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INSIEMISTICA ANALISI 1

Dato un insieme A⊂ℝ con A≠∅ sono definiti i seguenti concetti:

SE SUP(A) (nell'ipotesi in cui A sia superiormente limitato) ≠ è solo se:

  1. S è un maggiorante di A vero ∀ A∈A
  2. S è il minimo dei maggioranti, vero ∃ a ∈ A scende

Esempio sup:

0────3──────────o──

5= Sup(A) = 3?

  1. Verifico che ∀ α∈A ⊂ ℝ, α < 3 SI! Quindi, 3 è maggiorante ma 3 è il minimo dei maggioranti.
  2. Verifico che sia il minimo dei maggioranti:

scelgo un valore ε e oso che sia > 0 e che 5-ε ∈ A

0──────×────3──────o──────────

Note che esiste sempre un nuovo valore ε che si trovi tra 5-ε e 5 e che sia APPARTNUENTE all'insieme, per esempio:

0──────×────3──────o────4────

Preso S=4, diciamo che 5 è maggiorante ma che non S il minimo dei maggioranti, perché per ogni espilon non esiste sempre un nuovo valore a ∈ A APPARTENETC all'insieme e che si trovi tra 5-ε e 5, cioè

────4────?〉〉 Non può esserci a qui perché l'insieme linon è definitivo.

Se il SUP appartiense all'insieme è anche MASSIMO

Inf

i è l'inf di A se e solo se :

  1. i è un minorante per A. ∀x∈A : i≤a
  2. i è il massimo dei minoranti. ∀ε>0 ∃a ∈ A : aaε, quindi, tale sempre aε, tra l’inf e l’incremento di i. t. ε.

    Se l’inf appartiene all’insieme, viene chiamato minimo.

    Punti isolati

    x∈R è isolato per A se e solo se :

    ∃r>0 : A∩Ir(x) = {x}

    L’intersezione coincide con il singolo elemento

    Esempio:

    A[0,1]∪{2,3}

    A∩Ir(2) = {2}

    A∩Ir(3) = {3}

    Otteniamo solo 2

    Otteniamo solo 3

    Definizione di Intorno centrato di raggio r

    Ir(x) = {y∈R : |y-x|

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Publisher
gianvypro1
A.A. 2016-2017
61 pagine
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SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher gianvypro1 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia o del prof Leonardi Gianpaolo.