Analisi matematica 1 (parte 3)

RHK INJAKE KFneINE T.COM AKnScriveremo futon to enefignonè illimitataIsen supOSS totosuper Chesucc tende ma crescentetooa non10,96,5 8,74132,1tende paria t disparipoiche aso tendonoeèso crescentema nontoan a iii AProviamo cheESEMPIOIII oRFix KE nK Inse KL Ko Tn Z O OAnzi nse oK n oo ED te fissatose la K Knno oInverificataè a èdoven vik maunvanaturaleesiste perchea archimedeoRverificaredobbiamo cheseoss an to toon IKERlimitarci ragionarea Kpossiamo oINJAE e ERlista1 Istat toaMean a dellenessuna4 se precedentivalenon ha limitela succ si dicee chean nonlimon non esistenatoIii limitato èperciò divergenteè nonha limiteallora nonF oparena Ondisp ERDiremo lDef che Iligan sela succ divergeè convergente tooaoodiverge aDimostraesercizio che toandefè positivaan della del segnopermanenzaestensione lDimostrare che seEsercizio an olellentallora1 triangolareDisuguaglianzaseggTrova contro esempio per dimostrareun chel'inverso

valenonInsuccessione precedente suga Dimostra2 tonian oo la leltantse1 anAE FnJae IN EIlan aCIso tellfonttelefon EliceMont leifigli21 Ianse an ooHatEEEIlanoftente EIoleHaniGiffoni o Div succaTeorema di carabinieresolounbnl succse Rsonoan ine In EIN lobn definitivamentean E to1 se Desistelfnan tobase2 futonesisteD 0ao tunkIN aESEMPIO a 1DK 2 nI figatalive apoiche tonnto UK INffà Eto iKVrai2 inddimostra2 perenfigo per carabiniereiltoo 1teofra3 In onfuton ton'an4 toLigon disparise ènti nnése pari Anzini In_anAnalisi Matematica 1A– A.A. 2021-2022 – Prof.ssa Annalisa BaldiAlgebra dei limiti di successioniAlgebra dei limiti di successioni convergenti R R2Teorema 1. Siano (a ) e (b ) successioni in . Se lim a = ` en n2N n n2N n!+1 nR2lim b = m alloran!+1 nI) anche (a + b ) è convergente en n n2N lim (a + b ) = l + m ,n n viston!+1 già·II) anche (a b ) è convergente en n n2N · ·lim (a b ) = l m ,n nn!+11 6III) anche ( ) è

convergente se inoltre m = 0, enb n 1 1lim = ,b mn!+1 n|)IV) anche (|a è convergente en n2N |a | |`|lim = .nn!+16

Osservazione 1: Se m = 0, per il Teorema della Permanenza del Segno anche b = 0⇣ ⌘ n1definitivamente, quindi ha senso scrivere la successione almeno definitivamente (per nb n ngrande). a `6Osservazione 2: Da II) e III) segue che Se m = 0 lim = .nn!+1 b mnOsservazione 3: Utilizzando le proprietà del valore assoluto, si prova facilmente cheR2 |a | |`|.se lim a = ` allora lim =n!+1 n n!+1 n|a | |`|Però in generale lim = non implica che lim a = ` (si pensi alla successionen!+1 n n!+1 nna = ( 1) ). Per l = 0 abbiamo invecen () |a |lim a = 0 lim = 0 .n nn!+1 n!+1Vogliamo ”estendere” l’algebra dei limiti vista in precedenza, in modo da includere anchei casi in cui almeno una delle due successioni è divergente o il denominatore di una frazionetende a 0. Nel prossimo paragrafo ricordiamo le principali prorietà .Algebra dei limiti estesa; forme di

Teorema 2. Siano (a_n) e (b_n) successioni in ℜ.

1. SOMMA:

   Se lim a_n = +1 e lim b_n = m allora esiste

   lim (a_n + b_n) = +1. Se lim a_n = e lim b_n = m allora esiste

   lim (a_n + b_n) = .

   Più in generale si ha:

   Se lim a_n = +1 e (b_n) è limitata inferiormente allora esiste

   lim (a_n + b_n) = +1.

   Se lim a_n = e (b_n) è limitata superiormente allora esiste

   lim (a_n + b_n) = .

2. PRODOTTO:

   Se lim a_n = +1 e lim b_n = m allora esiste

   lim (a_n * b_n) = .

   Se m ] 0, +1] allora

   lim (a_n * b_n) = .

   Se m [ 0 [ allora

   lim (a_n * b_n) = .

