Algebra Lineare

Analisi Matematica 2

Sistemi Lineari

es.

2x + 3y = 7x - y = 2

x = 2 + y4 + 2y + 3y = 7

5y = 3x = 2 + y

y = 3/5x = -13/5

Risolto con il metodo di sostituzione

Appare:2x + 3y = 72x - 2y = 4

ovvero moltiplicola seconda per 2e sottraggo 5y = 3 ...

Un sistema di equazioni uguali: porta infinite soluzioni

es.

2x + 3y = 7x + 3/2 y = 7/2

risolto con retta

y = 7/2 - 2/3 x

Ma possono anche non esserci soluzioni.

es.

2x + 3y = 7x + 3/2 y = 1

Se ho tre equazioni e quattro incognite il sistema presenta un grado di libertà. Se il numero di equazioni è maggiore al numero di incognite abbiamo troppi vincoli.

Considerando un piano ax + by + cz = d in R^3 ho come vettore normale al piano N = (a, b, c).

Analisi Matematica 2

Sistemi Lineari

es.

Risolto con il metodo di sostituzione

Appare:

ovvero moltiplicola seconda per 2e sottraggo 5y = 3 ...

Un sistema di equazioni uguali: porta infinite soluzioni

es.

risolto con retta

y = ₇/₃ - ₂/₃x

Ma possono anche non esserci soluzioni.

es.

Se ho tre equazioni e quattro incognite il sistema presenta un grado di libertà. Se il numero di equazioni è maggiore al numero di incognite abbiamo troppi vincoli.

Considerando un piano ax + by + cz = d in ℝ³ ho come vettore normale al piano n = (a, b, c).

es.

Considero il piano x + 2y + 3z = 6 e parametrizzo in x = 6 - 2y - 3z. Da qui ricavo il vettore:

(x) (6 - 2t₁ - 3t₂) (6) (-2) (-3)

(y) =_t1 = (0) + t₁ (1) + t₂ (0) con t₁ e t₂ ∈ ℝ

(z) _t2 = (0) (0) (1)

es.

Studio due piani:

{ x + 2y + 3z = 6

2x - y + z = 2

Risolvo eliminando una delle due variabili: moltiplicando per 2 la prima e sottraendo.

{ 2x + 4y + 6z = 12

2x - y + z = 2

⇒ -5y - 5z = -10

y + z = +2

y = 2 - z

Sostituisco nel sistema:

2x + 4(2 - z) + 6z = 12

x = 2 - z

Quindi:

{ x = 2 - t

y = 2 - t

z = t

⇒ (x) (2) (-1)

= (y) = 2 + t (1) con t ∈ ℝ

= (z) (0) (1)

I due piani si intersecano nella retta scritta qui sopra in forma parametrica.

Interseco tre piani:

x + 2y + 3z = 62x − y − z = 23x + 8y + 10z = 20

Faccio la seconda meno la prima moltiplicata per 2:

x + 2y + 3z = 6−5y − 5z = −102y + z = 2

Faccio la terza meno tre volte la prima.

x + 2y + 3z = 6−5y − 5z = −10−z = −2

Moltiplico la seconda per 2/5 e faccio la seconda meno la terza:

z = 2y = 2 − zx + 2y + 3z = 6

z = 2 y = 0 x = 0

Abbiamo una sola soluzione, ciò significa che dall'intersezione dei tre piani si ottiene un punto.

es.

{ x+y–4z=1 2x+3y–10z=2 5x–3y–4z=5

{ x+y–4z=1 y–2z=0

{ y–2z=0 –8y+16z=0

due equ. uguali ==> 2 soluzioni

da cui:

{ y=2z x+2z–4z=1

{ y=2z x=1+2z

z è parametro libero ∈ ℝ

quindi:

( x ) ( 1+2t ) ( 1 ) ( 2 ) ( y ) = ( 2t ) = ( 0 ) + t ( 2 ) t ∈ ℝ ( z ) ( t ) ( 0 ) ( 2 )

Due piani si intersecano per formare una retta, mentre il terzo passa per la retta stessa (abbiamo infatti due soluzioni uguali).

Vettore Trasposto:

◊^T = ( x₁ ) = ( x₁, x₂, ..., x_m )^T ( x₂ ) ( ⋮ ) ( x_m )

con x₁, x₂, ..., x_m ∈ ℝ

L'insieme di tali vettori si chiama spazio euclideo n-dimensionale e si indica con Rⁿ.

Considero un vettore :

=

e lo sommo con :

+ =

quindi sommo le componenti per def.

Considero un coefficiente reale :

• =

Valgono le proprietà per i prodotti scalari.

Con due vettori ∈ R³:

• = ||•||•cos (=angolo compreso tra e )

=>

• = ₁₁ + ₂₂ + ₃₃

Prodotto Scalare tra e :

• := ₁₁ + ... + _nm

Prodotto Scalare di :

• = ₁