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LINEARE

ALGEBRA

SPAZI VETTORIALI ao.ms

M

DEF

IR h EIR

une 7

ordinate Xi n

con

le le numeri

ordinate reali

di sono vettori

Essi DI

n up

SPAZIO DIMENSIONI

UNO ASTRATTO n

A

IR DEFINISCO

in PER scavare

prodotto loro

o

SOMMA Xu

Xi

e Yu

Y

e te tifi Yu

int

I E tu

It

PROPRIETA commutativa

atlete fate tw associativa

It E L Neutro

ELEMENTO

tv t.c.lt C

Xu e

1 opposto

Prodotto PER scavare

uno IR Hu

IR

X Xv XX

IN

Xu

e DEFINIAMO

e NEUTRALITÀ

I 1

1 PER

DI prod

PROPRIETA Al swear

RISPETTO

Its

tl se e associativa

pseudo

tu

Ets I tsl pseudo Distributiva

1

I

0

SPAZIO

DEFINIZIONE VETTORIALE Funzioni

Di

Quantità coppie

Di msn.nl

di

Di

1 IR

UN INSIEME uno SPAZIO

e su

VETTORIALE UN

se una t

DEFINITE

sono SU somma

IR

X

Prodotto e

PER uno scavare CHE PROPRIETA

soddisfano le

I XE

vettoriali su

Osservi sp

ESEMPI IR

Ve f fuit e'ancora

fi

6 comma

tg

Ve c a DEFINITA

e OPERAZIONE somma

D L

Afc

Xf continua

Ancora

x e

L'operazione

D E per

DEFINITA scavare

prodotto

V

D

VALGONO VETTORIALE

e SPAZIO

Ve c d 2

come

a

PR polinomi A REALI

COEFFICIENTI

Pc IR

an E

Qi

t X

aotqxtar.it

Qui bot ba h

t in

con

X

aotbotfaitbdxtlantbnlxhta.int

PIX Qu

t sono

essendo Funzioni stesse

valide

i polinomi le

DI spazio

PROPRIETA D VETTORIALE

DEFINIZIONE VETTORIALE

SOTTOSPAZIO

V VI UN

SIA E DI

SP VETTORIALE SOTTOINSIEME

uno

sottospazio

E se

un DI

VETTORIALE SPAZIO

UNO

e

1 VETTORIALE

OPERAZIONI V

CON stesse

le DI 19

26.11

SOTTOSPAZIO proprieta amato

www.wane

UN

IN V VL

SE in valide

saranno RAGIONE IN

MAGNOR

macinano A CHIUSURA

1

Sse

IN compatto

MODO tv Un

la

te E

lite

e

fa IR

pe ti IR te

Klee un

e E

VI v un

pa

alt

e e IR

sottospazi vettoriali IN

ESEMPI di

ORIGINE IR

t

te SE

Vi

RETE Oriana p

PER se

X

PIANI PER

PER ORIGINE Con

CASA Din

sottostanti

Di

esempi VETTORIALI

II

Va c

V I foot

Pulir

PIR Vi IR

ai

aux c più K

polinomi GRADO Al

DI

IR Un

Si cerca

CERCA si FINITO

come DI

con n vettori

servono

RIFER CHE

CHE Sist MI

Di

CN tutti

Armi e

DESCRIVONO BASI

i CANONICHE

www.msn

DEI canonica

Base

V V

lei

sp Dico BASE

CHE

VETTORIALE PER

e

i

V

E

KI

se Vi

e

vettori

Linearenei tanks

aiuti

corpo

e sono

i Lineman

vettori IMAP

vi ti B

se

PROPRIETA Bane

ha

BASI Di vettori

una

Delle n

BI

E Di

BASE vettori

una nn

D him

DEF SP

D DIMENSIONE DEVO retoriniate

dim V di una

DI

h Base

Elementi

dirti in lineari

n

se vettori

in INDIPENDENTI

dimV.ir Un un

vi

D Di vettori

se forma per

Base

lineari una

Indipendenti

IR

per

canonica

BASE IR C'E Eh

lei

Base

IN una canonica tornata DA

0

le 0

1 LA Accendono

UNA CHE

h DI VETTORI

0,1 Una PER Volta

COMPONENTE

1

In 0,0 q I Xu