3. RECIPROCO:

   Se lim a_n = 0 e a_n > 0 per ogni n allora esiste lim = +1.

   Se lim a_n = 0 e a_n < 0 per

Ogni n allora esiste lim = n!+1 n n n!+1 a n1– Se (a) è divergente allora esiste lim = 0.n n n!+1 a

IV) VALORE ASSOLUTO:1 |a|Se lim a = a allora lim = +1 (e analogamente lim a = +1n!+1 n n!+1 n|a|allora lim = +1).n!+1 n

Osservazione 4: Nel teorema precedente la proprietà del prodotto continua a valere sottoN| 2 }ipotesi più deboli sulla successione (b) : se lim a = +1 e se inf{b_n > 0 alloran n n!+1 n ·lim a b = +1 (basta b definitivamente positiva e ”ben lontana” da zero).n!+1 n n N| 2 } ·b

1.Analogamente, se lim a = +1 e se sup{b_n < 0 allora lim a =Ann!+1 n n n!+1 n

Osservazione 5: Usando II) e III) si ha che a• se (a) è limitata e (b) è divergente allora esiste lim = 0;nn n n n n!+1 b nN• 2se lim a = `, lim b = 0 e b > 0 per ogni n , allora esisten!+1 n n!+1 n ( 2+1 se ` ] 0, +1]a ) =lim ( nn!+1 b 1 2 1,se ` [ 0 [ .n N• 2se lim a = `, lim b = 0 e b < 0 per ogni n , allora esisten!+1 n n!+1 n ( 1

2se ` ] 0, +1]alim ( ) =nn!+1 b 2 1,+1 se ` [ 0 [ .n EE 2MancanoOsservazione 6: Le proprietà , scritte nel precedente teorema e nell’Osservazione 5, nonci permettono di concludere nulla in alcuni casi su somma/prodotto/quoziente: si hanno leindeterminatecosiddette forme di indecisione: o1 1);per la somma “+1 ” (quando una successione diverge a +1 e l’altra diverge a·per il prodotto “0 (±1) ”, (quando una successione è divergente e l’altra infinitesima);1 00per il quoziente “ ” (quando entrambe le successioni divergono), oppure “ ” (quando1entrambe le successioni sono infinitesime). Onh tooOnNObnontbnlydantbn l.nlIRleNE OEE OInn En Inati esistenati nonnba os ledevodi considerarevolta succvoltainCoinvolteai annobnan.br bnfifteen3K3N 3oomete rifarloaprovofin'atti esodoper cosi43an Lan an limitatainfbnSOMMO tooan 7tbn tooenDìi ingliancataè An EINDnaJA teIR sE tooan

dellaIscofugntovariabileAKER INIA teE ansenso bn E KATAba S A KKAnt INIneR Fntetre buovvero Kan aIII Sinai GinnoESEMPIO z iTEO an tobnmy bnIfito toangola i n oes èsiAnziDIMHK IJAE tuINSO akOn einbut NaohsoNaing bnè.BE K.br ERA ziscalatafissato tu tuIn IN AnbuTc aSkyo efugaovvero ae frenReciproco Sean Ono oIn oDim INHE EtantiOHE aAnsa UnE acaneoONCEIn fissatoè Ea oKLYLE to SiL'ipotesi sul puòsegno rimuovereOSS neTI l'ipotesi diES mancaoan di ansegno fattoil cheIn usofi n È iThelimiteDIM 1 solo carabiniereTEO frbn ZiAnt toan KG UnFafr IanIN Ao ebnAn Esensio con 5Inbut kanIn def INOk tufà t.c.br akeolike toTIÈ InIR In KGitK Kiono con K E 0EE VE CIE Ian cE piccolo piacereaan crescentemonotona Iliganliveil superesiste semprelan an toosulle successioniTEOREMA monotonesucc monotonaansia unaallora IliganIn particolareèse crescentean1 monotona ER è supseLIjn sopfonlne.in limitata èse nontoosup lineèIl2

decrescente

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Voglio che too Caso on Anup on too FA INRKE Carat supE to On KMa è che crescente sappiamo anse E Dan 205r Dunque K Un ata an IRtre INIre ovvero Un a an Gegen Luton too IERCASO saporcarat per la del supFE JAE dIN E can O crescente è perciò sean tu DA On E On 12479d E E are on OVVEROVE InLEINFAE CONCHE aO ALuton SUCCESSIONE ESPONENZIALEGER191 se 9 ise caniio Un zooo