Algebra Lineare IX-XII

GEOMETRIA IX (06/10/2021)

IL CONCETTO DI CAMPO VETTORIALE

Sia K un CAMPO, definiamo l'operazione:

+: (a₁, ..., a_m) + (b₁, ..., b_m) = (a₁+b₁, ..., a_m+b_m)

(K, +) è un gruppo abeliano

·: K x K ⁿ → K ^m

λ(a₁, ..., a_m) = (λa₁, ..., λa_m)

Una simile struttura possiede le seguenti proprietà:

1. 1_K(a₁, ..., a_m) = (a₁, ..., a_m)
2. (λ+μ)(a₁, ..., a_m) = λ(a₁, ..., a_m) + μ(a₁, ..., a_m)
3. λ((a₁, ..., a_m) + (b₁, ..., b_m)) = λ(a₁, ..., a_m) + λ(a₁, ..., a_m)
4. (λμ)(a₁, ..., a_m) = λ(μ(a₁, ..., a_m))

Questo è un esempio canonico di SPAZIO VETTORIALE su un CAMPO K

Quindi ad esempio sia K un CAMPO e V un insieme non vuoto

• K x V → V
• (λ,a) → λa

I) (K, +) deve essere un gruppo abeliano

1. 1_K·a = a
2. (λ+μ)a= λa + μa     ∀ μ ∈ K   ∀ a ∈ V
3. (λ+μ)(a) = λ·a + b   ∀ c ∈ K   ∀ b ∈ V
4. λ(μa) = χ(μa)

Chiamiamo:

• Gli elementi di V → VETTORI
• Gli elementi di K → SCALARI
• · → MOLTIPLICAZIONE PER GLI SCALARI
• 0_v → VETTORE NULLO

GEOMETRIA IX (06/10/2021)

IL CONCETTO DI CAMPO VETTORIALE

SIA K UN CAMPO, DEFINIAMO L'OPERAZIONE +

+: (a₁, ..., a_m) + (b₁, ..., b_m) → (a₁+b₁, ..., a_m+b_m)

(K, +) È UN GRUPPO ABELIANO

・: K x Kⁿ → K^m

λ(a₁, ..., a_m) = (λa₁, ..., λa_m)

UNA SIMILE STRUTTURA POSSIEDE LE SEGUENTI PROPRIETÀ

1. 1_K(a₁, ..., a_m) = (a₁, ..., a_m)
2. (λ + μ)(a₁, ..., a_m) = λ(a₁, ..., a_m) + μ(a₁, ..., a_m)
3. λ((a₁, ..., a_m) + (b₁, ..., b_m)) = λ(a₁, ..., a_m) + λ(b₁, ..., b_m)
4. (λμ)(a₁, ..., a_m) = λμ(a₁, ..., a_m)

QUESTO È UN ESEMPIO CANONICO DI SPAZIO VETTORIALE SU UN CAMPO K

QUINDI AD ESEMPIO SIA K UN CAMPO E V UN INSIEME NON VUOTO

K x V → V (λ, a) → λa

1. (K, +) DEVE ESSERE UN GRUPPO ABELIANO
2. 1_K・a = a
3. (λ + μ)a = λa + μa ∀λ∈K ∀a∈V
4. (λ(a+b) = λa + λb ∀λ∈K ∀a∈V
5. (λμ)a = λ(μa)

CHIAMIAMO:

• GLI ELEMENTI DI V → VETTORI
• GLI ELEMENTI DI K → SCALARI
• ・ → MOLTIPLICAZIONE PER GLI SCALARI
• O_V → VETTORE NULLO

Geometria X (07/10/2021)

Ecco una serie di esempi di spazi vettoriali

I) Kⁿ

II) Se K⊂K₁→K₁ è un K₁-spazio vettoriale

III) Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo di grado m a coefficienti

in K è un K-spazio vettoriale. Se il sistema non è omogeneo non è

uno spazio vettoriale poiché manca il vettore nullo 0ⁿ, somiglia però

ad uno spazio vettoriale poiché le sue soluzioni sono del tipo

S₀ + W dove S₀ sono le soluzioni dell'omogeneo associato e

W è una soluzione particolare

e quindi un traslato di uno spazio vettoriale detto spazio affine

IV) K[x] è un K-spazio vettoriale m∈N

K[x]₍m₎={f∈K[x], δ_f(s)≤m}

V) Siano m,n∈N M_mn(K) è un K-spazio vettoriale poiché

• t: (a_ij) + (b_ij) = (a_ij + b_ij)
• λ(a_ij) = λa_ij

E ha le seguenti proprietà:

1. 0_m・a = 0_v
2. b・0_v = 0_v b∈K
3. ma-b・0_v = b^K = 0_m ∧ a・0_v
4. ∀v, a=-(-1)ₖ・a ∀v∈V

Ogni spazio vettoriale contiene sempre due sottospazi vettoriali, il suo vettore nullo e sé stesso

Esempio di spazio vettoriale

Preso E³ se A,B∈E³ indico con (A,B) il segmento orientato di origine A e B

Fissato un punto O∈E³ ind, chiamo E³{(o,p)|p∈E³}

∀P,Q∈E³ (OP)+(OQ)=(OR) dove R è ottenuto con la regola del parallelogramma

∀ λ ∈ &R; ∀ p ∈ E³ λ (o, p) = (