Riassunto completo Algebra lineare e geometria

Riassunto Algebra

Matrice, sia K un campo e siano m,n ∈ N. Una matrice M di taglia m×n e coeffic. in K è un insieme di m•n elementi disposti su m righe e n colonne

Casi particolari: Matrice nulla (a_ij=0 ∀i, ∀j), Quadrata m×m, Identità (a_ij=0 se i≠j), Righe e Colonne, Triangolare superiore (a_ij=0 se i>j), Triangolare inferiore (a_ij=0 se i<j)

Operazioni: Opposta (-A=-a_ij), Trasposta (A∈R^m×n A^T∈R^n×m), Simmetrica (A^T=A)

Antisimmetrica (se A^T=-A)

Somma A+B=(a_ij + b_ij) (Prop commutativa associativa elemento neutro: 0, Opposto (n A^op=0), (A+B)^T=A^T+B^T) (Prop Associativa, distributiva, elemento neutro: 1, A•0=0, 0A=0, (A•B)^T=B^TA^T se AB prevedibile)

Prodotto di matrici: Se A∈K^m×p e B∈K^p×n (colonne A = righe B)⇒AB∈K^m×n

Potenza di matrici: A^k∈K^m×m e nilpotente se ∃p∈N t.c. A^p=0_m×m

Matrice inverso: Le matrici nilpotenti non hanno inverso

A∈R^m×m è invertibile se esiste A^-1∈R^m t.c. AA^-1=I_m

Se esiste l'inversa è unica (Prop Arimet. A e invart, se AB=BC sono invertibili)

=>AB∈R^m×m è inve.rt ^(A•B)-1:B^-1A^-1. A invertiesekayo det(A)≠0

Determinante: A=(^{a b}) det(A)=ad-bc, A∈Rⁿ e det(A)≠0=>A^-1=^{d -b}

| bc -a

Sia m≥3 A∈K^n×m⇒det(A)=0, allora a_1,1...a_n,n=0

dove A_ij(cofattore) = (-1)^i+j det della sottomatrice ottenuta cancellando i,j

Propos2: Se A'∈Kⁿ è ottenuto da A sommando una riga per un multiplo di un'altra

e40;a

⇒det(A')=det(A), Se A' è ottenuto da A mezzo scambiando due righe

d det(A'_i= -det(A)il(A:detA:A)det(A):det(A)

Regola di Sakeus: Se ALK

Teorema di Binet:

Se A,B ∈ K^m×m → det(A·B) = det(A)·det(B)

Matrice inversa:

Se A ∈ K^m×m inversibile (≠ 0) si trova A^-1

det(A^-1) = 1/det(A)

A^-1 = 1/det(A) · adj(A)

Sistemi di equazioni lineari:

Sistema con m equazioni e n incognite e sia A ∈ K^m×n matrice dei coeff.

matrice dei termini e X_n ∈ Kⁿ matrice incognito

Se determinante ≠ 0

→ infiniti soluzioni

Operazioni elementari per righe:

Sia A ∈ R^m×m

• Sommar ad una riga di A un multiplo di un'altra riga (R_i → R_i + kR_j)
• Moltiplicare una riga per uno scalare ≠ 0 (R_i → 2R_i)
• Scambiare due righe

Due matrici A,A' sono equivalenti per righe se esistono operazioni elementari t.c. A=A'

Rango:

Sia A ∈ R^m×n, A ∈ R^m×m ridotta per righe ed equivalente ad A

Si dice rango di A = r K(A) = numero di righe di A non nulle

Se A ∈ R^m×m → r K(A) ≤ min{m,m}

dicon (A|B) ∈ R^m×m, (A'|B') ∈ R^m×n matrice completo e tale che

(A|B) equivalente per righe e (A^-1|B^-1) → Ax=B' Ax=B' hanno stiene sol

Oppure cerco l' H ∈ π t.c. P_n ∈ V_π ⇔ C ∈ π H ∈ π

Retta-Piano: se r ∩ π = P allora t &finite; ∩ ∅. d(l(2, t) , π) = 0 se r 2 π allora ∀ H ∈ r, d (n_{1, a}) = d(n_{2, a})

Piano-Piano: se α ≡ β allora α ∩ β ∅ allora d(n_π , π) = 0 se d ∈ α β allora ∃ P ∈ d ⇔ ∃ β → ∃ β

d(p, q(a)) = ^{|d - d'|} / _{√(x' - y') + z'}

Sfera di S₁: S(C, R)= P ∈ S, t.c. d(C, P) = R ⇔ (x-x_c)² + (y-y_c)² + (z-z_c)² = R²

• x² + y² + z² + 2x+2y+2z+b+4 = 0 con → - 2x -a. d = ¹⁄&sub4;(b² + x² + y² + z² - 4hⁿ)
• e R = ^b / ₄, ←- 2

Circonferenza= C(π, C, p) con C: π ∩ S(C,p) con c: proiez d C su π

P'| ∀p': d(C, π, π) = C ∀(C π) π ∩ S ∅. ∃ d(C π) = 0 -> C ∃ Q' | P'

