Analisi Matematica

Osservazioni

Sempre per definizione, a^x e log_a(x) sono funzioni l'una l'inversa dell'altra.

Ne segue perciò che f_loga(x)(a^x) = id_R e g_a^x;

   g_a(f_loga(y)) = id_R⁺;

∀ x ∈ ℝ: log_a(a^x) = id_ℝ (x) = x;

∀ y ∈ ℝ⁺: a^log_a(y) = id_ℝ⁺ (y) = y.

La funzione logaritmo verifica le seguenti proprietà: sia a > 0, a ≠ 1.

1. ∀ x ∈ ℝ⁺ ∪ {0⁺}: log_a(x · y) = log_ax + log_ay
2. ∀ x ∈ ℝ⁺ ∪ {0⁺}: log_a(xⁿ) = n log_ax
3. ∀ x ∈ ℝ^- ∪ {0⁺}: log_a(1⁄x) = - log_ax
4. ∀ x ∈ ℝ⁺ ∪ {0⁺}: log_ax > 0 per x > 1    quando a > 1; log_ax < 0 per 0 < x < 1    quando 0 < a < 1.
5. ∀ x ∈ ℝ⁺ ∪ {0⁺}: log_ax < log_ay se a > 1

f(x) = log_ax è biiettiva

DIM.

1. Sfruttando l'iniettività dell'esponenziale, posso provare che

   a^log_a(x∙y) = a^{log_ax + log_ay}

   Osservare che se f: X → R è iniettiva e x₁, x₂ ∈ X, si ha f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂

   a^log_a(x∙y) = x∙y

   a^{log_ax + log_ay} = a^log_ax ∙ a^log_ay = x∙y

2. a^log_a(xd) = x^d ; a^{2 log_ax} (a^log_ax)^d = x^d

3. Basta applicare la proprietà precedente osservando che x^-1 = ¹/_x

4. Proviamo solo la prima.

   Se a^α = x e x > 1. Per assurd,o log_ax ≤ 0, allora siccome l'esponenziale è crescente (strettamente) avviene una delle seguenti due

   log_ax < 0 ⇒ log_ax = a⁰ ⇒ x = 1

   log_ax < 0 ⇒ a^log_ax < a⁰ ⇒ x < 1

   e perciò x ≤ 1, contro l'ipotesi x > 1

5. Si prova come 4.

6. Lo omettiamo

7. E conseguenza del fatto che è l'inversa di a^x

8)

Risolvo

log_1/2 ^3x+2/_x-3 ≤ 0.

Applico l'esponenziale in base 1/2 che è strettamente decrescente.

(1) ^3x+2/_x-3 > 0

(2) ^3x+2/_x-3 > 1

Ovviamente, se ^3x+2/_x-3 ≥ 1, automaticamente è soddisfatta la (1). Perciò mi basto risolvere (2).

^3x+2/_x-3 ≥ 1 ⇔ ^3x-2/_x-3 -1 ≥ 0 ⇔ ^3x+2-x+3/_x-3 ≥ 0

⇔ ^2x+5/_x-3 ≥ 0

N: 2x+5 ≥ 0 ⇔ x ≥ -⁵/₂

D: x-3 > 0 ⇔ x > 3

Soluzione x ∈ ]-∞, -⁵/₂] U ]3, +∞[.

9)

log₂(6x) + 2 log₂ x - log₂ 3x = 4.

Imponendo fatto 6x > 0, x > 0, 3x > 0.

Sono tutte soddisfatte per x > 0. Uso le proprietà del logaritmo