Analisi 1, Appunti Intero Corso

INSIEMI NUMERICI

• naturali _N = {0, 1, 2, ...}
  • operazioni: + e ·
  • proprietà:
    1. commutativa    x + y = y + x    ∀ x, y ∈ _N
    2. associativa    (x + y) + z = x + (y + z)    ∀ x, y, z ∈ _N
    3. distributiva    (x + y) · z = x · z + y · z    ∀ x, y, z ∈ _N
• interi _Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
  • proprietà:
    1. (1), (2), (3) per somma: 0 + x = x + 0    ∀ x ∈ _Z
    2. elemento neutro
       • per prodotto: 1 · x = x · 1 = x    ∀ x ∈ _Z
    3. elemento inverso per somma: (-x) + x = 0    ∀ x ∈ _Z
• razionali _Q = {m/n | m, n ∈ _Z, n ≠ 0}
  • proprietà:
    1. (1), (2), (3), (4) per somma: (-x) + x = 0    ∀ x ∈ _Q
    2. elemento inverso
       • per prodotto: (x^-1) · x = 1    ∀ x ∈ _Q, x ≠ 0

Poiché gode di tutte queste proprietà, l'insieme (_Q, +, ·) è detto campo commutativo o campo.

Relazione d'ordine ≤

Proprietà:

• riflessiva x ≤ x ∀ x ∈ ℚ
• antisimmetrica (x ≤ y e y ≤ x) ⇒ x = y ∀ x, y ∈ ℚ
• transitiva (x ≤ y e y ≤ z) ⇒ x ≤ z ∀ x, y, z ∈ ℚ

L'insieme (ℚ, ≤) è detto insieme ordinato

Proprietà:

Compatibilità di ≤ con

• somma x ≤ q ⇒ x + z ≤ q + z ∀ x, q, z ∈ ℚ
• prodotto x ≤ q ⇒ x ∙ z ≤ q ∙ z ∀ x, q, z ∈ ℚ z ≠ 0

L'insieme (ℚ, +, ∙, ≤) è un campo ordinato

Proprietà di ≤:

ordine totale

∀ x, y ∈ ℚ si verifica una e una sola delle seguenti possibilità:

1. x ≤ y e x ≠ y
2. y ≤ x e x ≠ y
3. x = y

Esempio

1 2 3 6 8 7 5 4

Questo non è un insieme di ordine totale perché 1 e 8 non li posso confrontare e 1 e 7 ma anche 2 e 3 e 6 non li posso confrontare tra loro 3 e 6.

- Esempio di :

A₁ = {x ∈ Q: 0 < x, x < 2} B₁ = {x ∈ Q: x² < 2, x > 0} A₁ B₁

?= √2

Notare che a < b ∀ a ∈ A₁, b ∈ B₁

In questo caso dunque, per la completezza di R

(∃) z ∈ R: a ≤ z ≤ b ∀ a ∈ A₁, b ∈ B₁

z = √2

Intervalli di R

• LIMITATI
  • APERTO (a, b) = {x ∈ R: a < x < b}
  • CHIUSO [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}
  • MISTI (a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}
• ILLIMITATI
  • [a, +∞) = {x ∈ R: x ≥ a} semiretta illimitata superiormente
  • (-∞, a) = {x ∈ R: x < a} semiretta illimitata inferiormente
  • (-∞, +∞) = R

Caratterizzazione degli intervalli di R

I ⊆ R e I un intervallo se e solo se ∀ x, y ∈ I x < y si ha:

∀ z ∈ R, x < z < y ⇒ z ∈ I

porzioni unione reale compresa tra x e y

I

- Esempio:

I = {x ∈ R: x < 7 o x > 7} = R - {7} => questo non è un intervallo.

Logaritmi ed esponenziali:

a^x definito ∀x∈ℝ⁺ ∃a∈ℝ⁰⁺ (con vado sull'inverso)

exp(x) = a^x

Logaritmi:

Teorema: dato y∈ℝ⁰⁺, a∈ℝ⁰⁺\{1}

∃! x∈ℝ t.c. a^x = y

⇔ tale x = log_ay

x̄ = sup{x∈ℝ⁰⁺ t.c. a^x < y}

Basi più comuni

• a = e (Z⟨e⟩3)
• log_ey = ln y
• a = 10
• log₁₀y = log y

Proprietà principali:

I)

• a^(log_ay) = y
• log_a(a^x) = x

II)

