Algebra lineare e geometria - Appunti

Gli insiemi

L'insieme E è un raggruppamento di elementi. Traiamo i sottoinsiemi (TCE) tra cui c'è sempre l'insieme vuoto.

• Unione: A∪B = {x | x∈A ∨ x∈B}
• Intersezione: A∩B = {x | x∈A ∧ x∈B}
• Insieme complementare: A = E \ A
• Insieme differenza: A-B = {x | x∈A ∧ x∉B}
• Insieme prodotto: A×B = { (a,b) | a∈A ∧ b∈B }
• Insieme delle parti: P(A) = { B | B⊂A }

Relazione

Una relazione dall'insieme A all'insieme B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. (a,b)∈R se e solo se (a,b) appartiene alla relazione definita tra A e B.

Relazione di equivalenza

Definiamo una relazione di equivalenza se e solo ha queste proprietà:

• Riflessiva: aΡa ∀a∈A
• Simmetrica: aΡb → bΡa, ∀a,b∈A
• Transitiva: aΡb ∧ bΡc → aΡc, ∀a,b,c∈A

Classe di equivalenza

È l'insieme di tutti gli elementi di A che sono equivalenti ad a ([a]).

Insieme quoziente

È l'insieme di tutte le classi di equivalenza prodotto P(A/Ρ) = {[a] | a∈A}.

Definizione relazione d'ordine

Una relazione é definita sull'insieme antisimmetrica, transitiva e rende in ordine dell'insieme precedentemente definito.

Principio delle somme

|A∪B| = |A| + |B| solo se gli insiemi sono disgiunti ovvero A∩B=φ

Principio del prodotto

|A×B| = |A| ⋅ |B|

Principio di inclusione

Siano A, B, C tre insiemi finiti

• |A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|.
• Se due A e B
• |(A∪B) = |A-B| ∪ |B| = |A-B| ∪ (A∩B) - A∩B = φ.
• |A∪B = |A-B| + |B-A| + |A∩B|

• Ovvero su A, B, C
• |A∪B∪C| = |A∪B| + |A∪B| - |A∪C| + |B∪C| - |A∩B∩C|
• (A∪B)∪C = (A∩C) ∪ (B∩C) utilizzando la prima dim.
• |(A∪B)∪C| = |A∩C| + |B∩C| - Δ∩B∩C|

Sostituendo il tutto abbiamo la tesi.

Gli insiemi

L'insieme è un raggruppamento di elementi. Ricaviamo gli estensivi (r, c, s) tra cui c:

1. Unione A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
2. IntersezioneA ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
3. Insieme complementareA^c = {x | x ∉ A}
4. Insieme differenzaA - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
5. Prodotto cartesianoA × B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
6. Insieme delle partiP(A) = ℘(A)

Relazione Una relazione dagli insiemi A all'insieme B è un sottinsieme del prodotto cartesiano A × B. Se (a, b) ∈ R, si dice che la relazione "definisce" a e b.

Relazione di equivalenza

Definiamo R come relazione di A se ha le seguenti proprietà:

• Riflessiva     a R a
• Simmetrica  a b

• Transitiva     a b b c ⇒ a c    a, b, c ∈ A

Classe di equivalenza

è l'insieme di tutti gli elementi di A che sono equivalenti ad a ([a])

Insieme quoziente

è l'insieme di tutte le classi di equivalenza prodotto di (A/p) A/p = {[a] | a ∈ A}

Definizione Relazione d'ordine

Se soddisfa le proprietà riflessiva, antisimmetrica, transitiva e totale allora l'insieme è parzialmente ordinato.

Principio della somma

|A ∪ B| = |A| + |B|    s.e gli insiemi sono disgiunti cioè A ∩ B = Ø

Principio del prodotto

|A × B| = |A| · |B|

Principio di inclusione

Siano A, B, C, tre insiemi finiti

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) + |A ∩ B ∩ C|

dime su A, B

|A ∪ B| = (A - B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B - A)

allora |A ∪ B| = |A - B| + |B| - |B - A| + |A ∩ B|   (principio della somma)

allora |A · B| = |A| · |B| - |A ∩ B|

dime su A, B, C

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |A ∩ B| - (|A ∩ B|) + |A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - (|A ∩ B|)

(A ∪ B) · C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)   attenziome di prima riga

(A ∩ B) · C | A ∩ C| + |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|

Sostituendo il tutto abbiamo la tes.

FUNZIONI

Una funzione (o applicazione) f da un insieme A ad un insieme B è una regola che associa ad ogni elemento di A un elemento di B. (f: A→B)

IMMAGINE

f(S)={b∈B | b=f(x) per qualche x∈S}

INVERSA (CONTROIMM.

f^-1(T)= {a∈A | f(a)∈T}

INIEZIONE è chiamata cosi la funzione che ∀ a,a'^∈A f(a)=f(a') => a=a'

SURIEZIONE è una funzione che ha Im_f=B cioe' ∀ b∈B / ∃ u a∈A | f(a)=b

BIETTIVA è una funzione inie