Algebra vettoriale - parte 3

Derivate e vettori

Derivata della somma è uguale alla somma delle derivate

Derivata del prodotto è uguale al prodotto delle derivate

Invece se costante =

Se è scritto nelle sue coordinate cartesiane ovvero:

Ricorda

Quando hai un vettore nelle tre dimensioni in un sistema di assi del tipo: Fisica1 Pagina 5 assi del tipo: Per trovare le componenti basta tracciare le perpendicolari agli assi

La sua derivata temporale sarà ma visto che e sono fissi abbiamo:

Il moto si può scomporre perché può essere descritto tramite le componenti delle grandezze vettoriali che lo descrivono

Derivata di un versore

La derivata di un versore ci permetterà di trattare le derivate temporali delle grandezze vettoriali che stiamo considerando, in più ci permette di scrivere una derivazione temporale universale, ovvero una derivazione che è indipendente dal sistema di riferimento, da cui poi noi potremo scrivere la derivata temporale di un vettore in maniera universale.

Un versore

l'unica cosa che può fare al variare del tempo (a meno che non sia fisso), cambia solo direzione, poiché il modulo non può cambiare mai, e notiamo che graficamente è come se stesse formando un arco di circonferenza che spazza un angolo (spazza = avviene una rotazione). Noi vogliamo trovare significa che noi partiamo da che è uguale a: e facciamo tendere a zero per trovare e. Questo significa che dobbiamo avvicinarci sempre con lo stesso modulo, a, e se adesso facciamo di nuovo , ora si che abbiamo perpendicolare, è un vettore perpendicolare sicuramente al versore di partenza. La derivata temporale del versore però non rimane un versore poiché varia di modulo. Infatti, noi non abbiamo più solo ma che però rimane sempre perpendicolare a quindi: si può scrivere anche come poiché quando tende a zero edi conseguenza anche .l'angolo tende a zero, otteniamo per la relazione geometrica tra raggio di una circonferenza, angolo e arco di una circonferenza ovvero: Quando facciamo tendere a zero la secante che sarebbe il vettore coincide con il versore normale (versore dell'arco di circonferenza quindi perpendicolare a ) Modulo Siccome ha modulo versore 1 abbiamo: A noi serve la derivata temporale quindi moltiplichiamo con Derivata temporale In futuro sarà legata ad una grandezza che sarà la velocità angolare. Adesso possiamo scrivere la derivata temporale di un vettore in maniera universale Derivata di un vettore (universale) (vettore in forma universale) modulo Variazione Variazione del modulo della direzione (rotazione). Teorema di Pitagora: Casi particolari: Il vettore non ruota, quindi ha una sola direzione (la sua azione è unidimensionale), allora (no rotazione). Per cui (modulo costante). Integrale di un vettore: L'

integrale è la funzione inversa della derivata

Passaggio dal discreto al continuo: l'integrale è la somma di tanti contributi infinitesimi dati da

quindi

Vettore posizione di un punto materiale (in coordinate cartesiane)

Immaginiamoci un punto materiale P e supponiamo che questo punto stia percorrendo una certa traiettoria nello spazio

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