Algebra Lineare

Analisi Matematica 2

Sistemi Lineari

es.

• 2x + 3y = 7
• x - y = 2

• x = 2 + y
• 4 + 2y + 3y = 7

• 5y = 3
• x = 2 + y

• y = 3/5
• x = -13/5

Risolto con il metodo di sostituzione

Appare:

• 2x + 3y = 7 ovvero moltiplico
• 2x - 2y = 4 la seconda per 2

e sottraggo: 5y = 3 ...

Un sistema di equazioni uguali: porta infinite soluzioni

es.

• 2x + 3y = 7
• x + 3/2 y = 7/2 risolto una retta

Ma possono anche non esserci soluzioni.

es.

• 2x + 3y = 7
• x + 3/2 y = 1

Se ho tre equazioni e quattro incognite il sistema presenta un grado di libertà. Se il numero di equazioni è maggiore al numero di incognite abbiamo troppi vincoli.

Considerando un piano ax + by + cz = d in R³ ho come vettore normale al piano n = (a, b, c).

Esercizio 1

Considero il piano x + 2y + 3z = 6 e parametrizzo in: x = 6 - 2y - 3z. Da qui ricavo il vettore:

( x y z ) = ( 6 0 0 ) + t₁ ( -2 1 0 ) + t₂ ( -3 0 1 ) con t₁ e t₂ ∈ ℝ

Esercizio 2

Studio due piani:

• x + 2y + 3z = 6
• 2x - y + z = 2

Risolvero eliminando una delle due variabili, moltiplicando per 2 la prima e sottraendo.

• 2x + 4y + 6z = 12
• 2x - y + z = 2

⇒ -5y - 5z = -10

y + z = 2 y = 2 - z

Sostituisco nel sistema:

2x + 4(2 - z) + 6z = 12

x = 2 - z

Condero z come parametro libero: y = 2 - z e x = 2 - z

Quindi:

( x y z ) = ( 2 2 0 ) + t ( -1 1 1 ) con t ∈ ℝ

I due piani si intersecano nella retta scritta qui sopra in forma parametrica.

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

|v • w| ≤ |v| |w|

infatti, |v • w| = |v| |w| • cos θ| in ℝ³

Attenzione a non confondere modulo di un vettore | |v| | con il valore assoluto di uno scalare

Considero v, w ∈ ℝⁿ e λ ∈ ℝ (0, c)

per def. -v = ( -x₁ x₂ -xₘ ) e v - w = v + (-w)

Definisce il vettore zero: o ::= ( 0 0 0 ) ⇒ v - v = o

Definizione: Si dice che un vettore v ∈ ℝⁿ è combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, ..., vₖ ∈ ℝ se ∃ λ₁, λ₂, ..., λₖ ∈ ℝ tale che v = λ₁v₁ + λₖvₖ

Definizione: I vettori e₁ := ( 1 0 0 0 ), e₂ := ( 0 1 0 0 ), ..., eₘ := ( 0 0 0 1 ) vengano detti vettori della base canonica in ℝⁿ

Se considero v = ( x₁ x₂ xₘ ) = x₁ ( 1 0 0 0 ) + x₂ ( 0 1 0 0 ) + ... + xₘ ( 0 0 0 1 )

= x₁ e₁ + x₂ e₂ + ... + xₘ eₘ

Operazioni elementari sulle righe:

• Sostituire a una riga la sua somma con un multiplo di un'altra riga.
• Scambiare due righe

Proposizione:

Sia (A | b) la matrice completa del sistema Ax = b. Sia (A' | b') una matrice ottenuta da (A | b) tramite operazioni elementari sulle righe. Allora x è soluzione di Ax = b <=> x è soluzione di A'x = b'.

Definizione:

Una matrice si dice a SCALA se, qualora due righe consecutive U_i, U_i+1 siano non nulle, è nella forma:

• | o o o P_i | | o o o o o P_i+1 | | o o o o o o |

Dove, se U_i = (0 0 ... 0) allora anche U_i+1 = (0 0 ... 0).

Teorema:

Data una qualsiasi matrice, è possibile ridurla a una matrice a scala tramite operazioni elementari sulle righe.