Posso

1 scriverlo conti LINEARE Xi

come

D X E Xa

t t then

t

Io

N.B unica

la LINEARE

scrittura E

come COMBINAZIONE

0

lo B1 si

vettori

Osservi DATA un e

BASE scrivono in

o Vi

UNA B

Card

UN UNICO lineare ELEMENTI di

come DI

MODO

la scrittura è mica

Dire die

I

PER tante

assurdo 1 t pure

pint

Hn

l Pil

di Pn

I t

li E

l t Di

X 0

Vi D

Indi

sono lineman p Ki

p

di

Rhea

an UD

FISSATA I

BASE posso vettori

UNA SCRIVERE E COMPONENTI

in

I dite an

Xi

tank

t 42

specificato 12

NON

se in usiamo canonica

la BASE

IR nei

IN 21

I

PER E LE

t

casa SCRIVERE

f

DATO

a f

1 Rispetto

coordinate a

Di I

4,4

il limitare

SUGGERIMENTO 4

DOBBIAMO Shriven DI

COMB Vii

cane

DEF Gemmato

sono sp 5

5 SPAZIO

DATI Un vettori

vettoriale Di

E va

vz

5 IR

L i

E

t il

E in

Un t

li UK

vie I UK

vi

LINEARI DEI

DI vettori

INSIEME

l COMBINA

tutte le Z 5 CHE

Formano

vi sono BASE

se lineman IMAP PER

una

D

dims K

perciò dims K

in criminale e

HA

Osserva vettoriale

2 sottospazio

dimensione

v t.c.dimv.tn vi

sia E

se Ì sono Vi

sp vettoriale E

V

dim

dim

Vi tutto lo

mi

e se fossero genererebbero

uguali

V

vi

spazio aotaixtazxtar.is IR

Pg IR e

ai E

LI

osservi x2

B 1

sono lineari INDIPENDENTI

dim 4

IRI PIM

P dim

dim fu

IR 00

ntn

ii 1 POTERLI

PER

X

avere DEL

00

Dovrei Polinomi tipo

1 f f

ALTRI

GENERARE I C I

ESEMPI C E

tutti f DUE E

IL Tina

Di INSIEMI

GENERALE una

CONCETTO

Leone UN una

CHE DATO

AD INCRESSO

ASSOCIA UNIVOCAMENTE GLI

CHE INSIEMI

CERTA IMMAGINIAMO SIANO SPAZI

ORA

USCITA Tt

f TV

tt TN dominio

Di

VETTORIALI codominio

la

E e It

tt

CHE Associa vetture

Ad uno

OWN solo vettore

e

DI uno Di

LINEARITÀ

Una proprieta la

e

importante f

DEFINIZIONE Applicazione

una

LINEARITA di f

tu

f

Dan 2 LINEARE

E DICE

APPLICAZIONE

SPAZI SI

oppure

VETTORIALI una

µ f

f f

V W lineare ADDITIVITA

se t

Xt Y

Y

e f Xfl

Xx OMOGENEITÀ

fluffy fifty

afidi

Sse

IL CALCOLO FUNZIONI

le

MATRICIALE Descrivere

PERMETTE DI

LINEARI TRA SPAZI VETTORIALI FINITA

DI DIMENSIONE

f IR IR

ESEMPI lineare

non e

Xl

X

f f Kx

solo Del tipo

lineari sono

f IR

R fixing

IX y 11,01

Milf t

lineare gioii

E lxiyi.xflhdtyf.io

f Ke Kay ORIGINE

per

piano

t

x

IR

L c Caio

f faida

a

È CHE ASSOCIA

UN LINEARE

OPERATORE A

c'Hay

credi

f e c'lead Cad

L c

f f LINEARE

OPERATORE

UN

E IR

IR

NOI Applicazioni

le tipo

del i

studieremo lineari

E LINEARI

MATRICI TRASFORMAZIONI

tabelle colonne

MATRICI con e n

m insieme

righe su un

IR

Numerico es IR

IN

studieremo MATRICI

solo i

A faint

es con i A

1

J n

A 2,3 3

la matrice e 2 per

Essere

possono

MATRICI UNO SPAZIO

CONSIDERATE

le COME

V M L'OPERAZIONE DI

n D posso

VETTORIALE m min DEFINIRE

prodotto

Di

E PER

SOMMA scavare

UNO i

2A

