Algebra 1 (parte 3)

Notazione delle permutazioni

AadDébora finitoAconcentriamo sul edcasoci A Suparticolare Schfiin scriveremoin1 Sul RNotazione3 521 4 praticamoltonon532 41Notazione 2a righe 81315dire Ec8121vuol 35 413 a2o 5cal 251512 113 5 4Questa lascrittura è unicanon stessascrivereanchesipermutazione puòE 43 E la modoè ordinata inI lasoloscriverecrescente si può II rigalaottenendo adnotazione 1 rigavirgoleanche senzaO 4,3 5 2,1In due leabbiamoqueste usatonotazioni parentesiquelledistinguerle daquadre con parentepertonde leAvvertenza permutazioni si compongonole fazioni da dxcome sxversoEsempioO T3521 3 4,1e 2,5EE E EE E t L5,23,1 4 5,23,1aplichiprima opoieE5 35,4 2,18 8e 1,2 3,415Notazione cieliOrbite die una permutazioneSia 58E 3,7 8,41,6 E5,2 deve chiudersiil ciclo da dovepartito iniettivitàperèAbbiamo ottenutoÈ partizioneunasferetta5 viene chiamatae ogni neIn le orbitequesto caso 1,35 7,8sono e2,4ordinatisononon osecondoNotazione come diprodotto cicli disgiuntiE 62,75 8

41,3 tendesi scriverloa non 817865 812 7 853 e5O 31 ECGECG 6LEC 48Questa èscrittura unicanon3 1511,38,4 718,4 225,1E 417 frapermutazione ffàpermutazioni2 15,411,673,2I ciclici fra lorodi poichécommutanodiversinumericoinvolgono cicliè deiOgni permutazione propriprodottoESEMPIO 9E 3,75,6 41 8 14,72,5 IIgiunti895E 2,58 79t 3,7 1,411516,4 vediamo cosaottienesi5,82,6 4,9 3,71 ciclo èquindi permutazioneeOgni ogniOss cicli lunghezzadi 2prodotto di12,3 2 3 3,1 1,41,321412,3 4Per lungociclo nun 1,21 31I nI31,2 n1h43 6 89751 2 PIF Se9 Eelemento di scrivesiognia come prodottociclidi disgiuntiLOROCOMMUTANO TRA1,99 1,9415,8 86,3 4,5 6,3ciclo scrivesi trasposizioni2 diogni prodottocome1,99 415,86,3 ÉEYE 481145come scrivonosiperle composizioniSi digaSuDenotiamo elcon3 gliliSi ittali elementi semplicidettisono trasposizioni12ES 23213 155115526761 7811671156714548laOSS trasposizione siSi stii iti 1,5itCig a si scrive di3 Ogni cometrasposizione

prodottosemplicitrasposizioni gegenTeorema scrivesi comeogni prodottodi semplicitrasposizioniGn Sidaè sncioè generatoRIPASSO GENERATORISUISia a X suoun sottoinsiemegruppo une sottogruppi4 l'intersezioneX se tuttidi igenera 4èChe tuttiseovvero glicontengono eleme tisi ancheprodotto ripetutocomeottengono lorodi elementi di inversiX eESEMPIO ciclici1 Gruppi dacioè elementogenerati unda1 Generato os i di qualoraclassedalladagenerato Inoitin invertibileelementodudue dementidagenerati2 gruppi Dm dadiedialiGruppi 1,7generatoo elementigenerati da nei3 gruppiSnai Sida Sugeneratoe sempreAnche sonoln D21 1,3 I generatoriNinfinità diGruppi numerabilegenerati da un4 elementitht5 infinità dGruppi numerabilegenerati nonda unelementiRit Dimostra per esercizio Rassurdo èper ottienesi che falsonumerabilehanno basileATTENZIONE i nongruppiCioè darequasi riescomai insieme dia unabbiano loroche relazioni trageneratori nondi laisolito diovvero un

