Appunti per esame Analisi matematica 1

X

nel teorema

dimostra

min

max e

o

punto g a

DI CAUCHY

TEOREMA I

f b b

Siano E b

a Ja

b

Ta

funzioni

due a e allora a

in

in DERIVABILI

CONTINUE

g

te IIII

I fax

flb fca

hex b

Im x gla

g g

h b

a

X CONTINUA in

hai Jab

in

DERIVABILE

f fla

flat

b

bla b f fia

b

gla b

gla

g a g

g

fib flatg

f flat b b

b

4 b b

gla

b g glalf

g

h T E bi t.ch

di

Rolle Ja 0

x soddisfa n Xo

ipotesi

fla

f f

L'ex b b a n

g

g g

T f

flat

f b

b a xo

g

Xo

g g

IIIIIIIII fenomeno costante

f t.c.f

f KEIR

IR

A due

Siano

Corollario allora

funzioni derivabili X

x g.tk

g

g f

se f

è localmente 0

costante allora x Cb

b te

E fra

b A

A che

C

a a dimostro

Considero

Se b

f IR di

T

del

a nelle

considero ipotesi quindi

sono Lagrange

I

E Jabi ftp

t.c.fi

c ipotesi

per

fI fra

FI.it i

T mmmmi

Im f 0

f

Se di

è interno

crescente un

in limite

al

passo

f 0

Xo

i iiii.in f

f è 0

x

CRESCENTE È

f I

è CRESCENTE

STRETTAMENTE è discontinua 0

f

se EA

di

è interno

crescente n

un

in limite

al

passo

f O

x

È fia f

EA acb

Siano che b

ab dimostro ftp.j f f

fla b

T di

il E

Per o

a.BE c

c

Lagrange

HiiIiiiiiiiimmen f

f

f f

e è Xo

anche con x

DERIVABILE

x a

in

fine p

fix è

NON a

ma DERIVABILE

Ix è

ma

uno

È f

I de

Im al

Applico

ipotesi l'Hospital

fine fini

per

NAN UNPUNOSTAZIONARIOEDERIVATESUCCESSIVE

f

Sia IR

A funzione K

volte 1

K

una DERIVABILE

E

Sia f

A 01

n un STAZIONARIO Xo

punto f

allora 0

se

il MIN x

MAX o oppure

f K f

1

f PARI

IX1 0

se O D

ii e Xo MIN

ix a MAX LOCALESTRETTO

È

K

dispari

2 Non ESTREMANTE locale

Im LOCALE

f'ix

I Se allora

0 minimolocale

PER i non

MAX

assurdo sarebbe STRETTO essere

potrebbe

fixi flat

Per

ii 0 xd

Xo

Taylor 1 thf.fi f

di

il

ha

di cui

interno ix

un in segno

fini

fix f

ha il la

di

è dire

che che tesi

Xo Dimostra

come segno

NAISITORIAESAMESERI e

i É iii.in

Dim Ʃ

Sn Snn

an sn

anni

Sin

tanti Sntn e

e

e

1 avra 0

sai

su

live.am

CARA REDETERMINATODIUNASERIEDITRMINIPOSITIVI

ieIAINOTI.IE

EIIIIIII

Ibn

Ʃ

Siano tali bn

che

due termini

e definitivamente

serie allora

a e

non an

an negativi

Ian

Ebn

il CONVERGE

CONVERGE

E Ibn

ii an DIVERGE DIVERGE

BOT

Lim I A CONTRONOMINALI

A

ii Ʃ

il

Provo sala

a 0

an diverge dunque

b b

So lo

Sn Sn bn

che a anche

stesso

se an

diverse

an

DI

2 CRITERIO ASINTOTICITÀ

Se bn lo

Ʃ Ebn

an hanno

allora

an stesso

carattere

e

O te

E IN

E E def

E

1 limite

ns 11

57

ne

Dim ne

E da

Per If Ibn

cui bn

can

an

Ibn Ʃ

il del Ebn

criterio anche CONVERGE

se CONVERGE

CONFRONTO an

per Ʃ Ebn

Ibn

e DIVERGE anche DIVERGE

se an

an

xieiii.ie t

Im le

Data a considero PARZIALI

SOMME

an

È O

Ce

0 SOMMATERMINI

max

Sn a Si

Sn Snt

min a

Sn 0 TERMINI 0

OK

SOMMA la

Snt l

è A

sn TENDE

e

0 SUP

LIMITATA

CRESCENTE poiché

sempre

lo

Vale Sì

stesso per l'EIR

Snt

Poiché Sn

Sn fin sn CONVERGE

I

CRITERIDELRAPPORTO12IEDEKAM.DE

1 RADICE

DELLA

CRITERIO

Se Ʃ Tan L

termini

è allora

an serie se

non

una a lire

negativi

E

l 1

se DIVERGE

an

E

l 1 CONVERGE

Se an

1

e NULLA

Se E

Im 1 l

Tan E

E

0

E

Fissato definitivamente

un la E

l 1

Poiché 1

In 1

E E

E

1 1

1 11

ans

Dunque la

Per so serieDIVERGE

e

an 00

E 1 l

Tan

definitivamente

Fissato E

E

so

l le E

Poiché 1 1

E

e

Tan 1 1 E

1 IL

e 1

1 E

1

an

Dunque Ʃ la di

E

1

1

Per

confronto serie

con CONVERGE

partenza

serie

geometrica

2 DEL

CRITERIO RAPPORTO

Se Ʃ L

termini

è allora

an serie se

non

una a lire

negativi

E

l 1

se DIVERGE

