Algebra lineare e geometria - spazi vettoriali

COMBINAZIONI  LINEARI  

•  Definizione:  La  combinazione  lineare  di  v ,…,v  vettori  è  il  vettore   a v +…+a v      V ,  con  

∈

1 k 1 1 k k

a ,…,a  R.  

∈

1 k  

•  Definizione:  lo   Span  dei  v ,…,v  vettori  è  l’insieme  di  tutte  le  possibili  combinazioni  lineari  

1 k  

di  tali  vettori.  

Span(v ,…,v )  =  {a v +…+  a v  |  a ,…,a  R}  

∈

1 k 1 1 k k 1 k  

-­‐ Lo  Span  è  sottospazio  vettoriale.  

Dimostrazione:    

(a v +…+  a v )+(β v +…+  β v   =  (a +  β )  v +…+(a +  β )  v   [chiuso  per  la  somma]  

1 1 k k 1 1 k k) 1 1 1 k k k

λ(a v +…+  a v )  =  λa (v )+…+  λa (v )   [chiuso  per  il  prodotto  per  scalari]  

1 1 k k 1 1 k k

-­‐  Ax=b,  sistema  lineare,  è  compatibile  se  e  solo  se  b    Span(A ,  …  ,  A ),  con  A ,  …  ,  A  colonne  

1 n 1 n

∈

della  matrice  dei  coefficienti.                      x A +  …  +  x A =  b     [b  è  combinazione  lineare].  

n n  

1 n

INDIPENDENZA  LINEARE  E  BASI  

•  Definizione:    

dipendenza  lineare:  

a v +…+a v  =  0   con  a ,…,a non  tutti  nulli;  

1 1 k k 1 k  

indipendenza  lineare:   a v +…+a v  =  0   con  a =…=  a =  0;  

1 1 k k 1   k  

-­‐ Un  sistema  Ax=0  ha  soluzione  unica  (x=0)  se  e  solo  se  le  colonne  A ,  …  ,  A sono  

1 n  

linearmente  indipendenti.  Esiste  una  soluzione  diversa  da  0  se  e  solo  se  le  colonne  

sono  linearmente  dipendenti.  

-­‐ Dalla  condizione  di  dipendenza  lineare  si  può  ricavare  un  vettore  come  combinazione  

lineare  di  altri  vettori.  

•  Definizione:  Una   base  è  un  insieme  di  vettori  {v ,  …  ,  v }  tali  che:  

1 n

i)    V  =  Span(v ,  …  ,  v )   [i  vettori  sono  

generatori]  

1 n

ii)  v ,  …  ,  v sono  linearmente  indipendenti  

1 n  

-­‐ Dati  v ,  …  ,  v  vettori  linearmente  indipendenti.  Se  a v +…+a v =  b v +…+b v allora        

1 k 1 1 k k   1 1 k k  

a  =  b  per  j=1,…,n  

j j

-­‐ Sia  B={v ,  …  ,  v }  base,  (a ,…,  a ),  tali  che   v    V,  v  =  a v +…+a v ,  sono  detti  coordinate  

∀ ∈

1 n 1 n 1 1 n n

di  V  rispetto  alla  base  B.  

-­‐ Uno  spazio  vettoriale  è  completamente  determinato  da  una  base.  

•  Definizione:  B ⊆  A    (A    V)  è   sottoinsieme  massimale  di  vettori  linearmente  

⊆

indipendenti  se  gli  elementi  di  B  sono  linearmente  indipendenti  e  se  aggiungiamo  un  

elemento  di  A  a  B  otteniamo  una  relazione  di  dipendenza  lineare.  

-­‐ Una  base  è  un  sottoinsieme  massimale  di  vettori  linearmente  indipendenti  

Dati  v ,…,  v  vettori  linearmente  indipendenti  e  preso  v  vettore,  allora  v  =  a v +  …  +  a v da  cui  

1 n 1 1 n n  

v  -­‐  a v +  …  +  a v =  0.  Essendo  1  il  coefficiente  di  v,  si  ha  una  relazione  di  dipendenza  lineare.  

1 1 n n  

-­‐ B  sottoinsieme  di  V,  se  Span(B)=V,  ovvero  Span(B)  contiene  generatori  di  V,  allora  

anche  B  è  un  sistema  di  generatori  di  V  

Sia  A    Span(B),  A  sistema  di  generatori  di  V.  Si  ricava  che  V  è  combinazione  lineare  degli  

⊂

elementi  di  A,  ma  A    Span(B),  quindi  gli  elementi  di  A  sono  combinazione  lineare  degli  

⊂

elementi  di  B.  In  conclusione  V=Span(B).  

~  Teorema  

Sia  A  =  {v ,  …  ,  v }  sistema  di  generatori  di  V.  Sia  B    A  un  sottoinsieme  massimale  di  vettori  

⊆

1 k

linearmente  indipendenti.  Allora  B  è  base  di  V.  

Dimostrazione:  

B  =  {v ,  …  ,  v }  con  r  ≤  k;  v ,  …  ,  v linearmente  indipendenti  per  ipotesi.  V=Span(B)?  E’  

1 r 1 r  

sufficiente  che  A    Span(B).  Preso  w    A,  non  in  B,  v ,  …  ,  v ,  w  linearmente  dipendenti  

⊆ ∈ 1 r

(definizione  di  insieme  massimale)  da  cui  a v ,  …  ,  a v ,  βw  =  0  con  a ,  …  ,  a ,  β  non  tutti  nulli.  

1 1 r r 1 r

Se  β=0  si  ha  una  relazione  di  dipendenza  lineare  fra  v ,  …  ,  v ,  impossibile  per  ipotesi.  Allora  

1 r

! !

! !

β≠0  e  dunque  w  =  -­‐   v -­‐  …  -­‐   v    Span(B).  Quindi,  per  w  generico,  A    Span(B).  

∈ ⊆

1   r

! !

-­‐ Ogni  spazio  vettoriale  contenente  un  sistema  finito  di  generatori   ammette  una  base.  

~  Teorema  (del  completamento)  

Sia  B={v ,  …  ,  v }  base  di  V,  siano  w ,  …  ,  w    V  (p≤n)  vettori  linearmente  indipendenti.  Allora  

∈

1 n 1 p

esistono  n-­‐p  vettori  che  insieme  a  w ,  …  ,  w formano  una  base  di  V.  

1 p  

Dimostrazione  per  induzione:  

Sia   p=1;   a ,  …  ,  a  R  tali  che  w =  a v +  …  +  a v .  Relazione  di  indipendenza  lineare  e  dato  

∃ ∈

1 n   1   1 1 n n ! ! !

! !

che  w ≠0  uno  degli  a  è  non  nullo.  Supponiamo  a ≠0,  v =    w  -­‐    v  -­‐  …  -­‐    v    Span(w ,  v ,  

∈

1 j 1 1   1 2 n 1 2

! ! !

! ! !

…  ,  v ).  Quindi  B    Span(w ,  v ,  …  ,  v )  sistema  di  generatori;  linearmente  indipendenti?  

⊂

n 1 2 n

b w +  b v +  …  +  b v  =  0,  b ,  …  ,  b    R  ma  0  =  b (a v +  …  +  a v )  +  b v +  …  +  b v =  (b a )v  +  

∈

1 1   2 2 n n 1 r 1 1 1 n n 2 2 n n   1 1 1

+  (b a  +  b )v  +  …  +  (b a  +  b )v .  dato  che  v ,  …  , v  sono  linearmente  indipendenti  e  a ≠0  

1 2 2 2 1 n n n 1   n 1

allora  anche  b =  … &nbs