Algebra lineare e geometria - Appunti

GLI INSIEMI

l’insieme è un raggruppamento di elementi terniamo arbitrariamente (TCS) tra cui c’è sempre l’univocità certo.

• unione: A∪B = { x | x ∈A ∨ x∈B }
• intersezione: A∩B = { x | x ∈A ∧ x∈B }
• somma disgiunta: A+B = Σ | A| +| B |
• insieme differenza: A-B = { x | x ∈A ∧ x ∉ B }
• prodotto cartesiano: AxB = { (x,y) | x∈A ∧ y∈B }
• numero degli posti pari: P(A) = Σ | A | =2

RELAZIONE Una relazione dall’anime A all’insieme B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB. Per ogni relazione δ definiamo “xδy se xytδ”.

RELAZIONE DI EQUIVALENZA definiamo ∼ su A se ha i seguenti proprietà:

RIFLESSIVIA: a∼a ∧ a∃A

SIMMETRIA: a∼b ∧ - b∼a ∨a,b∈A

TRANSITIVA: a∼b ∧ b∼c - a∼c ∨a, b,c∃A

CLASSE D’EQUIVALENZA E un insieme di tutti gli elementi di A che sono equivalenti ad a ( [a] )

INSIEME QUOZIENTE E l’insieme di tutte le classi di equivalenze prodotto p (A/p)

∄ p = [a] | a ∈ A

DEFINIZIONE LEGGI DOPPIE

Relazione riflessiva, multisimetra, transitiva e induce una partizione dell’insieme predeterminato determinato

PRINCIPIO DELLA SOMMA

|A∪B| = |A| +| B | solo sé gli insiemi sono disgiunti dove A∩B=Ø

PRINCIPIO DEL PRODOTTO

|AxB| = |A|.|B|

PRINCIPIO DI INCLUSIONE

Siano A,B,C tre insiemi finiti

• |A∪B∪C | = |A| +| B | +| C | -(|A∩B| +|A∩C| +|B∩C|) +|A∩B∩C|
• se max
• =(A−B) ∪B =A∪B

=|A−B| ∪ B = |A−B| +| B

Tutti essendo A−B pescati (− ≠ Ø)

Allora |A∪B | = |A∪B| − [|A∩B| (principio della somma) |A| −| B | - |A−B].|A∪B|

scegli su A, B ,C

|A∪B∪C | = |A| +| B | +| C| − [|A∪B| +| C | − |A∩B| −(|A∪B)∩C| ]

(A∪B)∩C = (A∩B) ∪ (B∩C)

Allora: assumiamo bene

se| (AQB)⊂C| = (A∩C)|( B∩C) ≠ |A∩C+ (B∩C) = |A∩C| +| B∩C| = ΔA∩B∩C

scriviamo tutto dobbiamo da té.

Funzioni

Una funzione (o applicazione) f da un insieme A ad un insieme B è una legge che associa ad ogni elemento di A un elemento di B. (f: A→B)

Immagine

f(S)={b∈B | b=f(x) per qualche x∈S}

Inversa (controimmagine)

f^-1(T)={a∈A | f(a)∈T}

Iniettiva

f è chiamata iniettiva se, per ogni a, a’, a≠a’ ⇒ f(a)≠f(a’)

Suriettiva

f è suriettiva se ha come immagine B: f(A)=B / ∀b∈B ∃ u∈A | f(a)=b

Biiettiva

f è biiettiva se iniettiva e suriettiva

Composta

(g∘f)(a)=g(f(a)) ∀a∈A

Numeri naturali

L’insieme dei numeri naturali è costituito da una terna (N, O, S) dove N è l’insieme e O è un particolare elemento di N

S è un’applicazione di N in N soddisfa i seguenti proprietà:

• O∈N (l’insieme NON è vuoto)
• ∀n∈N, S(n)∈N
• ∀m∈N esistono NON definiscono S(m)=O

Principio di induzione

∀A⊆N | [k∈A e (n∈A → S(n)∈A) allora A=N]

Principio del buon ordinamento (o minimo)

Ogni sottinsieme non vuoto ICN contiene un elemento minimo. T⊆IC e T≠ ∅ → ∃x, ∀x∈T

Se ogni sottoinsieme non vuoto IAB ha uno soesso ordinato o meno equivolente

Cardinalità

Si dice che i due insiemi A e B hanno la stessa cardinalità o sono equipotenti se è possibile ottenere una biunivoca.