an

E

l 1 CONVERGE

Se an

1

e NULLA

Se le 1

Dire Eso

fissato 1 E Knano

I c E

1

E

1 E 1

1 E an an

an

an 12

dunque la

Ʃ 11 di

1 E CONVERGE

serie

Confronto a partenza

con

e 1 E

fissato 0 Un

1 1 E no

1

1 E

1

E

1 1 E

1

E 1 an an

an

an 12

Dunque la

Ʃ 11 di

1 E CONVERGE

serie

Confronto a partenza

con

NAIITEORIAESAMEINELI

YffitittTaessione è unico

esiste

se

Im PER

ASSURDO

l

Siano duelimiti di

la stessa

una

e an

successione

te

la

la

Va Va Vanua

di

intorni e

anEU

te

IN

E

us E

te

IN V2

E an

no ha E U

noi NU

vale

che

Detto si

n ASSURDO

max an

nu

nu

SOT CESSIONICLOROCOMPORTAMENTO

RISPETTOALLINITI l

l le

Se tendea tutte sotto tendono

allora a e

una viceversa

successioni

successione le la

tra c'è

Ovvia stessa

sottosuccessioni

poiché successione

l

sia an

l INt.c.amEU

U di E def

limite

intorno n di

Sia an

sotto

an una successione

HK EU

k

Poiché vale

no che

ne an

itiiiiiiiiiiiti

l

Sia

Dim an di

0 r

intorno

Preso considero un raggio E

Ian C

te

EIN

Poiché ne

an

converge ding

sta

Sia che

M lant 1

max nene max numero prima

tl il la

Il R

R le

M di

certo

max

Allora posto

IREMISTANDARI

DEL

SEGNO

PERMANENZA bn

limb

Se lim an

an l

Sia lecca

la

Dim limbn

liman e di la

di li v2

Un Una

Va tic

Siano intorno

intorno e

V2

Un

Allora anE V2 anebn

Un bne

Poiché allora

e

CONFRONTO b

Se limbn

liman

an

Dini PER

ASSURDO del

Selim limbn la ciò è

antbn

e non

an ma vero ipotesi

per

permanenza

per segno

CARABINIERI

bnc.cn

an bn α

in

lime

liman di

α

intorno

Bale

Eso an.cnE

Dim Dato trale

due

Lo vale stretta

bn

stesso per

bn

an bn o

a

an

Oppure

bn

an an a

bn a IN te def

E M

MIO and

Im nn

lo

Se vale

stesso bn

anebn per

LIMITI OPERAZIONI

liman la e e

mlantbn

p lim Gli

limlon anbu

Im Se p

limbn

α

liman e al

t.ciIan

EIN c E

n'E

Eso

Dato f

IN

E Ibn E

β

c

n vale

Definito n'g

max n

ne e

I Ian Ibn 16

α β

β

antbn 6

bn

a 1,6

xp an

1 Ian

lanbn Ibn l'β

β Ian

β

ap bri

anbu β β β

an β

an a

an an

Poiché da CONVERGE

t.ci anleM

MIO al

Ian E

n E HAI E

llanbn

che N I

Perciò e

Ns m

Preso β so Ibn e

e

n'e β

liman a limlantbn o

inf limitata

bn

sup

Sia L inflim

dm ba e

an e

oo EN Mail

MIO an

nn

allora

Ma M

L

ML

antbn antbn o

perciò

liman 0 o

limanba

bn

limitata

Sia bucR

Iim RC

o

an e

VETO IN te

E

In tante

E

Ma lanbn R

allora anbn o

Eg perciò

t.FI IIF

III IIfaaesene Essadunque convergeodiverseatro

llaE

PER Eso def

t.ci

Dim IngEN an canal

l

Ese EN l

l E

t.c.am E

Poiché ne ovvero

tic

E

IN

VMSO ansM

n

o l t.c.ae

TEIN M

Poiché M

crescente

00 è ansa

an dunque

UNA ESSIONEMONOTONAELIMITATAECONVERGENTE

IIIifica lima

e

si ha a

II II

I

Si

ha lim 0

α Exo

VINCE

It

si tim

ha 0 VINCE

FATTORIALE

e

POTENZARIPETUTA

IIITORIA II

Si ha Iim

E RIP

O VINCEPOT

NAISITORIAESAMEFIONIREALICLINII

i

i imm se

di

è

A A

allora accumulazione

s per

EN A

Un te

Jane

SEIR

Im I

S senss

s

in

Dunque

NEIN t.c.hn

senta sn

s o o

sen

Dunque

LIM DELLERESTRIZIONI IR

f E

IR A

Se di

A B

BEA accumulazione

ns e

con per

fai fai e

e

Allora Ip p

diB

bn

Dim n succ di

è A

Essa anchesucc che

tende a

f e

bn

Dunque

IIIIIIT

Dim Ovvio

È 1 1

p l

di

Sia intorno

un fix EV

V1

E nano

te

di

Une

v2 intorni fix EV

E n

V2 n fix

EU

ha EV

di

Posto U Và intorno

Usava no si

e

IFYI.IN

IIItene di

accumulazione allora

a

fix fixi EA U

n ac o

no

sup

fine f dx

di

NB acc a

Uguale e

DECRESCENTE

per o

fix

Dim Sia fa secreo

α se

sup I

75 fax E

E O In 5

0 α

E

IR e

Tesi no

&alph