Riassunto completo Algebra lineare e geometria

Riassunto Algebra

Matrice: sia K un campo e siano m,n ∈ ℕ. Una matrice M di taglia m×n e coefficienti in K è un insieme di mn elementi disposti su m righe e n colonne.

Casi particolari: Matrice nulla (a_ij=0 ∀ i,j); Quadrata: m=n; Identità (a_ij=0 s≠j); Riga e Colonna; Triangolare superiore (a_ij se i>j); Strettamente sup (a_ij se i≥j).

Operazioni: Opposta ( -A = -a_ij ); Trasposta ( A∈ℝ^m×n → A^T∈ℝ^n×m ); Simmetrica (A = A^T ); Antisimmetrica (se A^T = -A)

Somma: A+B = (a_ij + b_ij) (prop. commutativa, associativa, elemento neutro, opposto (m=n=0) (A+B)^T = A^T + B^T)

Prodotto per scalare: λ A = λ (a_ij) = (λ a_ij), 0_K = 0_m e 1_K = λ0 ∀ v∈V

Prodotto di matrici: Sia A ∈ K^m×p e B ∈ K^p×n (colonne A=righe B) ⇒ A·B ∈ K^m×n

Potenze di matrici: A^k m×m è nilpotente se ∃p∈ℕ t.c. A^p = O_m,m

Matrice inversa: Le matrici nilpotenti non hanno inversa.

Determinante: A ∈ K^n×n: det(A), ad-bc; A ∈ ℝ^n×n ℕ t.c. A' = I_m.

Regole di Satus: Se A∈K^3×3

Riassunto Algebra

Matrice: sia K un campo e siano m, n ∈ N. Una matrice M di tipo m x n e coefficienti in K è un insieme di mn elementi disposti su m righe e n colonne

M_mn = (a_ij)1 ≤ i ≤ m1 ≤ j ≤ n

Casi particolari:Matrice nulla (a_ij = 0 ∀i, j) - quadrato: m = nIdentità (a_ii = 0 se i ≠ j) - righe x colonne. Triangolare superiore (a_ij se i > j)strettamente sup. (a_ij se i ≥ j)

Operazioni: Opposta (-A = -a_ij); Trasposta (A∈R^{m x n} → A^T∈R^{n x m}), Simmetrica (A^T = A),Antisimmetrica (se A^T = -A)

Somma A + B = (a_ij + b_ij)(propr. commutativa, associativa, elemento neutro: 0_{m x n})opposto (m.a.n.o.) (A + B)^T = A^T + B^T

Prodotto per scalare: A d → (d a_ij) = d(A^T) = (dA)^T, d 0_m = 0 ∀v ≠ 0 v ≠ 0

Prodotto di matrici, se A∈K^{m x n} e B∈K^{n x p} (colonne A = righe B) → A·B∈K^{m x n}

Scrivo A: (r_i), 1≤i≤m righe funzioni e B: (C_{1, ... , Cn}) colonne funzioni→ A·B: (r_i•C_j)1≤i≤m1≤j≤m(propr (A·B)^T = B^T · A^T , A·B∈K^{m x p})

Potenza di matrici A∈K^{m x n} è nilpotente se ∃ p∈N t.c. A^p = O_m

Matrice inversa: Le matrici non monopotenit non hanno inversaA∈R^{m x n} invertibile se esiste A^-1∈R^{m x n} t.c. A·A^-1 = I_mSe esiste l'inversa è unica (propr annidata) A t inversa. Se A·B sono invertibili→ A·B∈R^{m x n} è invert. e (A·B)^-1 = B^-1 · A^-1A invert (=>) det(A) ≠ 0

Determinante: A = (^{a b})(c d) → det(A) = ad - bc ; A∈R^nx e det(A) ≠ 0 → A^-1 = 1(-d b)(-b c) ad-bc

Sia m ≥ 3 e A∈K^nxn => det(A) = a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₁₂ +...+ a_1nA_1n

dove A_ij (cofattore) = (-1)^i+j det della sottomatrice ottenuta cancellando i, j

Prop 2: det(A) è ottenuto da a sommando ovem righe un multiplo di un'altra riga

→ det(A) = det(A') se A' è ottenuta da A moltiplicando una riga(ae ∈ K) dove det(A') = det(A) (se A' ottenuta scambiando due righe)d Α det(A) = det(A^T) det(A') det(A) = det(A)

Regole di Satus: Se A∈K^3x3

Teorema di Binet

Se A, B ∈ K^m×m → det (A·B) = det (A)·det (B)

Matrice inversa 2

Se A = (a_ij) ∈ K^m×m si definisce una matrice aggiunta K^n×n adj (A) :

adj (A) : (a_ij) → _ij, adj (A) : (· cofatta)

• adj (A) : A^-1 = (det) _(In)·adj (A)
• Sia a ∈ Kⁿ invertibile ⇒ det ≠ 0 ⇒ si trova A^-1 n_(A)

Sistemi di equazioni lineari

(Linearità perché grado 1)

Sia (a_1,1 x + a_m,n = b_m)

Sistema con n equazioni e m incognite

• Sia A := (a_i,j) ∈ K^m×n → matrici dei coefficienti

Sia B_b

? ∈ K^m | matrice dei termini noti

• x_t ∈ K^m matrice incognite

e con A|B = (a_1,1 b_m) matrice completa

Se determinanti => % => infiniti soluzioni

Matrice fortemente ridotta :