Riassunto di Geometria e Algebra Lineare

Geometria Analitica e Algebra Lineare

1. Vettori Applicati e Geometria dello Spazio

Equazione parametrica vettoriale della retta r:

r: P = P₀ + tA, t ∈ ℝ

Equazione parametrica della retta:

• x = x₀ + l
• y = y₀ + tm, t ∈ ℝ
• z = z₀ + tn

Direzione della retta:

[d]_r = ^l_mn

Equazioni cartesiane della retta r:

• a₁x + b₁y + c₁z = d₁
• a₂x + b₂y + c₂z = d₂

Equazione parametrica vettoriale del piano π:

π: P = P₀ + tu + sv, t_,s ∈ ℝ

Equazioni parametriche del piano π:

• x = x₀ + tu₁ + sv₁
• y = y₀ + tu₂ + sv₂
• z = z₀ + tu₃ + sv₃

Direzione del piano:

[d]π = u1u2u3

Equazioni cartesiane del piano π:

π: ax + by + cz = d

Normale al piano:

[n]_π = ^a_bc

Retta: da equazioni parametriche a equazioni cartesiane

r:

• x = 2 + t
• y = 4 - 2t
• z = -t

1. Ricavo il parametro t da ogni eq. (Note: se una eq. non compare t, essa è già un'eq. cartesiana) t = x - 2 t = ¹₂(y - 4) = -z

2. Scelgo due equazioni tra le tre di quelle ottenute:

r:

• x + z = 2
• y + 2z = 4

Retta: da equazioni cartesiane ad equazioni parametriche

r:

• x - y + z = 0
• 2x + y + z = 4

1. Sostituisco una variabile con t: z = t →

• x - y = -t
• 2x + y = 4 - t

2. Risolvo il sistema nelle incognite rimaste:

x = ¹₂(4 - t) y = a + t = ¹₂(a + t) + t = ¹₂(4 + t) + t

3. Riscrivo i termini per ottenere l'eq:

r:

• x = ¹₂(4 - t)
• y = ¹₂(4 + t)
• z = t

Piano: da equazione cartesiana a equazione parametrica

π: 2u + 2y - 3z = 2

1. Sostituisco due variabili e trovo l'incognita rimasta. y = t z = 5
2. Risolvo rispetto all'equazione matematica. x = 2 - 2t + 35 π: y = t z = s

Piano: da equazione parametrica ad equazione cartesiana

1. Cerco di ricavare almeno due parametri. s = z t = y - 1
2. Sostituisco nell'eq. rimasta. π: 2u = 4 (y - 1) + (-z) ⇒ π: x - y + z = 1

Retta per due punti A e B:

p = A+ t (B - A)

Piano per tre punti A, B, C:

p = A+ t (B - A) + s (C - A)

Fascio proprio di piani

λ(ax + by + cz + d) + μ(ex + fy + gz + e) = 0

Piano ortogonale a r e passante per P

[d]_r = (_x^y_z) P = (_x ^y _z)

π: l (n(rp) + dx(y - py) + dz(z - pz)) = 0

Distanza tra due punti A e B:

d(A, B) = √((Xa - Xb)² + (Ya - Yb)² + (Za - Zb)²)

Distanza punto-retta

1. Trovo la direzione della retta r: [d]_r= _n^m
2. Trovo il piano passante per il punto P e perpendicolare alla retta: π: l (n - np) + u(y - yp) + l(z - zp) = 0
3. Sostituisco n, y, z dell'eq. precedente con n_i, e determino t_r
4. Trovo t, l'intersezione di r con π: il+ t>n(w·t_h + w·t_h) =t_h+t_h
5. Determino la distanza punto-retta: d(P, r) = ||π| = √((n - n_x)² + (y - y_h)² + (z - z_h)²)

Nota: se il punto P coincide con l'origine 0, devo intersecare π con r e trovare l'equivalente il punto H. Poi colcolo la distanza da P a H.

Distanza punto-piano

d(P, π) = |an_x + b

s

3. Matrici

Prodotto tra matrici:

• In generale AB ≠ BA
• Il prodotto AB può essere eseguito solamente se il numero di colonne di A è pari a quello delle righe di B.
• A ∈ M_R(r×n) B ∈ M_R(n×k)
• Esempio di prodotto tra matrici: (a b) (x) = (ax+by) (c e f) (y) = (cx+ey+fz)
• det (AB) = det A . det B

Matrice Identità

• I_n = (e₁ e₂ ... e_n) =
• In A = A

Invertibilità

• Sia A ∈ M_R(n). A è invertibile se esiste una matrice B ∈ M_R(n) tale che: AB = BA = I_n
• B è detta matrice inversa di A.
• Se una matrice ammette un'inversa, tale inversa è unica e viene denotata con A^-1.
• A invertibile ⇔ le colonne di A formano una base di Rⁿ.
• A invertibile ⇔ det A ≠ 0
• A invertibile ⇒ A^-1 invertibile ⇒ (A^-1)^-1 = A
• A invertibile, λ ≠ 0 ⇒ λA invertibile ⇒ (λA)^-1 = 1/λ A^-1
• A, B invertibile ⇔ AB invertibile ⇒ (AB)^-1 = B^-1A^-1
• A invertibile, AB = O_n×n ⇒ B = O_n×n

Come calcolare la matrice inversa

• (1) Verifico che A sia invertibile
• (2) Risolvo la combinazione lineare delle colonne di A rispetto ad ogni colonna della base canonica.

Esempio: A = (1 4) det A ≠ 0 inv.

• (4) = λ₁ (1) + μ₁ (4)
• (1) = λ₂ (1) + μ₂ (4)

⇒ A^-1 = (λ₁ λ₂)

Metodo di riduzione di Gauss

Sistemi triangolari non singolari

Si utilizza l'algoritmo di sostituzione all'indietro:

(1 2 3)  (0 2 2)  (0 0 4)  (x) = (3)   (y) = (0)   (z) = (-4)

Partendo dall'ultima equazione: 4z = -4 ⟹ z = -1

Passando all'equazione sovrastante: 2y + 2z = 0 ⟹ 2y + 2(-1) = 0 ⟹ y = 1

Continuando con l'equazione sopra: x - 2y + 3z = 3 ⟹ x = 2(1) + 3(-1) = 3 ⟹ x = 8

Si ottiene quindi tramite una soluzione: (x) = ( 8 ) (y) = ( 1 ) (z) = (-1)

Per ottenere un sistema triangolare da un sistema non triangolare, bisogna costruire A' e "giocare" con le sue righe.

Sistemi a scala (caso generale)

• Una matrice m×n è detta a scala e soddisfa le seguenti condizioni:
  • se una riga è nulla, tutte le righe successive sono nulle;
  • in ogni riga non nulla, il primo elemento non nullo pᵢ si trova in corrispondenza di una colonna successiva rispetto a quello del primo elemento non nullo pᵢ₋₁ della riga precedente. pᵢ è detto pivot.

Il rango di una matrice a scala coincide con il suo numero di pivot.

Dato un sistema a scala A x=B è R³ ha che rg(A) = numero di pivot di A, mentre il rango di Ā = rg(ĀC’) = rg(A) se e solo se i termini noti b₁,...,bn sono tutti noti. Annulli potremmo che il sistema sia non solvibile basta controllare che gli ultimi m-r termini noti siano nulli.

Per risolvere un sistema a scala, pongo i parametri che non corrispondono pivot come parametri liberi.

Esempio:

I valori evidenziati sono pivot, devo quindi considerare le altre colonne (quelle che non corrispondono pivot) per trovare i parametri liberi:

{ m = α   ol = β   mc + 1 = γ