Analisi 1, Appunti Intero Corso

INSIEMI NUMERICI

• naturali N = {0, 1, 2, ...} operazioni: + e · proprietà:
  1. commutativa x + y = y + x _{∀ x, y ∈ N}
  2. associativa (x + y) + z = x + (y + z) _{∀ x, y, z ∈ N}
  3. distributiva (x + y) · z = xz + yz _{∀ x, y, z ∈ N}
• interi Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...} proprietà:
  1. commutativa, associativa, distributiva per somma: 0 + x = x + 0 _{∀ x ∈ Z}
  2. elemento neutro per prodotto: 1 · x = x · 1 = x _{∀ x ∈ Z}
  3. elemento inverso per somma: (-x) + x = 0 _{∀ x ∈ Z}
• razionali Q = { m/n | m, n ∈ Z, n ≠ 0 } proprietà:
  1. commutativa, associativa, distributiva, elemento neutro per somma: (-x) + x = 0 _{∀ x ∈ Q}
  2. elemento inverso per prodotto: (x^-1) · x = 1 _{∀ x ∈ Q, x ≠ 0}

poiché gode di tutte queste proprietà, l'insieme (Q, +, ·) è detto campo.

INSIEMI NUMERICI

• naturali N = {0, 1, 2, ...}

  • proprietà:
  1. commutativa
  2. associativa
  3. distributiva

• interi Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

  • proprietà:
  1. commutativa
  2. associativa
  3. distributiva
  4. elemento neutro
  5. elemento inverso per somma

• razionali Q = \{^m⁄_n | m, n ∈ Z, n ≠ 0\}

  • proprietà:
  1. commutativa
  2. associativa
  3. distributiva
  4. elemento neutro
  5. elemento inverso

poichè gode di tutte queste proprietà, l'insieme (Q, +, ·) è detta campo.

Relazione d'ordine ≤

Proprietà:

• riflessiva: x ≤ x ∀ x ∈ ℚ
• antisimmetrica: (x ≤ y e y ≤ x) ⇒ x = y ∀ x, y ∈ ℚ
• transitiva: (x ≤ y e y ≤ z) ⇒ x ≤ z ∀ x, y, z ∈ ℚ

L'insieme (ℚ, ≤) è detto insieme ordinato

proprietà:

compatibilità di ≤ con

• somma: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z ∀ x, y, z ∈ ℚ
• prodotto: x ≤ y ⇒ x · z ≤ y · z ∀ x, y, z ∈ ℚ z ≥ 0

L'insieme (ℚ, +, ·, ≤) è un campo ordinato

proprietà di ≤:

ordine totale

∀ x, y ∈ ℚ si verifica una e una sola delle seguenti possibilità:

1. x ≤ y e x ≠ y
2. y ≤ x e x ≠ y
3. x = y

Esempio

questo non è un insieme di ordine totale perché 1 ↔ 2 e 8 ↔ 7 possono confrontare 1 e 7 ma anche se 3 ≤ 6 non si possono confrontare tra loro 3 e 6.

Perché √2 ∉ Q?

• per il Teorema di Pitagora d² = 1² + 1² = 2d = √2
• Teorema: √2 ∈ Q, d² = 2
• Dimostrazione:
  • per assurdo suppongo ∃ d ∈ Q, d = ^m⁄_n → (^m⁄_n)² = 2
  • suppongo m, n primi tra loro (M.C.D. = 1)
  • suppongo m, n ≥ 0, m, n ∈ N
  • ^m⁄_n = ^m2⁄_n² = m² è pari perché se quadrato numero è pari allora il numero è pari (per disproposizione analogica).
    • m² pari → m pari
    • → m = 2q, q ∈ N
    • → (2q)² = 2n²
    • 4q² = 2n²
    • 2q² = n²
  • n² dunque pari, ma poiché m e n primi tra loro non possono essere entrambi pari. Ho una contraddizione ←→

Definizione: due numeri si dicono primi tra loro quando hanno come unico divisore comune l'unità.

di conseguenza fu introdotto l'insieme dei reali:

• reali: ℝ = (ℚ, +, <) e' un campo totalmente