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Appunti di Algebra lineare per il corso del professor Gregorio. Gli argomenti trattati sono i seguenti: i vettori, le applicazioni lineari, le basi, lo spazio vettoriale reale, i cambi di base, la diagonalizzabilità, gli autovalori, gli autovettori, le matrici simmetriche, il teorema spettrale.

Esame di Algebra lineare docente Prof. E. Gregorio

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−1 −1 −1

·w ·w ·w ·B ·w ·B

w = B , w = B , A = B , A = B

B B B B B A B A

1 2 2 1 1 2 2 1

·,

(il simbolo che si può anche omettere, rappresenta l’usuale prodotto

−1

righe per colonne). Abbiamo inoltre visto come le matrici B e B hanno

per colonne esattamente le coordinate dei vettori di una base rispetto all’altra

base. Come nota a margine, diciamo che non solo ogni matrice B che rapp-

resenta un cambio di base è invertibile, ma anche che ogni matrice invertibile

(cioè con determinante diverso da zero) rappresenta un opportuno cambio di

base.

Ricordiamo qui che tra le infinite basi di uno spazio vettoriale V ce ne sono

alcune ”‘speciali”’, le basi ortonormali, che sono quelle costituite da vettori

kv k ≡<

tutti di lunghezza unitaria (cioè v , v >= 1 per i = 1, . . . , n) e tutti

i i i

fra loro ortogonali (cioè che hanno prodotto scalare nullo: < v , v >= 0 per

i j

6

ogni i = j).

3 Diagonalizzabilità, autovalori e autovettori

B

Una matrice quadrata A, fissata una base di V , rappresenta un’applicazione

lineare L : V V . Scegliendo una diversa base di V , L sarà rappresentata

0

da una diversa matrice quadrata A . Quello che ci chediamo ora è se esiste

0 0

B

una qualche base di V nella quale la matrice A associata alla nostra L

sia diagonale, cioè abbia la particolare forma:

 

λ 0 . . . 0 0

1

0 λ . . . 0 0

 

2

 

... .. .. ..

.

0 .

A =  

.

. . .

 

 

0 0 . . . λ 0

n−1

 

0 0 ... 0 λ

n

0

(detto altrimenti, A ha tutti zeri tranne che sulla diagonale). La risposta

in generale è che per alcune matrici non è possibile trovare nessuna base di

V che le renda diagonali, mentre per altre matrici (dette appunto diagonal-

−1

izzabili ) si riesce a trovare una matrice B di cambio di base tale che B AB

0

sia una matrice diagonale A . Diremo in genere che l’applicazione lineare L

è diagonalizzabile se in una opportuna base è rappresentata da una matrice

3

diagonale (il che è equivalente a dire che in qualsiasi base la matrice che la

rappresenta è diagonalizzabile). B

Se L è diagonalizzabile, scegliamo come base di V proprio la base =

{v }

, . . . , v che le associa una matrice diagonale A. Si vede facilmente che

1 n  

λ 0 ... 0 0

     

1

1 1 1

0 λ ... 0 0

 

2

0 0 0

       

.. .. .. ..

...

0 ·

A = = λ

       

.. .. ..

. . . . 1

       

. . .

 

     

0 0 . . . λ 0

n−1

 

0 0 0

0 0 ... 0 λ

n

cioè abbiamo che L(v ) = λ v . E lo stesso vale per gli altri vettori

1 1 1

v , . . . , v della base. Diremo che un qualsiasi vettore di V la cui immagine

2 n

tramite L è un multiplo di se stesso ∈

L(w) = λ w (per qualche λ R)

w

è un autovettore di L, e il numero λ si dice autovalore di V relativo

w

all’autovettore w (l’insieme degli autovalori di L si dice spettro di L). Quindi,

se una matrice è diagonalizzabile, tutti i vettori della base che la rendono

diagonale sono degli autovettori per (l’applicazione lineare associata a) quella

matrice, e i numeri che compaiono sulla diagonale di tale matrice sono per

l’appunto gli autovalori relativi a tali autovettori, in ordine. È facile verificare

anche l’implicazione inversa, ottenendo quindi:

Theorem 1 Un’applicazione lineare L : V V è diagonalizzabile se e solo

se esiste una base di V costituita tutta da autovettori di L. In tal caso, la

matrice diagonale che rappresenta L nella nuova base avrà come elementi

sulla diagonale esattamente gli autovalori di L.

4 Matrici simmetriche e teorema spettrale

Una matrice A si dice simmetrica se coincida con la sua trasposta, cioè se

a = a per ogni i, j = 1, . . . , n (A è graficamente simmetrica rispetto

ij ji

alla sua diagonale principale). La matrice di covarianza Q è un esempio di

matrice simmetrica, dato che Cov(X,Y) = Cov (Y,X) per ogni X e Y variabili

aleatorie. 4


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in informatica
SSD:
Università: Verona - Univr
A.A.: 2005-2006

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher melody_gio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Verona - Univr o del prof Gregorio Enrico.

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