• log_a(xy) = log_ax + log_ay ∀x,y∈ℝ⁰⁺ ∀a∈ℝ⁰⁺\{1}
• log_a(x/y) = log_ax - log_ay ∀x,y∈ℝ⁰⁺ ∀a∈ℝ⁰⁺\{1}

Nota (caso particolare):

x e y possono essere negativi perché (-)(-)=(+)

⇒ (log_a(xy) = log_a|x| + log_a|y|) ∀x,y∈ℝ⁰

III)

• log_a(x^α) = α log_ax ∀x∈ℝ⁰ ∀α∈ℝ ∀a∈ℝ⁰⁺\{1}

IV)

• log_ax = log_bx/log_ba
• log_abx = log_ax / log_ab

Nota

a = 1 ⇒ - log x ∀x∈ℝ⁰⁺

a = ² ⇒ ²(log_ax ∀x∈ℝ⁰⁺

1 ⇒ 2 log_a|x| ∀x∈ℝ

1

Parte frazionaria

(è sempre non negativa).

frac(x) = x - ⌊x⌋

frac(0) ≡ 0 - 0 = 0

frac(0,1) = 0,1 - 0 = 0,1

frac(1,5) = 1,5 - 1 = 0,5

frac(-0,5) = -0,5 - (-1) = 0,5

Grafico di funzione

Def 2:

X x Y è l'insieme di coppie ordinate {(x, y) , x ∈ X , y ∈ Y}

• coppia ordinata:

• insieme costitutito da 2 elem.
• che conta l'ordine
• (prossime)
• avverso (prossime) (x, y) ≠ (y, x)
• precisiamo anche che 2 coppie (x₁, y₁), (x₂, y₂) coincidono
• quando x₁= x₂, y₁= y₂
• (x₁, y₁) = (x₂ y ₂) ⟺ x₁ = x₂, y₁ = y₂
• dunque l'oggetto (x, y) ≠ {(x, y)}

Def 3:

data f : X → Y

• si chiama grafico di f l'insieme delle coppie ordinate等 cui il primo elemento è al dominio e il secondo elemento è al codominio T.C.
• ij è l'immagine di x tramite le funzioni estetiche.

graf(f) = {(x, y) ∈ X x Y ; y = f(x)} tipo I.

l'insieme:

• {(x, f(x)) ; x ∈ X}
• tipo II.

L'insieme delle coppie ordinate (x, f(x)) dove x è un elemento di X.

Esempio: funzione non invertibile

f(x) = x² non è iniettiva ⇒ non è invertibile

Restrizione di f a [0, +∞[

f_[0,+∞[ è invertibile

(f_[0,+∞[)^-1(y) = √y

Dom((f_[0,+∞[)^-1) = [0, +∞]

Esercizio: determinare f inversa

f(x) = { 3x   se x ≥ 0 1/2x   se x < 0 }

f^-1(y) = { y/3   se y ≥ 0 1/2y   se y < 0 }

y = 3x ⇔ x = y/3

y = 1/2x ⇔ x = 1/2y

Esercizio.

\( f(x) = \exp_a {x} - a^x \)

\( a \in \mathbb{R}^+ \)

\( a \neq 1 \)

* \( a > 1 \)

• tot. cresc., inizial. cresc.
• Dom(f) = \( \mathbb{R} \)
• Im(f) = \( (0, +\infty) \)
• f^{-1}(x) = \log_a x
• \( f^{-1} \) non limitata

* \( 0 < a < 1 \)

• tot. decresc., inizial. cres.
• Dom(f) = \( \mathbb{R} \)
• Im(f) = \( (0, +\infty) \)
• f^{-1}(x) = \log_a x
• \( f^{-1} \) non limitata

OSSERVAZIONE

∠ - misura angolo B̂ĀP = misura arco ^A P = 2 area (OÂ̂P)

FUNZIONI INVERSE TRIGONOMETRICHE

• arco coseno

arccos = cos^-1

[0, π]

Dom (arccos) = Im (cos) = [-1, +1]

Im (arccos) = Dom (cos) = [0, π]

arccos Totalmente decrescente

cos Totalmente decrescente

• arco seno

arcsen = sen^-1

[- π/2 , + π/2 ]

Dom (arcsen) = [-1, +1]

Im (arcsen) = [- π/2 , + π/2 ]

arcsen Totalmente crescente

sen Totalmente crescente

• arco tangente

arctan = tan^-1

(- π/2 ; + π/2 )

Dom (arctan) = (-∞, +∞) = ℝ

Im (arctan) = (- π/2 , + π/2 )

• arco cotangente

arccot = cot^-1

(0, π)

Dom (arccot) = ℝ

Im (arccot) = (0, π)