Analisi Matematica

Osservazioni

- Sempre per definizione, a^x e log_a(x) sono funzioni l'una l'inverso dell'altra.

- Ne segue perciò che log_a(a^c) = id_R^{>0} e a^log_a(c) = id_R+.

- ∀ x ∈ R : log_a(a^x) = id_R(x) = x.

- ∀ y ∈ R₊ : a^{log_a y} = id_R+(y) = y.

- La funzione logaritmo verifica le seguenti proprietà: sia a > 0, a ≠ 1.

1. ∀ x, y ∈ R₊\{0\} : log_a(x · y) = log_a x + log_a y.
2. ∀ x ∈ R\{0\}, ∀ α ∈ R\{0\} : log_a(x^d) = d log_a x.
3. ∀ x ∈ R₊\{0\} : log_a(¹/_x) = -log_a x.
4. ∀ x ∈ R₊\{0\} :
   • log_a x > 0 per x > 1 quando a > 1
   • log_a x < 0 per x < 1
5. ∀ x ∈ R₊\{0\} :
   • log_a x > 0 per 0 < x < 1 quando 0 < a < 1
   • log_a x < 0 per x > 1
6. ∀ x, y ∈ R₊\{0\}, x < y :
   • log_a x < log_a y se a > 1
   • log_a x > log_a x se 0 < a < 1
7. f(x) = log_a x è biiettiva

Osservazioni

• Sempre per definizione, a^x e log_a(x) sono funzioni l'una l'inversa dell'altra.
• Ne segue percio che _flog_a(a_x) = id_R / e _ga^log_ax = id_R\{0}
• ∀ x ∈ R: log_a(a^x) = id_R(x) = x
• ∀ y ∈ R\{0}: a^log_ay = id_R\{0}(y) = y

La funzione logaritmo verifica le seguenti proprietà:

s(a a > 0, a ≠ 1.

1. ∀ x ∈ R\{0}: log_a(x·y) = log_ax + log_ay
2. ∀ x ∈ R\{±1}: log_a(x^d) = d log_ax
3. ∀ x ∈ R\{±1}: log_a(¹/_x) = -log_ax
4. ∀ x ∈ R\{0}:
   • log_ax > 0 per x > 1 quando a > 1
   • log_ax < 0 per x < 1
5. ∀ x ∈ R\{±1}:
   • log_ax > 0 per 0 < x < 1 quando 0 < a < 1
   • log_ax < 0 per x > 1
6. ∀ x ∈ R\{±1}, x < y:
   • log_ax < log_ay se a > 1
   • log_ax > log_ax se 0 < a < 1
7. f(x) = log_ax è biettiva

DIM.

1. Sfruttando l'iniettività dell'esponenziale, posso provare che

a^log_a(x·y) = a^{log_ax+log_ay}

Osservare che se f: X -> R è iniettiva e x₁, x₂ < X,

a^log_a(x·y) = x·y

2. a^log_a(xd) = x^d ; a^{2 log_ax} (a^log_ax)^d = x^d
3. Basta applicare la proprietà precedente osservando che x^-1 = ¹/_x
4. Proviamo solo la prima.

fra a⁰x < e & x >1. Per assurdo log_ax < 0,

allora, siccome l'esponenziale è crescente (strettamente) avviene una delle seguenti due

log_ax ≤ 0 ⇒ a^log_ax = a⁰ ⇒ x = 1

log_ax < 0 ⇒ a^log_ax < a⁰ ⇒ x < 1

e perciò x ≤ 1, contro l'ipotesi x > 1

5. Si prova come 4.
6. Lo omettiamo
7. È conseguenza del fatto che è l'inversa di a^x

Esercizi su esponenziali e logaritmi

1) Risolvere la disequazione

2^x+1<1

Applico la funzione log₂ che, essendo crescente, grazie alla 6, conserva la disequazione:

log₂ 2^x+1 < log₂ 1

⇔

x+1<0 ⇔ x<-1

Soluzione x ∈ ] -∞, -1 [

2) 5^x-3 > 3 ⇔ log₅ 5^x-3 > log₅ 3 ⇔

⇔ 5^x-3 > 1/2 ⇔ 5 > 7/2 ⇔ x > 7/10

Soluzione x ∈ ] 7/10, +∞ [

3) 2^{x3 2 / 22x = 2x2 - 1/(x+1) ⇔}

⇔ 2^{x3 +1 - 2x} = 2^{x2 - 1/2 (x+1)} ⇔

⇔ 2^{x3 (1 - 2x) = x2 (1/2)} (x+1) ⇔

⇔ 2^{x3 +2 - 4x -2x2 + x + 1=0}

⇔ 2^{x3 - 2x2 - 3x +3=0}

⇔ (x-1) (2x² - 3) = 0 ⇔ x=1 v x=^W/₂

4) Esercizio 13/01/2014

Determinare l'estremo superiore ed inferiore dell'insieme

A = {x ∈ ℝ | 2·8^3x < 5}.

