Riassunto di Geometria e Algebra Lineare

Geometria Analitica e Algebra Lineare

1. Vettori Applicati e Geometria dello Spazio

Equazione parametrica vettoriale della retta r:

r: P = P₀ + t V, t ∈ ℝ

Equazione parametrica della retta:

Direzione della retta:

Equazioni cartesiane della retta r:

Equazione parametrica vettoriale del piano π:

P = P₀ + tu₁ + sv₁, t, s ∈ ℝ

Equazione parametriche del piano π:

Direzione del piano:

Retta: da equazioni parametriche a equazioni cartesiane

1. Ricavo il parametro t da ogni eq.(Note: se una eq. non compare t, essa è già un'eq. cartesiana)t = x - 2 = 1/2 (y - 1) = -z
2. Scelgo due equazioni tra le tre di quelle ottenute:r: { x + z = 2 y + 2z = 1

Retta: da equazioni cartesiane ad equazioni parametriche

1. Sostituisco una variabile con t:z = t ⇒ { x - y = t 2x = 1 - t
2. Risolvere il sistema nelle incognite rimaste:x = 1/2 (1 - t)y = x - t = 1/2 (1 - t) + t = 1/2 (1 + t)
3. Riscrivo i risultati per ottenere il 3° eq:x = 1/2 (1 - t)y = 1/2 (1 + t)z = t

Equazioni cartesiane del piano π:

π: ax + by + cz = d

Normale al piano:

Geometria Analitica e Algebra Lineare

1. Vettori Applicati e Geometria nello Spazio

Equazione paramétrica vettoriale della retta r:

r: P = P₀ + tv , t∈ℝ

Equazione paramétrica della retta:

• x = x₀ + l
• y = y₀ + tu
• z = z₀ + tu
• t∈ℝ

Direzione della retta:

[d]_r = ^l/_m/_n

Equazioni cartesiane della retta r:

• a₁x + b₁y + c₁z = d₁
• a₂x + b₂y + c₂z = d₂

(Le due equazioni rappresentano due piani)

Equazione paramétrica vettoriale del piano π:

P = P₀ + tu + sv , t,s∈ℝ

Equazione paramétrica del piano π:

• x = x₀ + tu₁ + s₁n₂
• y = y₀ + tu₂ + s₂n₂
• z = z₀ + tu₃ + s₃n₂

Direzione del piano:

[d]_π = ^u₁/_u2/_u3

Equazioni cartesiane del piano π:

π: ax + by + cz = d

Normale al piano:

[n]_π = ^a/_b/_c

Piano: da equazioni cartesiane a equazioni parametriche

Π: 4x + 2y - 3z = 2

1. Sostituisco due variabili e trovo l'incognita rimasta.
   • y = t
   • z = s
   ⇒ x = -2t + 3s
2. Riscrivo il sistema di equazioni parametriche.
   • x = -2t + 3s
   • y = t
   • z = s

Piano: da equazione parametrica ad equazione cartesiana

• x = 2t + s
• y = -1t
• z = -s

1. Cerco di ricavare almeno due parametri:
   • s = -z
   • t = y - 1
2. Sostituisco nell'eq. rimasta:
   • x = 2 (y - 1) + (-z)
   ⇒ Π: x - y + z = 1

Retta per due punti A e B:

p = A + t (_OB - _OA)

Piano per tre punti A, B, C:

p = A + t (_OB - _OA) + s (_OC - _OA)

Fascio proprio di piani

λ(ax + by + cz + d) + μ(ex + fy + gz + l) = 0

Piano ortogonale a r e passante per P

[d_x, d_y, d_z] r: [m, m, m] Π:

d_x(x -