Algebra Lineare - Riassunto Completo

Teorema delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali

Dimostrazione:

Supponiamo che V e W siano spazi vettoriali e che f: V → W sia un'applicazione lineare.

Dimostriamo che il nucleo di f, Ker(f), ha dimensione n.

Prendiamo una base di Ker(f) e aggiungiamo ad essa n-vettori indipendenti che generano V. Otteniamo così una base di V.

Dimostriamo che l'immagine di f, Im(f), ha dimensione m.

Supponiamo per assurdo che Im(f) abbia dimensione maggiore di m. Allora esisterebbero m+1 vettori linearmente indipendenti in Im(f), ma questo implicherebbe che esistono m+1 vettori linearmente indipendenti in V, il che è impossibile.

Quindi, dim(Im(f)) = m.

Conseguenze del teorema:

1. Se f: V → W è un'applicazione lineare iniettiva, allora dim(V) ≥ dim(W).
2. Se f: V → W è un'applicazione lineare suriettiva, allora dim(V) ≤ dim(W).
3. Se f: V → W è un'applicazione lineare biunivoca (isomorfismo), allora dim(V) = dim(W).

Siano U e W sottospazi vettoriali di V. Allora:

fissatebasispazi su con,, .alleSiano lineariST rispetto fissateV UW applicazioni basi→: :e( 5)) [ [ ]tSatvale = matriciletrala prodottolineari equivaledi alapplicazioniCioè composizioneassociate .DIMOSTRAZIONEIt ) HrVtw 1mm tre te we =.awtu lmmft( ESIW1mm ) ) Ecs ue e =.entrambe [combinando STLTJVle ucose = [ )Sat[ SIITI equivalecioè aPROPOSIZIONESia L vettorialiV W Vlineare 1KW spazi-7: con su,)( )dim deill pivot della1mm alugualeè numeroridottamatrice associata scaliniaDEFINIZIONEÈ 1Kdetto vettoriali4Wlineare Ldi -7WVapplicazionerango suun spazi: con( )( Ltil dim 1mmugualenumero a )altre lmmllldim (parole sinonimiin sonoerangoIl matrice associata ridottadi pivotquindi il della scaliniè numerorango aNOTA tutto validodetto anchestatocheQuasi prendendo inciò èè esamele righe colonnedelle diad eccezioneinvece :)((b) U la matrice1mm1mmNon vol dovechepiùè è° =vero )( PDF restadi la dimensioneeliminazione

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DEFINIZIONE: Una matrice trasposta di una matrice A è indicata come A^T. Una matrice A di dimensioni m x n è trasposta in una matrice di dimensioni n x m.

SISTEMI LINEARI: Un sistema lineare è rappresentato nella forma matriciale seguente:

[A] [x] = [b]

dove [A] è la matrice dei coefficienti, [x] è il vettore delle incognite e [b] è il vettore dei termini noti.

La matrice completa del sistema include anche la colonna dei termini noti sopra gli scalini. Possiamo facilmente ridurre il sistema alle soluzioni trovando la matrice ridotta delle righe. Le soluzioni del sistema sono le stesse della matrice di partenza. Si possono ricavare le soluzioni successive mediante sostituzioni.

Esempio:

{
        3x + ty + tz = c
        1x + ty + tz = b
        4x + 5y + tz = e
}

OSSERVAZIONE: Se cerco lo spazio delle soluzioni dell'equazione ax + by + cz = 0, ad esempio, ottengo semplicemente il nullspace.

OSSERVAZIONE:

risultati impossibili il sistema è impossibile se la matrice associata al sistema ha un rango completo, cioè se, ES : %:/È# § te impossibile4oxtoy → → >. OSSERVAZIONE Il sistema ha una soluzione unica se la matrice associata al sistema ha un rango completo, cioè se, IMIÌ;)Mdi dirango rango= OSSERVAZIONE Se il sistema lineare è omogeneo, cioè se b=0, allora il sistema ammette la soluzione nulla, ma non sempre viceversa, se il sistema non ammette la soluzione nulla, non significa che tutte le soluzioni appartengono all'insieme vettoriale 0, un sottospazio non vettoriale. PROPOSIZIONE Nel caso dei sistemi omogenei, l'insieme delle soluzioni è equivalente al kernel della matrice associata al sistema. Quindi, la dimensione del kernel avrà la stessa dimensione dell'insieme delle soluzioni. Esempio: Supponiamo che la matrice associata al sistema sia % ! .tt!! : ÷:alteriamo te Zz-3ozfa0 × = -,le funzioni scritte liberano tutte le variabili che hannoèzin ![ !{ }Iz IRquindidelle soluzionil' èinsieme e)[ )( !cioè spamTEOREMASe l'risolubilesistema S delle soluzioniinsiemeè ènon omogeneoun ,formatocosì )/{ WESE- viso vtwa . quelletuttesistemasoluzione particolare sommatadelcioè una adell' associatoomogeneo . rettore natidei terminiilad esempio✓ èle traslato )soluzioni (di sistema affinespazioun soloomogeneo unononDA sistemaASPAN descritto il sistemaNella procedimento daèscorsa passareper unpagina ilsoluzioni Oradellelineare vediamoallo processo inversospam . ?quelle soluzionisistemadato hacioè qualeuno pan, ,Esempio : tl ))spani !! kart!= )( ? allovettore appartiene soloun sespingenerico seeÈHtt :L :* te . Il e= ;)) |µ/ /materialeformapassando §! !in }→{ b- -02aequivalentela ridottamatrice è a sa o=e -GRASSMANLA FORMULA DiTEOREMA sdtospaziDati Adue B 1Kdi Vvettoriale valeuno spazio su, (dimlaltdiml B)B) ( B)A-din andme=DIMOSTRAZIONE bla10 bAconsideriamo V b)xD → a-: =,lo lineareè { ) ?(d) (Kerconsideriamone Axb b- òkernel b)il Ea. a-= -4 /Nei }(d) b)( Axb bcioè E a-= a.4Noi Axb And }(61equivale I)(che eZZ ZE=a lzt )(ARB lo-0 0 isanorf.snzit quindi→ per è un: . .trallifan B) )dondin =loL' scriverlapossibiledi èimmagine come{ }I AtbBEBaeaatb =, partenzattb B l'perché diEB quindibE insieme e-quello ugualisonosopra (4)1mm Atbquindi = )( 4 ()( )) tdim (dim tra lol1mmdinche AXBsappiano =din dindinquindi At dinATB andB t=L'CALCOLARE INTERSEZIONEVConsideriamo disdtospaziWU ,trovare sufficiente ch