Algebra vettoriale - parte 3

Lezione del 03/03/2022: Vettori liberi e applicati

Definizione di vettori liberi e applicati

I vettori liberi sono vettori che giacciono nello spazio senza un particolare punto di applicazione. Al contrario, un vettore applicato è un vettore che per qualche regola avrà un dato punto nello spazio.

Momento di un vettore applicato

Il momento di un vettore applicato si tradurrà nel momento di una forza o in momento angolare.

Definizione: Preso un vettore applicato in un punto P nello spazio e preso un punto O nello spazio che chiameremo "polo", prendiamo il vettore che va da O a P. Il momento del vettore applicato rispetto al polo, è dato dal prodotto vettoriale di O e P. Mettiamo questa "o" perché il punto di riferimento del momento che vogliamo ottenere è proprio O, non B. Se fosse stato B, avremmo inteso il vettore con verso opposto.

Non confondere il vettore generico con la velocità.

Componente perpendicolare del vettore

Prendiamo la parallela che passa da O rispetto a P, che passa per la retta su cui giace P, e infine prendiamo la distanza dal punto O alla retta in cui giace P. Questa distanza rappresenta la componente perpendicolare di P rispetto alla direzione di O.

Siccome il vettore può essere scritto come la somma della componente parallela a P e della componente perpendicolare a P, rispettivamente, ma non contribuisce al prodotto vettoriale, otteniamo:

Il modulo del segmento dal punto di vista dell'intensità del vettore momento conta la perpendicolare del vettore rispetto a P; quando diventerà una forza, diventerà il braccio della forza.

Dipendenza del momento dal polo

Il momento dipende dalla scelta del polo. Infatti, scegliendo O' come polo, possiamo dimostrare la relazione che intercorre tra il momento rispetto a O e il momento rispetto a O'.

Questo ci fa capire come un momento di un vettore applicato dipende dal polo poiché come possiamo vedere c'è il termine aggiuntivo che in generale è diverso da zero, fa zero sotto certe condizioni, ovvero quando O e O' coincidono.

Nei corpi rigidi, quando la risultante delle forze è zero, il momento delle forze è indipendente dal polo.

Derivata di un vettore

Un vettore è un oggetto definito da modulo, direzione e verso. Un vettore nel tempo può variare sia in modulo che in direzione.

Caso generale: Calcolo della variazione finita del vettore. Visto che voglio ottenere la derivata temporale, faccio il limite per delta che tende a zero della variazione del vettore nel tempo. Supponiamo di avere (al tempo t).