Algebra vettoriale parte 2

Lezione 3

02/03/2022

Algebra vettoriale

Finora abbiamo fatto l' algebra vettoriale da un punto di vista

grafico con la somma e la differenza tra vettori, adesso

introduciamo l' algebra vettoriale da un punto di vista analitico,

grazie all' utilizzo dei versori

Componenti di un vettore

Dato un vettore dobbiamo trovare le componenti prima di tutto

dobbiamo tracciare gli assi cartesiani (non importa se sono

perpendicolari o "storti") e poi tracciare le parallele agli assi

cartesiani rispetto al vettore

Immaginiamoci un sistema di assi cartesiani (ci limiteremo

per la maggior parte nel piano) Il vettore A sta nel primo

quadrante quindi ha tutte le sue

componenti positive

I segni delle componenti ci

dicono dove giace il vettore:

Fisica1 Pagina 1

Una volta stabilito il diagramma di assi

cartesiani e vi sono date le componenti del

vettore, il vettore è definito completamente.

Esempio 1

Un altro modo per definire interamente il vettore è

assegnando il modulo e l'angolo che il vettore forma con l'asse

x positivo(utile quando considereremo il vettore posizione)

Molto spesso il vettore posizione sarà dato attraverso il modulo

del vettore e l'angolo che esso forma con l'asse orizzontale

angolo formato con l' asse orizzontale dà la

direzione

del vettore

Fisica1 Pagina 2

Riprendiamo la somma da un punto di vista analitico

La somma si può effettuare

raggruppando le componenti

omologhe

Vale la stessa cosa per la differenza

Esempio 2

Esistono due tipi di moltiplicazione tra vettori :

- Prodotto scalare (restituisce uno scalare)

- Prodotto vettoriale(restituisce un vettore)

Prodotto scalare di due vettori

angolo formato e

compreso dai due

vettori

Il prodotto scalare tra due vettori è uguale al

prodotto del modulo dei due vettori col coseno dell'

angolo compreso tra i due vettori

Componente di lungo la

direzione di

Componente di lungo la

direzione di

Proprietà prodotto scalare

1) (Commutativo)

2)

3) Fisica1 Pagina 3

3) (Non ha significato)

4)

5) (Distributiva)

6) (Teorema del coseno )

I vettori possono essere definiti o come modulo e

angolo oppure tramite le componenti

Si può trovare una definizione di prodotto scalare

7) direttamente attraverso le componenti

Questo si dimostra tramite la

proprietà distributiva (gli unici

prodotti che sono quelli dei versori

lungo gli stessi assi, e in

particolare il versore che è un

vettore di modulo unitario, grazie

alla regola 3 , mentre se

facciamo perché i versori

sono p