Definizione:

Il RANGO di una matrice a scala U è il numero di righe non nulle di U. Se A è una matrice qualunque, il RANGO di A è definito come il rango di una matrice U a scala ottenuta da A tramite il metodo di Gauss. (MEG) Simbolo di rango: r(A).

Esempio:

A ∈ M(2,4), B ∈ M(4,1)

AB ∈ M(2,1)

BA non è definita perché conta l’ordine

A = ^{1 2}_{3 4} B = ⁵₃

AB = ^{9 5}_{23 13}

BA = ^{14 22}_{5 8}

Proprietà del Prodotto:

1. A ∈ M(m, n), B ∈ M(n, p), C ∈ M(p, q) => (AB)C = A(BC): proprietà associativa.
2. A₁, A₂ ∈ M(m, n), B ∈ M(n, p) => (A₁ + A₂)B = A₁B + A₂B: proprietà distributiva sinistra.
3. A ∈ M(m, n), B₁, B₂ ∈ M(n, p) => A(B₁ + B₂) = AB₁ + AB₂: proprietà distributiva destra.
4. A ∈ M(m, n), B ∈ M(n, p), λ ∈ ℝ => λ(AB) = (λA)B = A(λB): proprietà associativa.

Matrice Nulla:

matrice di tutti zero:

^{0 ... 0} _{0 ... 0}

A + Θ = Θ + A = A

A - A = Θ

L'algoritmo di Gauss-Jordan porta (A|b) in (U|b') con U triangolare superiore, poi in (I, x) dove x è la soluzione dell sistema.

Tornando al problema dell'inversa:

AB = I ↔ A(v₁, ..., vₙ) = I ↔ A(v₁, ..., vₙ) = (e₁, ..., eₙ)

↔ Av₁ = e₁, Av₂ = e₂, ..., Avₙ = eₙ

Trovare B, qualora A abbia rango massimo e dunque sia invertibile, equivale a risolvere gli n-sistemi Av = e, ciascuno dei quali ha ovviamente 1 soluzione. Si avrà poi B = (v₁, ..., vₙ).

Porre attraverso: (A|e₁)(A|e₂)...(A|eₙ). Scrivo più concisamente: (A|e₁, e₂, ..., eₙ) = (A|I). Con la procedura di Gauss-Jordan per i sistemi mi riconduco a (I|v₁, ..., vₙ).

Si avrà per costruzione che B = (v₁, ..., vₙ) è inversa di A.

Esempio:

A=

141 265 125

(A|I) =

14100 26501 125001 →

14100 023-21 024-10 →

14100 023-21 001-1-1

Def:

Sia V uno spazio vettoriale. Siano dati vettori v₁, ..., vₙ ∈ V. Dico che tali vettori sono linearmente indipendenti se il fatto che la combinazione lineare λ₁v₁ + ... + λₙvₙ = 0 (λ₁,...,λₙ ∈ IR) implica λ₁ = λ₂ = ... = λₙ = 0.

V = IR²

v₁, v₂ ∈ IR²

v₁, v₂ sono tra loro linearmente dipendenti se ∃ λ₁, λ₂ ∈ IR t.c. λ₁v₁ + λ₂v₂ = 0 con λ₁, λ₂ non entrambi nulli.

Supponiamo ad esempio λ₂ ≠ 0. Allora v₂ = -λ₁/λ₂ v₁

Def:

Sia V uno spazio vettoriale. Supponiamo ∃ v₁, ..., vₘ t.c.

1. I vettori v₁, ..., vₘ sono tra loro linearmente indipendenti.
2. ∀ v ∈ V ∃ e può scrivere come combinazione lineare di v₁, ..., vₘ, cioè ∀ v ∈ V ∃ c₁, ..., cₘ ∈ IR t.c. v = c₁v₁ + ... + cₘvₘ. Si dice allora che v₁, ..., vₘ costituiscono una base di V e che la dimensione di V vale m.

V = IR² ı̂, ĵ sono indipendenti (non sono collineari) e dato v ∈ IR², vale v = xı̂ + yĵ

I numeri c₁, ..., cₘ vengono detti coordinate di v relative alla base v₁, ..., vₘ.