gruppogeneratorieliminabilirelazionecui sonononhaAd Dnesempio relazionigeneratori2 conl'Aid id 179 s ma possononeliminare duedeiuno generatorida4Se Giè generato InOss esistemassimo'Tineamautofismo Cal Htc44191 Alan elementisiano prestabilitiDueIn sceltoaverdopo 2dove smandare el'omomorfismo unico determinatoè dalleefattescelte esattamentelineareAlgebraIn inveceesiste fissato datobaseomorfismo per cheun unahanno LIrelazioni sonovettori noni 716D4esempio er33Es 2 CIEFrogSor mentre 32Es E's4 27323 è unnonomomorfismo Daomomorfismoè 746mentre un 9La unicoed èEIii deeEEETINEPIE.EE r'sa srZIG DuDeterminare diEsercizio centroEca gzfa.cagealzgZEGOSS ZEa zaA_rit gireririz suissairidrisz veromodi mod aii on n nAbbiamo 2 casi Leose nse in pari i 0 rien is ririazriso ZE AZ zittaariarz ririt AAma implicherebbe iche 0ciò assurdoma è riflessioneperquindi rs se ognil'd disparise ènZ Du re né pariseidOSS le

matricicommutad con tutteIIE1 Un omomorfismo iniettivoOss G H isomorfismoè0 undareCalmaCon omomorfismoquindi un tsignifica diidentificareiniettivo 4 con sgrunDICIAMO G HIN IMMERGEREQUESTO CASO IN213 76ESEMPIO Y 3h1m yD ItaDay saRLE.siHAI asi 12R i Mostrare c'èEsercizio omomorfismoChe uniniettivo DueDa ulmy nei ottieneImmergendo siun vagonitriangolo012 infiniticerchio diIR simmetriaassicon eun rotazioniGruppi DEI PolitopiDEI POLIEDRI E Dimpoliedri in23Sia Ve IRE XXi tuXa2,1s x ViVIXi3 xzsxy.tn E Xiaoteatro di verticitetro caso1la o 0,0i HaiLA ERTa sota aottante unintersecato pianocon 83D3daIsomorfismo 9 ÈD 3 3 A62,3A 13211Per Sun 1Gt3yd u3 Dal 234si 21 DnicisaEsiste di Dninla 29 adiacenzaSu quindiinesisteche però non2 estiriettivaènon numerando delU ottenuto verticii poligonosuriettivamainiettivoomomorfismo nonè 7in1,2Sia 4 il di rigidimovimenti chegruppolasciano ilinvariato tetraedro 5Consideriamo Sa G4 E 115iYE HeyXi EliEniXa ocaXi

Xsloper stesso precedentemotivo alXXi taX2411,2 123 3MEEREEN è isomorfismoche p un daè dainsiemeXu carteun gioconrosse lato dall'altrada verdeeunBr chetrasformazioni lepermutarepossonollo levoltare cartecarteBal 8 EtiFYutationiBn diè ora.aegruppounB alisomorfo movimentidièOSS gruppocubo inmandano sé stessouncherigidi alisomeri cuboripensaPensa agli cassieraIpercubo Cn ego tiIR tiex asuo lo Bncheil sé stessomanda ègruppo inle diper effettuare necessitopermutazionipiùindimensioneuna ExistERla I faiTu sotuaAbbiamo che vederevisto moltipossiamo gruppiSwdiad 2in Dmesempio SgrcomeVediamo finitiiche tuttiora gruppi possonoqualche gruppovisti come disgressere unsimmetricoTEOREMA CayleyDiSia a ordine Luzi finitodigruppoun n iniettivoAllora omomorfismoesiste un Su4MDim Siate asqu MIkg 4 definiamoe Eèche biezioneOsserviamo poicheunaingla inversa èsua Mg né GyulaÈ definito un'applicazione 9 mgMostriamo M

è omomorfismo che un cioè che M mlgl.mgggiImij giggg migliax x mgÈ iniettiva poichéSe mg particolarema inmlg gèe e gam g g giniettivaM èDunqueMociagli abbiamo diIeri Cayleyilvisto teorema per ognila moltiplicazione sxagea per èg Mg unabiezione GG Syncelemento diovvero undefinitaQuindi un'applicazioneè cheSync è omomorfismounGM iniettivoAgn9 ingSe laconsiderato moltiplicazioneOss avessimo funzionato Peravrebbe lefiniteDX cgfp.gea nonIn IAIparolealtre diunesiste sgr nGisomorfo aG l'operazioneESEMPIO è743I 63,13373 è biezione713 unaME X X tiE31E 1 oi im 123i 53e713 713Me X 2i iE i3 253M 23 E13 2me idg 93M 713 sseraG