Ad esempio L

B

at D C'è

con III

0

Elemento Turn

NEUTRO matrice nulli

Elementi

con

la

e A

l'opposto e na matrice Aig M min

valgono PER

VERIFICA LE

SI CHE

FACILMENTE

Mln e uno vettoriale

spazio con

m

PROPRIETA i

V Minim

Din DIM m h

c 0

1 O

0

L'ELEMENTO È

LA m

in

CANONICA COSTITUITA MATRICI

BASE DALLE

tutti 1

CON APPARTE

elementi nulli UNO M

DEFINIZIONE 1

DI Riva

SPAZIO vettore n

M hit

SPAZIO DI vettore

DEFINIZIONE colonna

A vista

MATRICE Può

GENERICA come

essere

una con

Vettori Riva in

Qin l 1,2

Aia

Li aie

Aid

È

colonna

vettori con 1,2 in

J

Può

D ESSERE

UNA MATRICE EVIDENZIANDO

SCRITTA I VETTORI

at

colonna

I

RIGA VETTORI

di 0 e

a lattai la

am si

PER

ANCHE MATRICI puo DEFINIRE prodotto

talune UN

PRODOTTO RIGHEPERCOLONNI

IR

prodotto IN

DEFINIZIONE i

scavare

I Xu

DATI Xi t

Io le X y

txnynw.ly

fn

DEFINIZIONE PER

prodotto COLONNE

RIGHE TRA MATRICI

B bus

A

DATE DUE MATRICI Aik TIPO

e DI E

m

AB A B

o

Rispettivamente la

INDICHEREMO con

n IL Cit e

Elemento

DI

MATRICE il

cui

tipo m p colonna

i

scavare Densa ESIMA

E

Derna

Prodotto RIGA

Esimia T

le DIMENSIONALI

h

SONO

Quali VETTORI

ENTRAMBI È

lot Aiko dove i

IN Cip di

SIMBOLI M

1,2

Kj 1,2 p

J

A I 2 O

es s a

o l

By 0

O I L

N.B.tt Il E

Prodotto nel

commutativa

TRA MATRICI NON

BA e FARLO DI

possibile CASO

non

caso NEL

nemmeno nemmeno

MATRICI QUADRATE 19

27 II

Da DI

Dz Dz

Osservazioni CON MATRICI DIAGONALI

DEFINIZIONE Diaconale

MATRICE 01 O

O 0

matrice matrice

una anomale E una dm

0

O

IDENTITÀ

MATRICE

DEFINIZIONE O

0

I o

M

IN la matrice

n del

d'anomale tipo In

0

0 O

1

O

0

0

Im A In

A A

ta

IDENTITÀ

E DETTA E

MATRICE vale n n In fig

Può

CIÒ smina

CHE Essere

SIGNIFICA LA MATRICE come

Sig i

se

con 1 simboli DI KRONECKER

sono dati

Sig f

i

o se

In l'Elemento Prodotto PER

Neutro RIGHE colonne

E del

PROPRIETÀ prodotto RIGHE PER

DEL COLONNE

al AB

Bl c

Associativa A AC

ABT

Btc

DISTRIBUTIVA

È DEFINITO

DOVE

A

se DEFINIRE

Quadrata

una MATRICE HA SENSO

e AI a A

a VOLTE

n

a f

te A

A

PER trova

casa E

MATRICIE LINEARI

APPLICAZIONI

1 ÙÈ L

a

sia min una matrice min Rj

I

I

1

Posso UN PER DEFINIZIONE

E

applicazione

associare CHE

LINEARE A

Prodotto

Uguale PER TRA

COLONNE e

RIGHE

Al E

L'APPLICAZIONE prodotto MATRICE

TRA

E vettore

LA

il UN

A

y 1

DEL

MATRICE TIPO m

sara una

If È

LA

LE

PER LINEARE

PROPRIETA INFATTI

la A

A

a

lett

I La hai

Afte

la

e prodotto RIGHE PER COLONNE

Moltiplicare PER

MATRICE UN DA

una MI UN

VETTORE

APPLICAZIONE

LINEARE

VALE Applicazione

VICEVERSA Qualsiasi

IL si

lineare

Può MATRICE

una

INTERPRETARE come IR

IR II

APP I e

nazione vale

LINEARE

DATA IR

D MATRICE

e una IN

ciò LE

FISSATE BASI

CHE

SIGNIFICA

IR A

