Algebra vettoriale parte 2

Lezione 30/03/2022 - Algebra vettoriale

Finora abbiamo fatto l'algebra vettoriale da un punto di vista grafico con la somma e la differenza tra vettori, adesso introduciamo l'algebra vettoriale da un punto di vista analitico, grazie all'utilizzo dei versori.

Componenti di un vettore

Dato un vettore dobbiamo trovare le componenti. Prima di tutto dobbiamo tracciare gli assi cartesiani (non importa se sono perpendicolari o "storti") e poi tracciare le parallele agli assi cartesiani rispetto al vettore.

Immaginiamoci un sistema di assi cartesiani (ci limiteremo per la maggior parte nel piano). Il vettore A sta nel primo quadrante quindi ha tutte le sue componenti positive. I segni delle componenti ci dicono dove giace il vettore.

Una volta stabilito il diagramma di assi cartesiani e vi sono date le componenti del vettore, il vettore è definito completamente.

Esempio 1

Un altro modo per definire interamente il vettore è assegnando il modulo e l'angolo che...

Il vettore forma con l'asse positivo (utile quando considereremo il vettore posizione). Molto spesso il vettore posizione sarà dato attraverso il modulo del vettore e l'angolo che esso forma con l'asse orizzontale. L'angolo formato con l'asse orizzontale dà la direzione del vettore. Fisica1 Pagina 2.

Riprendiamo la somma da un punto di vista analitico. La somma si può effettuare raggruppando le componenti omologhe. Vale la stessa cosa per la differenza. Esempio 2.

Esistono due tipi di moltiplicazione tra vettori:

• Prodotto scalare (restituisce uno scalare)
• Prodotto vettoriale (restituisce un vettore)

Prodotto scalare di due vettori: angolo formato e compreso dai due vettori. Il prodotto scalare tra due vettori è uguale al prodotto del modulo dei due vettori col coseno dell'angolo compreso tra i due vettori. Componente di lungo la direzione di. Componente di lungo la direzione di. Proprietà prodotto scalare:

1. (Commutativo)
3. (Non ha

Fisica1 Pagina 33.

(significato)

4)

5)

(Distributiva)

6) (Teorema del coseno)

I vettori possono essere definiti o come modulo e angolo oppure tramite le componenti

Si può trovare una definizione di prodotto scalare

7) direttamente attraverso le componenti

Questo si dimostra tramite la proprietà distributiva (gli uni coprodotti che sono quelli dei versori lungo gli stessi assi, e in particolare il versore che è un vettore di modulo unitario, grazie alla regola 3, mentre se facciamo perché i versori sono perpendicolari a causa della regola 1)

Esercizio 1

Prodotto vettoriale

Proprietà

1) è perpendicolare al piano formato dai vettori A e B (Direzione)

2) Verso regola della mano destra

Il secondo vettore si avvicina al primo e si

Fisica1 Pagina 4