Algebra Lineare IX-XII

Geometria IX (06/10/2021)

Il concetto di campo vettoriale

Sia K un campo, definiamo l'operazione +

(a₁, ..., a_n) + (b₁, ..., b_n) = (a₁ + b₁, ..., a_n + b_n)

(K, +) è un gruppo abeliano

∗ : K × K → K

λ(a₁, ..., a_n) = (λa₁, ..., λa_n)

Una simile struttura possiede le seguenti proprietà

1. 1K(a₁, ..., a_n) = (a₁, ..., a_n)
2. (λ + μ)(a₁, ..., a_n) = λ(a₁, ..., a_n) + μ(a₁, ..., a_n)
3. λ((a₁, ..., a_n) + (b₁, ..., b_n)) = λ(a₁, ..., a_n) + λ(b₁, ..., b_n)
4. (μλ)(a₁, ..., a_n) = λ(μ(a₁, ..., a_n))

Questo è un esempio canonico di spazio vettoriale su un campo K

Quindi ad esempio sia K un campo e V un insieme non vuoto

K × V → V (λ, a) → λa

(K, +) deve essere un gruppo abeliano

1. 1K ∗ a = a
2. (λ + μ)a = λa + μa ∀ μ ∈ K ∀ a ∈ V
3. (λa + b) = λa + λb ∀ a ∈ K ∀ b, c ∈ V
4. (μλ)a = μ(λa)

Chiamiamo:

• Gli elementi di V → vettori
• Gli elementi di K → scalari
• ∗ → moltiplicazione per gli scalari
• Ov → vettore nullo

Geometria X (07/10/2022)

Ecco una serie di esempi di spazi vettoriali:

1. K^m
2. Se K₁ ⊆ K₂ e un K₁-spazio vettoriale.
3. Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo di grado m a coefficienti in K e un K-spazio vettoriale. Se il sistema non e omogeneo non e uno spazio vettoriale poiche manca il vettore nullo 0^m. Somiglia però ad uno spazio vettoriale poiche le sue soluzioni sono del tipo S = S₀ + W dove S₀ sono le soluzioni del omogeneo associato e W e una soluzione particolare e quindi un traslato di uno spazio vettoriale detto spazio affine.
4. K_m×l e un K-spazio vettoriale m ∈ N

K_m×l = {f | f ∈ K^l, ∃d s. t. d ≤ m}

5. Siano m, n ∈ N, M_m,n (K) e un K-spazio vettoriale poiche

(a_ij) _{1≤i≤m 1≤j≤n}+ : (a_ij) + (b_ij) = (a_ij + b_ij)λ(a_ij) = λa_ij

E ha le seguenti proprieta

1. 0_m a = 0_m
2. b a = 0_m b b a^∨ = b^∨ ∧ a^∨ b^∨ = ∅ ∧ a a^∨ = 0_m
3. a a^∨ + b^∨ = b^∨
4. a • (−1) a^∨ = a^∨ ∀ e ∈ v

Ogni spazio vettoriale contiene sempre due sottospazi vettoriali, il suo vettore nullo e se stesso.

Esempio di spazio vettorialis

Preso l³ e a, b Indico con (a, b) il segmento orientato di origine a e di estremo b

Fissiamo un punto o e³ e indiciamo E = ⁻³ {o, p | p ∈ E³}

V _{p, q∈E³} (o, q) = (o, r) / o / r dove r e ottenuto con la regola del parallelogramma.

Geometria XI (11/10/2022)

• I sottospazi di V(E²)

Sia W un sottospazio di V(E²) allora:

1. W = {0_V(E²)}
2. W = V
3. W è l'insieme di tutti i vettori del piano paralleli ad una retta data

Sia quindi W_Π = {0_V(E²)} ∃v∈V, v∉0_V(E²) : V ⊂ W

Sia V = P₀ giacente sulla retta r

Definiamo W_Π come l'insieme dei vettori paralleli ad r (c)

Allora v ∈ V_Π ⊂ W

Supponiamo esista un vettore W non parallelo ad r

W ⊂G W_WW_Π -> r ⊂ E² | W_Π = P_R

Possiamo quindi dimostrare che W : V(E²). Dobbiamo quindi dimostrare che:

1. W ⊂ V(E¹) (per definizione)
2. V(E²) ≢ W

Sia quindi u ∈ V(E¹) allora ∃ t ∈ E² | u = P^s = v

Vi sono 3 possibili casi:

• a) u giace su ∆ e quindi appartiene a W_∆
• b) u giace su τ e quindi appartiene a W_∆ -> u ∈ W
• c) u non giace su nessun v_WF in tal caso tracciamo v_E parallela a Q^s passanti per S che chiamiamo r_E X

E i punti Q = r ∩ ∆ e r = m ∩ ∆

Esempio

{1, x, x², ...} sono a base di K[x]

Teorema

Sia V uno spazio con V ≠ ∅

G = {H ⊂ V che H ≈ V}

F = {E | E ⊂ V lin. ind.}

G ≠ ∅ ⇔ F ≠ ∅

F ≠ ∅

1. Da un elemento di G togliamo opportuni vettori in modo da renderlo lin. ind.
2. Ad un elemento di F aggiungiamo opportuni vettori per generare V ma rimanendo lin. ind.

Quindi B è base se:

1. È minimale in (G, ç)
2. È massimale in (F, ç)

Le dimensioni di uno spazio vettoriale

Sia V un K-spazio finitamente generato, definiamo dimensioni di V su K

dim_K V = |B| dove B è una base (se V non è finitamente generato allora dim_K V = ∞)

• Proprietà
• Sia V un K-spazio di dim_K V = m e sia C = {v₁, ..., v_m} ⊆ V
• Sono equivalenti i seguenti enunciati:
1. Sia C lin. ind. e |C| = m, se m = n allora C è base di V
2. <v₁, v₂, ..., v_m> = V ed |M| = m = n allora C è base di V (cioè implica che sia anche il numero minimo di generatori e il numero massimo di vettori lin. ind.)
• Sia W con W sottospazio di V
• Se dim_K V ≠ ∞ allora ∀m ∊ N e ∀v_n, ..., v_m ∊ V

<v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆ < v_v, v₂, v_v < v_v, v₃, v_n

allora dim_K W = ∞

In generale dim_K W ≤ dim_K V' , ma in questo caso

dim_K W = dim_K V allora W ≡ V

Somma di sottospazi e formula di Grassmann

Sia V un K-spazio e U, W due sottospazi finitamente generati.

dim_K U = p dim_K W = q

Esisterà <u₁, ..., u_p> base di U, U + W : K(u₁, ..., u_p, v₁, v₂>

<w₁, w₂, w₃> base di W

per cui

dim_K (U + W) ≤ dim_K U + dim_K W

(Formula di Grassmann)

dim_K (U + W) = dim_K U + dim_K W - dim_K (U ∩ W)