L| < ε/|K|
vero per n≥n0
Sia an≥0 t.c an → L ≥ 0 => √an → √L
=> |√an - √L | < √|an-L|
poiché an → L ∀ ε>0 ∃ n0 t.c per n≥n0 => |an-L| < ε²
=> per n≥n0 |√an-√L| < √an-L < √ε² = ε
Def.
Una certa proprietà (P) per an vale definitivamente.
se ∃ n₀ t.c. (P) vale ∀ n ≥ 0.
an = 1/n
bn = (-1)n/n
cn = - 1/n
Def.
an → L dall’alto se
(i) an → L
(ii) an ≥ L defin.
allora possiamo an → L+
Indichiamo “R ESTESO” ℝ = ℝ ∪ {-∞} ∪ {+∞} = [-∞, +∞]
Def.
Sia x ∈ ℝ definiamo intorno (U(x)) di x un insieme
della forma
U(x) = { (x-ε, x+ε) se x ∈ ℝ
(M, +∞) se x = +∞ dove
(-∞, -M) se x = -∞}
{ ε > 0
M > 0}
Notazione:
Sia L ∈ ℝ allora an → L
∀ intorno U(L) => an ∈ U(L) defin.
an ≠ 0
¬( ∀ ε>0 ∃ n₀ t.c. ∀ n≥n₀ => |an| < ε)
∃ ε>0 t.c. ∀ n₀ ∃ n≥n₀ t.c. |an| ≥ ε
Mostrare che Cn = (-1)
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