Algebra Lineare - Riassunto Completo

SPAZI VETTORIALI

DEFINIZIONE

Uno vettoriale V IK

ruoto

spazio è

un campo

su spazio

uno

non seguenti

possibile le

è

cui

in operazioni

compiere elementi

tra V

di

due

somma

• 1K

elemento

prodotto V

di

tra di

un

• uno

e

elementi

gli appartenenti vettori

chiamati

V

a sono

appartenenti

elementi

Gli scolari

chiamati

K sono

a V V

V

la definizione

Essendo di C- vtw E

v

somma w per

,

chiuso rispetto alla

dice

si somma

Aek

V V

analogamente definizione

kv V

ve e per

e elementi

prodotto di IK

chiuso

dice il

si con

per

PROPRIETÀ

tu V )

( )

vale (

e tw

• v w ntv vtw

= ut

, ,

tu V vale

vtn.IO

Mtv

e

v

. =

, tre V vale

tale che vtò

V

e v

=

V ZWEV

tre tale che Ò

vtw

• =

N WEV

fa tv

ilvtw Arthur ( )

tv )

vale Atr trv

• v

r e

e =

=

,

, Hr dirvi

fa )

tre

# V vale

° e v

r =

, V

V. (

Ire # 1)

che reali

tale V

r v

• ✓ e nei r

= :

-

Ogni particolare IR

# anche

In

lk

vettoriale stesso

è spazio

uno

campo su .

DEFINIZIONE

sottospazio

Un sottoinsieme

W

vettoriale di V è un #

sullo

WEV stesso

vettoriale

che è cui

uno spazio su

definito V

è

Anche l' KEN

polinomi

anello vettoriale

dei uno spazio

è

e

k la

alterare definizione

stesso normale di

su somma e

senza

prodotto polinomi

tra scolari

e

PROPOSIZIONE vettoriali

V K sottospazio

Sia vettoriale V

W U <

spazio su

uno e , vettoriale

Wn U

allora sottospazio

è ancora un

DIMOSTRAZIONE

ÒEU ÒEWNU

Ò definizione quindi

W

E

• e per WNU

U

tua EWRU W E

4 tw

vetro

vrtvr E

va E

° e ,

, tv

tu WNU

tv

taciti U due

Wnu W

e

• e

e e

DEFINIZIONE

Dati vettoriali

sdtospazi UEW

due vettoriale

di uno spazio

✓ k di l'

definisco U W insieme

somma

se e

hutw Iuav }

UTW wow

= ,

L' sottospazio

il piccolo

definito cantiere

che

più

insieme è sia

appena W

sottospazio sottospazio

U

il il

sia

DEFINIZIONE #

Dato V vettoriale

vettori

di 4 e

insieme

un spazio su

va .vn

, .

, .

.

rettore

il kun

Have travet t

✓ t

= . .

. vettori

detto

IK lineare

combinazione dei

link Nn è

E

con . .

. .

. coefficienti

detti

te Ci

te

univa un e sono

.

, .

.

, .

.

.

. ,

DEFINIZIONE

Dato vettoriale E

V

vettori

di 4,4

insieme E

un su

spazio

v

. .

. .

. , l' tutte

definisce di

vettori

dei

spari insieme

un

si va va

, , . .

. .

lineari vettori

le dato

combinazioni

possibili dell' di

insieme e

indica

si con ( /

spari un

va v . . .

, .

. ,

DEFINIZIONE

Un vettori #

di vettoriale

V

insieme va E

va

va su

spazio

.

.

.

, ,

,

vale

cui

per (

✓ )

spari va .vn

va

= , , . . .

analogamente

• ttv V 7k t.c.kkvntkakt-i.tk

#

fine

te

e ,

, .

.

. ,

detto generatori V

di

di

è insieme

DEFINIZIONE V linearmente

si indipendenti

dice vettori

i 4,4 .vn E sono

.

. .