J t.ci a

l

min

e

ESEMPIO Rotazioni PIANO

NEL

i O

LA

VEDERE ANGOLO

ROTAZIONE DI UN

POSSIAMO COME

IN

IR

Lg

APPLICAZIONE lineare

UN Aoi

e

µ p 7

O I

SCRIVO IN FORMA

IL VETTORE TRIGONOMETRICA

SARÀ

L LINEARE

APPLICAZIONE

DELL

IMMAGINE a

In

lo Ruotare Angolo

I scannare un

e MATRICE

LA

TROVO RAPPRESENTATIVA i Il

ti I 1

ROTAZIONE

DI

MATRICE

pcaf.ae

ftp gl Ao

Lo Lo

LO

Lilith Aq

PER 1

CASA Data A L

A

2 Associata

DETERMINA dell'asse

la

associa x

proiezione

A L

3 A

ASSOCIATA

DETERMINA

svanimento ai la

svolamento si 0 f

la

TEOREMADIRAMMATRICIALE DELLE

app Ht

LINEARI

ENUNCIATO IR IR

l

Hp Un Vm

più

sia e

IN

oppure GENERALE

IR

B In

li PER

BASE

DATE µ

In

132 PER

Ii BARE

J A

Th B B2

CHE

min DIPENDE

MATRICE DA e A

LI

L

Dalle BASI SVELTE

OVVERO TALE

CHE RAPPRESENTA CHE

OVVERO

DIMOSTRAZIONE i POICHÉ

APPLICO Alla BASE DI PARTENZA

L LINEARE

APPLICAZIONE

unto s

lui le IR

DI

scritti come strino

essere LINEARE µ

COMB BASE DI

LINEARE Della ARRIVO

COME COMBINAZIONE m

Lei IR t

E 011 ama

tori

essendo Lm colonna

t

I

Y 1

1km Lily I

t

altri t

torti Anjum

E comma

Lj IR Len

an tannen

e talent

aerei colonna

n

IR

CON Aig E

OPPORTUNI COEFFICIENTI A

Le

f

A

LA MATRICE

tesi c

DIMOSTRARE CHE

DOBBIAMO A i 1,2 in

dip dis

ELEMENTI

MATRICE

E DI con

la o n

J 112

XI Xin

SIA t t

li

I Lu

come

IL

POSSO VETTORE

SCRIVERE

Xin X

Alla

APPLICO È

lli

Lei Lan

t tantum

Xj

t Jet

a

in Tel

Ì POICHE

Xj aitri tratta

si FINITE

somme

di

j È

È Iaiixi

f

Était Hei FÈ ai le.is

e I

Osservazione lineare Base a arrivo

pena

e

Ig mago

yoga tymvm.FI fili

I'Irt Great

fin Bz

I I Densa Base

scrittura PER

POICHE come LINEARE

COMB

ALLORA a

RIGHE MATRICE

DEUM

µ

ti Iaia ain

di

ai ai

XJ con

gi a

A as.in

I azz

Ass

con CVD

Ann

ama

01ms

Qi Lati l

UNICITÀ sola

è una

immagine

1 Date partenza

di

DENA

vettori

dei

inni

colonne sono

1

ES IR IR

l

data Ita L

A BASI

DETERMINA ASSOCIATA se

A specificato

non

sono

E ARRIVO BASI

LE

DI

PARTENZA

DI CANONICHE

I

SCRIVO Delle

COEFFICIENTI componenti

in È È

L IR

2

Es e

HA Base 1,13

IN Iii è

Ita BASE

è

2

E e à

Zeit

le

CASA

PER A

la

DETERMINARE MATRICE ASSOCIATA

L IR IR Xl

a Ì a

piane

coefficienti le µ

danno

n

_g

I 1 O 0

I

DETERMINARE

L fi

IR IR

ie.es

I

E Es

tele a I

Les A

0413 sono le

coefficienti di

colonne

p

la

osservazione LINEARI

COMPOSIZIONE DI APPLICAZIONI

LA LB LA 1

I

con

LINEARI

APPLICAZIONI

DATI E

LAI AI E

Quindi CHE LA

LA

FARE compo

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Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher lorenzo_dibiagio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Marchini Elsa Maria.
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