Combinazione binomiale

C_kⁿ = k!(n-k)! / n! indica il numero di sottoinsieme con K elementi di un insieme con N elementi

Numeri interi

Divisibilità

Divisibilità data due interi a, b, si dice che a | b se esiste un c∈Z | b = a . c

Divisore comune

Dati a,b∈Z tale che c | b e c | a e c | sa+tb ∀s,t,z

MCD

Sono a e b ∃Z Tale che d | a e d | b. ^Ud | d1d2, d1 | = d | d. d | a, d1 | b = d1 e d | d1

Se il MCD (a, b) = 1 allora a e b chiamano sopra.

Teorema della divisione

Sa una a, b∈Z . ca, b≠0 allora ∃:1, a, q, r ∈Z:

• a = bq +r
• 0≤r ≤|b|
• Eudime per modulazione se c→ o ⇒ bq+r=b(q+n)+r+mb

per altri v,b,q+a,bq+a = a + bq = b q +r [(a+b)>r

quindi b(q+1) + [a-r] q+r

Proprietà caratteristica

(q, r) | (q+r) * (r(%))-b=s&((q-1) R |s (b)

per ogni r¹r² - (a-b |¹) allora cg (r) ^(g-1)

per quale = q - aq | a = b

quindi Q=Q ∀ (l) son=9 sennò

Omomorfismi

Sia (G, * ) e (G', * ) due gruppi. Un'applicazione ƒ tra G → G', si dice omomorfismo se

ƒ(a*b)=ƒ(a)*’ƒ(b) ∀a,b ∈ G. (coincide l'operazione)

Vi sono due estenuzione: ker(ƒ)={g ∈ G |ƒ(g)’= e’∈ G’} sottogruppo di G im(ƒ)=ƒ(G)={€” ∈ G’|°=ƒ(g)‘∃° ∈ G} sottogruppo di G’

Proprietà

Siano G e G’ due gruppi. se ƒ £ € e 2’ sono anom ti mutiti:

1. ƒ(e)=e’ o ƒ(e)= ƒ(g*g-')= ƒ(e)”= ƒ(g)-1.ƒ(g)= e’=> ƒ(g)-1.ƒ(g)=e’ 2. ƒ(gl-’)= ƒ(g)-1 o ƒ(g-g)= ƒ(g^-1 3. im(ƒ) ≤ G’ o ƒ(g)= e’ 4. ker(ƒ) ≤ G

Monomorfismo

ƒ : G → G’ è iniettivo

Epimorfismo

ƒ: G → G’ è suriettivo

Isomorfismo

ƒ è iniettivo e suriettivo

Teorema fondamentale di omomorfismo per gruppi

ƒ omomorfismo

⇒ G/ker (ƒ) ≈ ƒ(G) ≤ G’

1. ker (ƒ) sottogruppo normale di G.
2. Im(G) ≤/F(G’) Û Grp/ker(ƒ. o lt te
3. (G:G₁) [t-c] ker(ƒ) (G g_k,f G_t ƒ₁. π. ~ ƒ₁

1. ker

ker ƒ = {g ∈ G1 |ƒ(g)= e ≤ 3

1. Ker (ƒ) 8 pi’ che’ (ƒ,G) e” k. ƒ[k^khöhung G G
   1. )
   2. Ker (ƒ) kern (ƒ)

   e’ € reà ƒ quindi t: g.k’ cu K ker(ƒ) e t:k.g eller ker(ƒ) *’ƒ(g)’= e'knig

   1. Hg o sottogruplo di G

   ∀º (ƒ, g)e= 2^{te im g (00}k_jsii !=

   quindi k²= ker ƒ(h)=2

   1. im g sottogrujpo di G

   ƒ(¬e),ƒ(i) e im(ƒ) ƒ(£). ƒ ®=ƒ (เปา)∈ ¬im ≠ ƒ (ab. ∫)alel

H o quindi

Diagonalizzazione L:V→V dim:V=n

A=L↔Rⁿ→Rⁿ rapp sulle base canonica

1. A=
   • Me(L):
   • Esistenza di autovalori di L e gli autovet. L è diagonabile?
   • Δ_A(λ)=det(λI-A)=0

2. det (λI-A)=det

• anche n1

3. se si un autovalore ha n sup multipl non è pur diagonabile

L(x)= R³→R³

Me(L)=[...]

Si calcolano gli autovalori e vettori come sopra e si verifica la loro l.eq. dopo si tutto avvem. una B_p

Per calcolare P

P=

P⁻¹

La matrice diagonale D è quella che ha suoi auto valori sulla diagonale

D=P⁻¹DP