, Ò

vettore combinazione

la

modo

l' il

di è

unico scrivere

se

lineare coefficienti

tutti nulli

i ossia

con ,

Ò

diktat tanvn cento

oh

= a =

= = .

.

.

,

. . .

OSSERVAZIONE

Se indipendenti possibile

significa che è

.vn

va

va non

sono

.

. .

, , altri

loro degli

di combinazione lineare

scrivere come una

uno altri

appartiene

che allo

loro degli

di

cioè spam

nessuno

DEFINIZIONE

Sia V V

K vettori

vettoriale di

Un insieme E

spazio su .vn

4,4 .

, .

.

. dice

V finita

base

indipendenti

linearmente generatori di V

di

si

e

PROPOSIZIONE

VEV

vettore

Ogni lineare

combinazione

modo

in

scrive unico

si come

✓

di

vettori di

dei base

una

DIMOSTRAZIONE

Supponiamo che tbnvn

baht baht

assurdo ✓ any

per tant tank

= =

-

. . . .

.

Ò ( bnlvn

b.)

b)

(

che fa t

v

scrivere

possiamo ht

un'

an an

v = -

=

- - -

- . .

.

,

linearmente indipendenti l'

essendo lineare

combinazione che

unica

ma risultato coefficienti

Ò uguali

da quella 0

è i

come a

con

quindi bi

VIEN

che te vale ai

ocian

segue =

.

TEOREMA 4 }

Sia Ò

V vettoriale Vf generato

k

spazio can

uno su

dall' vettori nulli

finito di

insieme va va .vn non

.

. .

, , .

È possibile }

frana sottoinsieme

da

estrarre un

sempre un

.

.

, . , ✓

{ } base di

che è

Wr una

.ws con

we sen

.

, .

.

,

DIMOSTRAZIONE

[ tutti di

contenente sicuramente

indipendenti

sottoinsiemi vettori è

i

insieme 441

vuoto 444 141

appartengono almeno

perché vi

non .

.

.

, ,

,

{ }

di

il sottoinsieme

Considero cordialità Wn .ws

massima we .

, .

.

,

sei } ti

{ } banalmente

è

Wn Wr K

va

.ws = un vero

- . .

.

, , ,

.

.

.

,

. elemento

I }

} 44,4 allora

C considero

Ws

Wr

Wn

- un

un

.

. .

.

, . .

,

, ,

, 4

¢ }

Wr Ws

Wn Wr .

, , .

.

{ vettori

}

considerando ipotesi i

W

Wr we non

wn sono

per

,

. .

, ,

, , .

altrimenti cordialità

indipendente dell'

avrebbe insieme

maggiore lineare

combinazione

cordialità quindi è

massima

con ,

degli altri

DEFINIZIONE

V

Sia basi

vettoriale cardinali

di tù n

spazio con .

detta dimensione V

di

è

n

APPROFONDIMENTO GEOMETRIA Degli spari

: )

f !

crepi

Esempio v. '

appartenenti

lo vettori IR ottenibili

l'

di dei

è

v insieme a

spam

tramite prodotto R

di

il scalare

v uno

per e

¥

^ III

rettore

il

→ è

> IIII

÷ è :

: :*

.

e )

[

ottenibili !

vettori da

generale sono

i

in r -

tutti vettori retta

che sulla

i cui

su

gioviano

! ]

[ stesso

giace

Generalizzando : "

lo IK

vettori sottospazio

di di

sarà

in

s

spari un

dimensione quanti

dipende

dimensione da

E la

sen i

sono

e (

indipendenti

vettori partenza

di

tra gli che

s comunque non

)

di

più

essere

possono n "

lo H

di vettori può

s essere

spin in

"

retta IK

in

° una "

IK

bidimensionale in

un piano

° 0 e _ "

1K

dimensionale

spazio ai in

uno

-

.lk " stesso

APPLICAZIONI LINEARI MATRICI

E

DEFINIZIONE

Siano V vettoriali

W K

spazi

e. su . lineare

( funzione) L V detta

Una soddisfa

W è

applicazione se

→

: :

)

V L L (

(

tre )

Live

hit

4th

E

• v =

, . Altri

L

ttvev

the )

(

K Xv

• =

,

DEFINIZIONE

Siano vettoriali

V tt L

W W

V applicazione

→

spazi su

e :

e

lineare kernel L sottoinsieme

di

nucleo

Chiamiamo il

o

. 1

tre VI

Keith E.

