Geometria e Algebra lineare - spazi vettoriali

Gal - Lezione 4

L’algebra lineare studia spazi vettoriali e applicazioni lineari.

Spazio Vettoriale

Uno spazio vettoriale reale consiste di:

• un insieme V i cui elementi sono detti vettori;
• un’operazione interna +: V × V → V, che ad ogni coppia di vettori v, w associa v + w;
• un’operazione esterna ⋅: R × V → V che ad ogni numero reale k e ogni vettore v associa il prodotto k ⋅ v.

Proprietà

1. Associatività della somma: per ogni u, v, w in V si ha

   (u + v) + w = u + (v + w)

2. Commutatività della somma: per ogni v, w in V si ha

   v + w = w + v

3. Esistenza dell’elemento neutro per la somma: esiste un vettore in V, detto vettore nullo e denotato con 0, tale che per ogni vettore v ∈ V risulti

   v + 0 = v

4. Esistenza dell’opposto: per ogni vettore v di V esiste un vettore opposto di v, denotato con −v, tale che

   v + (−v) = 0

5. Per ogni v in V si ha

   1v = v

6. Per ogni v in V e per ogni h, k in R si ha

   h(kv) = (hk)v

Gal - Lezione 4

L'algebra lineare studia spazi vettoriali e applicazioni lineari.

Spazio Vettoriale

Uno spazio vettoriale reale consistre di:

• un insieme V i cui elementi sono detti vettori
• un'operazione interna +: V x V -> V, che ad una coppia di vettori v, w associa v + w
• un'operazione esterna R x V -> V che ad ogni numero reale k e ogni vettore v associa il prodotto kv

Proprietà

1. Associatività della somma: per ogni v, w, u in V si ha
   • (u + v) + w = u + (v + w)
2. Commutatività della somma: per ogni v, w in V si ha
   • v + w = w + v
3. Esistenza dell'elemento neutro per la somma: esiste un vettore in V, detto vettore nullo e denotato con 0, tale che per ogni vettore v in V risulti
   • v + 0 = v
4. Esistenza dell'opposto: per ogni vettore v di V esiste un vettore opposto di v, denotato con -v, tale che
   • v + (-v) = 0
5. Per ogni v in V si ha
   • 1v = v
6. Per ogni v in V e per ogni h, k in R si ha
   • h(kv) = (hk)v

DISTRIBUTIVITÀ

del prodotto esterno rispetto la somma di vettori: per ogni v, u ∈ V e per ogni k ∈ R, si ha

K(v + u) = Kv + Ku

DISTRIBUTIVITÀ

del prodotto esterno rispetto la somma di scalari: per ogni v ∈ V e per ogni h, k ∈ R, si ha

(h + k)v = hv + Kv

Esempi:

1. vettori geometrici del piano con le usuali operazioni di somma di vettori e di prodotto per uno scalare.

2. L'insieme Rⁿ delle n-uple ordinate di numeri reali

   x_i ∈ R, i = 1, ..., n

   • [x₁, ..., x_n] + [y₁, ..., y_n] = [x₁ + y₁, ..., x_n + y_n]
   • K[x₁, ..., x_n] = [kx₁, ..., kx_n]

3. L'insieme R[x] dei polinomi nell'indeterminata x a coefficienti reali

   • (2 + 3x – √3x²) + (2x – x³) = 2 + 5x – √3x² – x³
   • 4(2 + 3x – √3x²) = 8 + 12x – 4√3x²
   • (2 + 3x – √3x²) + 0 = 2 + 3x – √3x²
   • -(2 + 3x – √3x²) = -2 – 3x + √3x²

d) L'insieme M(m, n, ℝ) delle matrici reali di tipo m x n (riga x colonna) con la somma di matrici e il prodotto di una matrice per uno scalare definiti termine a termine.

_{A = (aij)}

_{a11a12...a1n a21a22...a2n am1am2...amn aij ∈ ℝ}

_{A = 12-3 00√3}

tipo: 2 x 3

ha 2 righe e 3 colonne

_{B = 07 πln 2}

_{A + B = 19-1 πln 2√3 + 1}

_{2B = 014 2π2ln 2}

_{A + B = (aij + (bij) = (aij + bij) = a11 + b11...a1n + b1n ......... am1 + bm1...amn + bmn}

_{KA = K(aij) = (Kaij) = Ka11...Ka1n ......... Kam1...Kamn}

e) L'insieme ℝ^X delle funzioni da un insieme X al campo reale ℝ

_{ℝ^X = {f | X → ℝ}}

Dato f : X → ℝ g : X → ℝ definiamo f + g

_{come la funzione (f + g)(x) = f(x) + g(x)}

f: X → ℝ

K ∈ ℝ

(Kf)(x) = K(f(x))

V^X = {f: X → V}

1. L'insieme V^X delle funzioni da un insieme X allo spazio vettoriale reale V.

   V^X = {f: X → V}

   Con la somma di funzioni e il prodotto di un numero reale per una funzione definiti puntualmente.

   Dato le funzioni f, g: X → V, lo scalare K ∈ ℝ, la funzione f + g, Kf sono definiti da:

   f: g: X → V, (f + g)(x) = f(x) + g(x)

2. R^X = {f: X → V}

   X = {1, 2}

   R