Esplicitiamo gli elementi di A.

x ∈ A <-> 2·8^3x < 5 <-> 8^3x < ⁵⁄₂

<=> 3x < log₈⁵⁄₂ <-> x < ^{log₈5⁄₂}⁄₃

A = ] -∞, ^{log₈5⁄₂}⁄₃ [

Dunque sup A = ^{log₈5⁄₂}⁄₃ mentre A è illimitato inferiormente.

6) Risolvere -1 < ( ¹⁄₂ )^x ≤ 2.

Devono essere verificate contemporaneamente le due disequazioni, quindi:

-1 < ( ¹⁄₂ )^x è vera ∀ x ∈ ℝ

( ¹⁄₂ )^x ≤ 2 <=> log_¹⁄2 ( ¹⁄₂ )^x ≥ log_¹⁄2 2

↓

log_¹⁄2 è strett. decrescente

<=> x ≥ -1 <=> x ∈ [ -1, +∞ [

Soluzione x ∈ [ -1, +∞ [.

2) log₁₀(x²-7x+11)<0

Nelle equazioni e disequazioni relative al logaritmo è necessario innanzitutto imporre che il logaritmo sia ben definito, cioè che il suo argomento sia un numero positivo: x²-7x+11>0.

Successivamente applico la funzione inversa del logaritmo in questione (cioè l’esponenziale con la stessa base) per risolvere la disequazione.

log₁₀(x²-7x+11)<0 <=> 10⁰ <=> 10⁰ è rallamente crescente

<=> x²-7x+11<1 ∧ x²-7x+11>0

x²-7x+11≥0 <=> x<^7-√5/₂ ∨ x>^7+√5/₂

x²-7x+11<1 <=> x²-7x+10<0 <=> 2<x<5

Soluzione: x∈]2,^7-√5/₂[ ∪ ]^7+√5/₂,5[

8)

Risolvere

log_1/2 ^3x+2/_x-3 ≤ 0.

Applico l'esponenziale in base 1/2 che è strettamente decrescente.

(1) (3x+2)/(x-3) > 0

(2) (3x+2)/(x-3) > 1

Ovviamente, se (3x+2)/(x-3) ≥ 1, automaticamente è soddisfatta la (1). Perciò mi basta risolvere (2).

3x+2 ≥ 1 ↔ (3x+2)/(x-3) -1 ≥ 0 ↔ (3x+2-x+3)/(x-3) ≥ 0

↔ (2x+5)/(x-3) ≥ 0

N: 2x+5 ≥ 0 ↔ x ≥ -5/2

D: x-3 > 0 ↔ x > 3

Soluzione x ∈ ]-∞, -5/2] ∪ ]3, +∞[

9)

log₂(6x) + 2 log₂x - log₂3x = 4.

Innanzitutto 6x > 0 , x > 0 , 3x > 0. Sono tutte soddisfatte per x > 0. Uso le proprietà del logaritmo.

log₂ 6x + log₂ x² + log₂ ¹∕_3x = 4 ;

log₂ ^{6x · x2}∕_3x = 4 ; log₂ 2x² = 4 ; log₂ 2 + log₂ x² = 4 ;

log₂ x² = 3 ; x² 2³ = 8 ; x = √8 V x = -√8 .

Siccome x > 0 , x = √8 = 2√2 . Soluzione x = 2√2

10) log₅ (√3 - x² - 2) > 0

{ √3 - x² - 2 > 0 -> Condizione sul dominio√3 - x² - 2 > 1 -> Dalla disequazione elevando l'esponente di base 5 che è strettamente crescente

Siccome 3 - x² deve essere nel dominio di √( ) : 5 , allora imponiamo anche 3 - x² ≥ 0

{ √3 - x² - 2 > 0 (1)√3 - x² - 2 > 1 (2)3 - x² ≥ 0 (3)

La (2) implica la (1) che può essere omessa.

{ √3 - x² - 2 > 1 3 - x² ≥ 0

{ √3 - x² > 3 -> fuori la funzione3 - x² ≥ 0 (2) -> elevamento al quadrato

{ 3 - x² > 8 -√3 ≤ x ≤ √3

x² - 6-√3 ≤ x ≤ √3

Non sono mai verificate contemporaneamente Soluzioni ∅ .