Algebra Lineare I-IV

Geometria II (21/09/2021)

Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti che deve permettere a chiunque di stabilire univocamente se un oggetto vi appartiene o meno.

Rappresentazioni

• Per enumerazione {a, b, c}
• Per caratteristica {x | x ha proprietà}

Simbolologia

• A implica B A ⇒ B
• A è uguale a B A ⇔ B

Quantificatori

• Universale ∀ (per ogni)
• Esistenziale ∃ (esiste almeno un)

Esiste ed è uno solo !

Negazione ”non” ¬B (non B)

A incluso in B A ⊆ B (possono essere uguali)

A è incluso strettamente in B A ⊂ B

Operazioni

• Intersezione A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Unione A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Differenza A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} (se B ⊆ A A \ B è detto complementare di B in A)

Insieme Vuoto

L'insieme vuoto è privo di elementi ed è quindi incluso in ogni insieme possibile e si indica ∅ (se A ∩ B = ∅ allora A e B si dicono disgiunti)

Geometria II (23/09/2022)

• Proprietà degli insiemi

Siano A, B, C insiemi

1. A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A_{Commutatività}
2. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)_{Associatività}
3. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)_{Distribuitività(Leggi di De Morgan)}
5. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ A ∩ C
6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ A

Dimostrazione (3)

1. A ∩ B ⊂ AA ∩ B ⊂ B ∪ C
2. A ∩ C ⊂ AA ∩ C ⊂ B ∪ C
3. (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C)

Dimostrazione (2)

1. Sia x ∈ A ∩ (B ∪ C)
2. x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C
3. (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)
4. x ∈ (A ∩ B) ∨ (A ∩ C)

Dimostrazione (6)

1. B ∩ C ⊂ B ⟹ A ⊇ B ∩ (B ∩ C)
2. B ∩ C ⊂ C ⟹ A ⊇ C ∩ (B ∩ C)
3. (A ∩ B ∪ (A ∩ C) ⊇ A ∩ (B ∩ C)

Dimostrazione 2

x ∈ A ∩ (B ∪ C)

• i) x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C
• ii) x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∈ C
• iii) x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C

Dimostrazione (5)

x ∈ A ∪ (B ∪ C) ⊂ A ∩ B

• 1) x ∈ A ∪ B ∨ x ∈ A ∪ C
• 3) x ∈ (A ∪ B) ∪ (A ∪ C)

Il concetto di gruppo e la composizione (o)

Definiamo l'insieme non vuoto X, la scrittura (X, o) indica un gruppo.

Se l'operazione (in questo caso la composizione) è:

1. Associativa: f o (g o h) = (f o g) o h
2. ∀e∈X ∃o