Piano tang alla sfera in P_n: π_n = PC + (a,b,c) e trovo d con proiezione su p

Pos, tre sfere non s'intersecano -> d(C_j, C_i) p: &exists; p' sfera contenuta d(C_i, C_i) p' - p_i

Tangente ⇔ d(C_i, C_i) P_i + P_j | Tangente int. ⇔ d(C_i, C_i) P_j - p_i scorte - p_j | ρ ( pC_i ,r_i )

Spazio vettoriale uno s.v. su K è un insieme (V, &sup ∏) in cui V ⇔ V, K ⇔ V ⇔ V

• (¹²) → u+v: ∈ V e (k, u) → V somme e prodotto con seguenti proprietà:
• ∀ u + v = v + u. u + (v+u) = (u+v) V u: 0_v : v / V ∃ V e V t.c. V e.t.c. v+(-v) = 0_v ∀ v ∈ ∀ V
• r, s, ∃ r u; r (c d.v) = (c d) . v∀ ( c d) . v cr c s u . d v = c r u c va. O/ . 0 Viva. O, v 0_v

Sottospazi: sia V un k-s.v e sia W ≠ V sottoinsieme e W ≠ ∅ allora W sottosp. V.

• (i) ∀ v, u: ∈ W, u+v ∈ W
• (ii) ∀ c ∈ W allora c v ∈ W
• Se (W sottosp vett) d V ⇔ 0_v ∈ W
• Sia, W₁, W₂ sotto vect. di: V ⇔ W_n W_m è un sottosp vett.
• W₁ U W₂ è un sotto s. Esselo se W₁ W_W, 1 w⁺W₂ è un sottosp vett

Combinazione lineare: siano v₁...v_n ∈ V, v ∈ V si dica combinazione lineare di: v₁...v_n se esistono a₁...a_m ∈ K t.c. V = _ⁱΣ a_j v_i: Il sotto insieme l

costituito dai vettori che sono combinaz lineare di v₁...v_n : { i (u, v...)}

Se esistano v₁...v_n ∈ V t.c. {U, (v_n)... v_n } ⇔ V si dice finitamente generato

Metodo degli scarti: i) se μ⁺∃ ∃ lo scriviamo ii) u,u/u + (combina lin) iii) (i: combinaz.

Cerco sist. di rif. in cui conica sia canonica

Siano Oxy e O'x'y' con O' in Oxy = (u,v)

ROTAZIONE

_{P (cosα -sinα⁾}

_{(sinα cosα)⁾} · TRASLAZIONE + (u,v)

P = P (x,y) in Oxy ↔ P (x',y') in O'x'y'

scrittura completa:

( x ) = ( cosα -sinα u ) * ( x' )

( y ) = ( sinα cosα v ) * ( y' )

( 1 ) = ( 0 0 1 ) * ( 1 )

Se B è matrice completa di C in Oxy e B' in O'x'y'

B' = ( cosα -sinα u )^T · B · ( cosα sinα u )

( sinα cosα v ) ( -sinα cosα v )

( 0 0 1 ) ( 0 0 1 )

Slide 4: Autovalori

Data una matrice A ∈ R^mxm un numero si dice autovalore di A se esiste un vettore non nullo x detto autovettore soluzioni del sistema Ax = λx

• La matrice A - λI è singolare (det = 0 e rk non massima) ⇔ det(A, λ) = 0

una matrice quadrata di dimensione n ha n autovalori

λ₁ ... λ_n autovalori di A; x₁ ... x_n sono autovettori A^K hanno anche λ₁ ... λ_n

• λ₁ ... λ_n sono autoval di A^T e A^-1 e devono essere anche 1/λ₁ ... 1/λ_n

Se X matrice con autovettori come colonne e D diag di autovalori D AX = XD

• d = eig(A) restituisce il vettore d contenente tutti gli autoval di A
• [X, D] = eig(A) restituisce la matrice diag D e la matrice X

Quoziente di Rayleigh r_A(x) = ^xTAx/_x^Tx ove x^* è il vettore trasposto coniugato

(se x ∈ R x^* = x^T)

Una matrice A simmetrica è definita positivamente ⇔ i suoi autovalori sono positivi

Raggio spettrale il modulo dell’autovalore di massimo modulo ρ(A) = max |λ: t.c. A autoval di|

ρ(A) = max(abs(eig(A)))

Norma 2 e norma spettrale di A ∈ R^mxm ||A|| = √ρ(A^TA)

Oss. se A è simm ||A||₂ = ρ(A) ≤ ∑ |A|

Per localizzare gli autovalori nel piano complesso, si definisce l'i-esimo cerchio raggio d (Gerashahin lines)

l'(Cⁱ) = { z ∈ C: |z - a_ii| ≤ ∑_{j=1, i≠j, n, j} |a_ij| }

L'insieme dei numeri complessi le c:_i rispetto treonica differenze elemento della diagonale è nella care di tutti gli altri elementi delle i-es

Siano R_i e i-enne i-es gli spiatili cerchi tronomo. Tutti gli autovalori di A appartengono alle regioni di Clark individuates d’all’intersezione dei R_i e c_i

Due matrici A, B di ordine n sono simili se 3∃S t.c. S^-1AS = B

Se A e B sono simili, hanno gli stessi autovalori.