Algebra lineare e geometria - spazi vettoriali

Appunti  sul  programma  di  Algebra  Lineare  e  Geometria  per  Ingegneria  

SPAZI  VETTORIALI    

•  Definizione:  uno  spazio  vettoriale   V  su  

R

 è  un   insieme  su  cui  sono  definite  

due  operazioni  

(somma  e  prodotto  per  scalari)  e  che  soddisfa  le  seguenti  proprietà:  

1)  ASSOCIATIVA  DELLA  SOMMA   (u+v)+w  =  u+(v+w);  

2)  ESISTE  L’ELEMENTO  NEUTRO  PER  LA  SOMMA   v+0  =  0+v  =  v;  

3)  ESISTE  L’OPPOSTO  PER  LA  SOMMA   v+(-­‐v)  =  (-­‐v)+v  =  0;  

4)  COMMUTATIVA  DELLA  SOMMA   v+w  =  w+v;  

5)  DISTRIBUTIVA  DEL  PRODOTTO  PER  SCALARI   λ(v+w)  =  λv+λw   (λ+μ)v  =  λv+μv;  

6)  ASSOCIATIVA  DEL  PRODOTTO  PER  SCALARI     (λμ)v  =  λ(μv);  

7)  1(v)  =  v   e   0(v)  =  0;  

∀u,v,w∈V  e   λ,μ∈R  

∀

•  Definizione:  un   sottospazio  vettoriale  di  V  è  un  sottoinsieme   W chiuso  rispetto  alla  

⊆V  

somma  e  al  prodotto  per  scalari,  deve  contenere  l’elemento  nullo  e  deve  contenere  l’opposto  

di  ogni  suo  elemento.  

•  Definizione:  Sistema  lineare  del  tipo   Ax=0  è  un  sistema  lineare   omogeneo.  

-­‐  Dato  

Bx=b  sistema  lineare,   Bx=0  si  dice  sistema  omogeneo   associato.  

-­‐  L’insieme   W   delle  soluzioni  di  un  sistema  lineare  omogeneo  in  n  incognite  è  spazio  

n

⊆R

vettoriale.  

Dimostrazione:   v,w  soluzioni  e   λ∈R  

∀ ∀

+ + ⋯ +   = 0 + + ⋯ +   = 0

!! ! !" ! !! ! !! ! !" ! !! !

+ + ⋯ + = 0 + + ⋯ + = 0

!! ! !! ! !" ! !! ! !! ! !" !

  ( + ) + ( + ) + ⋯ +   ( + ) = 0

!! ! ! !" ! ! !! ! !

da  cui            v+w  è  soluzione  

( + ) + ( + ) + ⋯ + ( + ) = 0

!! ! ! !! ! ! !" ! !

  λ + λ + ⋯ +   λ = 0

!! ! !" ! !! !

Analogamente                        λv  è  soluzione  

λ + λ + ⋯ + λ = 0

!! ! !! ! !" !

L’insieme  delle  soluzioni  di  un  sistema  lineare  non  omogeneo  non  è  spazio  vettoriale  (non  

contiene  l’elemento  nullo).  

COMBINAZIONI  LINEARI  

•  Definizione:  La  combinazione  lineare  di  v ,…,v  vettori  è  il  vettore   a v +…+a v      V ,  con  

∈

1 k 1 1 k k

a ,…,a  R.  

∈

1 k  

•  Definizione:  lo   Span  dei  v ,…,v  vettori  è  l’insieme  di  tutte  le  possibili  combinazioni  lineari  

1 k  

di  tali  vettori.  

Span(v ,…,v )  =  {a v +…+  a v  |  a ,…,a  R}  

∈

1 k 1 1 k k 1 k  

-­‐ Lo  Span  è  sottospazio  vettoriale.  

Dimostrazione:    

(a v +…+  a v )+(β v +…+  β v   =  (a +  β )  v +…+(a +  β )  v   [chiuso  per  la  somma]  

1 1 k k 1 1 k k) 1 1 1 k k k

λ(a v +…+  a v )  =  λa (v )+…+  λa (v )   [chiuso  per  il  prodotto  per  scalari]  

1 1 k k 1 1 k k

-­‐  Ax=b,  sistema  lineare,  è  compatibile  se  e  solo  se  b    Span(A ,  …  ,  A ),  con  A ,  …  ,  A  colonne  

1 n 1 n

∈

della  matrice  dei  coefficienti.                      x A +  …  +  x A =  b     [b  è  combinazione  lineare].  

n n  

1 n

INDIPENDENZA  LINEARE  E  BASI  

•  Definizione:    

dipendenza  lineare:  

a v +…+a v  =  0   con  a ,…,a non  tutti  nulli;  

1 1 k k 1 k  

indipendenza  lineare:   a v +…+a v