Levi

- =

-

PROPRIETÀ

( )

Ker V

L sottospazio vettoriale di

è un

° 1mm ( LI sottospazio di

vettoriale W

è un

° 451

iniettivo Ker (c)

L solo

è se

se

° e =

DEFINIZIONE matrice

Dati positivi

interi

due dice

si

non una mxn

coefficienti

di del tipo

griglia K

in

una ;]

| !

!! "

" "

! ( ;)

A.

" brevemente

indicata ai

più con

: . .

DEFINIZIONE (

Matmxn ) l'

interi positivi

Dati 1K

due chiamiamo insieme

nn

matrici lk

coefficienti

le

tutte

di in

mxn a

OPERAZIONI A-

matrici KEIK

Date ( Matmxn

)

(

due Cit )

B.

;) bij e

ai e

=

, Fiam

aijtbij )

(

ATB ttjen

(

• = = Vien

;)

KA

C ( ttjen

K ai

• = -

=

DEFINIZIONE matrice ;)

(

A-

Data Matmxn )

UK

e

ai

una = e

) AB

Matrix

(

B il prodotto

)

Clk

bze è

e

= e Matinee

la (

matrice Clk che

tale

)

Coni

C e

-

- bah bnh

bah

con t

are

are Arm

t +

= .

. . .

Concretamente a)

so

5 6

4 81 98

NOTA BENE

tra

prodotto

Per NON proprietà

la

il valida

matrici è

commutativa prodotto

ordine

l'

scambiando

perché avrei un

prima detto della matrice

le sinistra

quindi

nxk.mx che righe di

è

non

n destra

delle colonne

la dimensione

abbiano anche

di quella di

stessa e

risultato

verificato

fosse stesso

lo

darebbe

ciò

se non .

PROPRIETÀ

È comportamento

possibile lineare

di

il

descrivere applicazione

un vettori

comportamento

il che

L ✓ W descrivendone solo sui

→

: tutti altri

V gli

di perché

base

compongono si possono

una applicando

vettori

lineare

combinazione della base

dei

scrivere come e

possibile

proprietà che

le lineare calcolarne

rendono la funzione è

risultato

il

Sia V L

base di V lineare

W

vr va .vn una →

e :

. .

.

, ,

spanllcni.LK?.. ,LcvnilV-veVv=qytazyt. .tanvnLCvI=anLCvnItazL(

1mm ( )

L = tanllvn

htt )

.

.

. W

( di

base

combinazione

( lineare

) può di

vi scrivere una

si come

( biewntbzwzt bimwm

( )

vi = - -

-

scritture

entrambe

Combinando le ottengo ( ) )

( tbamwm

tant

LCV tbmwmlta

) b ↳ t

wzt

Wat

= a. .

-

. .

. . .

.

.

.

.

. ,

,

opportunamente

Raccogliendo ottenere

posso ) ( )

tantum anbnataabnzt tanbnm

( aib.it arbaizt

[ ) Wn

( t

we t

v -

= -

.

. .

.

-

.

.

vettore ottengo

di

b colonna

forma

scrivendo i in .fi/t-.tanl?i )

fitta

in a. mi Mh

mz

Parevi la L

rappresentare

matrice nel modo

usare

posso per

" :L

÷ : ÷

:

" " matrice

detta associata lineare

all' applicazione

che è

OSSERVAZIONE indipendente

matrice L

Esiste V

associata W

un' a

unica →

:

scelte nulla

lineare

dalle applicazione

basi ed l' cioè

è

, A ( ;)

tre ÒEW che

V

che fcv di

quel