Algebra Lineare I-IV

Geometria I (21/09/2021)

Un insieme è una collezione d'oggetti ben definita che deve permettere a chiunque di stabilire univocamente se un oggetto vi appartiene o meno.

Rappresentazioni

• Per enunciazione: I = {a, b, c}
• Per caratteristica: I = {x | x prop}

Simbologia

• A implica B: A ⇒ B
• A equivale a B: A ⇔ B
• Quantificatore universale: ∀ (per ogni)
• Quantificatore esistenziale: ∃ (esiste almeno un)
• Esiste (ed) è uno solo: !
• Negazione “non”: ¬ B (non B)
• A incluso in B: A ⊆ B (possono essere uguali)
• A è incluso strettamente in B: A ⊂ B

Operazioni

• Intersezione: A ∩ B : {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Unione: A ∪ B : {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Differenza: A \ B : {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} (se B ⊆ A, A \ B è detto complementare di B in A)

Insieme Vuoto

L'insieme vuoto è privo di elementi ed è quindi incluso in ogni insieme possibile e si indica con ∅ (se A ∩ B = ∅ allora A ∩ B si dicono disgiunti)

Geometria I (22/09/2021)

Un insieme è una collezione di oggetti ben definita che deve permettere a chiunque di stabilire univocamente se un oggetto vi appartiene o meno.

Rappresentazioni

• Per elencazione: I = {a, b, c}
• Per caratteristica: I = {x | x propr.}

Simbologia

• A implica B: A ⇒ B
• A equivale B: A ⇔ B
• Quantificatore universale: ∀ (per ogni)
• Quantificatore esistenziale: ∃ (esiste almeno un)
• Esiste ed è uno solo: !
• Negazione “non”: ¬B (non B)
• A incluso in B: A ⊆ B (possono essere uguali)
• A è incluso strettamente in B: A ⊂ B

Operazioni

• Intersezione: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
• Unione: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
• Differenza: A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} (se B ⊆ A, A \ B è detto complementare di B in A)

Insieme vuoto

L'insieme vuoto è privo di elementi ed è quindi incluso in ogni insieme possibile. È si indica con ∅ (se A ∩ B = ∅ allora A e B si dicono disgiunti)

Geometria II (23/09/2022)

Proprietà degli insiemi

Siano A, B, C insiemi

1. A ∪ B = B ∪ A (A ∩ B = B ∩ A) _{Commutatività}
2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C) _{Associatività}
3. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) _{Distributività}
4. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) _{Legge di De Morgan}

Dimostrazione 3

1. A ∩ B ⊂ A
2. A ∩ B ⊂ B ⊂ C
3. A ∩ C ⊂ A
4. A ∩ C ⊂ B ∪ C
5. A ∩ B ∪ A ∩ C ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Dimostrazione 2

1. Sia x ∈ A ∩ (B ∪ C)
2. x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C
3. (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)
4. x ∈ (A ∩ B) ∨ (A ∩ C)

Dimostrazione 6

1. B ∩ C ⊂ B → A ∩ B ⊂ A ∩ (B ∩ C)
2. B ∩ C ⊂ C → A ∩ C ⊂ A ∩ (B ∩ C)
3. (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∩ (B ∩ C)

Dimostrazione 2

x ∈ A ∪ (B ∪ C)

1. x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∈ C → x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C)

Dimostrazione 5

1. x ∈ A ∩ (B ∪ C) ∩ A ∩ B
2. x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ A ∩ C
3. x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Prodotto cartesiano

Definiamo prodotto cartesiano di due insiemi A e B l'insieme:

A x B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}. Gli elementi (a, b) sono detti coppie ordinate dove:

• a → 1^a coordinata
• b → 2^a coordinata

Prese due coppie ordinate (a, b) e (c, d), le definiamo uguali se a = c ∧ b = d.

Relazioni

Una relazione tra A e B è un qualsiasi R ⊆ A x B (se A, B allora R) è detta relazione su A. Se (a, b) ∈ R, allora:

• Si scrive a R b
• Si legge "a è in relazione R con"