Algebra lineare - Appunti

Appunti di Algebra lineare per la materia di Matematica generale : appunti, formule e chiarimenti. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: la proprietà comune all’addizione e alla moltiplicazione, esistenza dell'elemento neutro.

Esame matematica generale

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Publisher Exxodus

A.A. 2011-2012

40 pagine

Appunto

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IR3 2f: IRf(x , x , x ) = (ax + 2ax , x ) con aIR1 2 3 1 2 3(a(x +2x ), x )1 2 3Calcolo il Kerf per conoscere la sua dimensione.Con a=0f(x , x , x ) = (0, x ).1 2 3 3In questo caso il Kerf sarà dato da tutti quei vettori che avranno come 3°componente lo 0, cioè x =0.3Esempio.f(3, 5, 0) = (0, 0) = 0Il Kerf sarà cioè dato da tutti quei vettori del tipo:x , x , 0 = Kerf1 2Trovando la base canonica, il vettore diventa:x (1, 0, 0) + x (0, 1, 0) = (x , x , 0)1 2 1 2La dim Kerf = 2, perché servono due vettori per una base.dim Kerf + dim Imf = 32 +1 = 3Con a0a(x +2x ) = 01 2x = 0 (x +2x ) = 03 1 2 -2xKerf = , x , 0x = 0 2 23che può essere anche espresso come: x (-2, 1, 0). La dim Kerf =21.x = -2x1 2x = 0 dim Kerf + dim Imf = 33 1 +2 = 3 Moltiplicazione tra una matrice e un vettore.a a a a x + a x + a x11 12 1n 11 1 12 2 1n na a a a x + a x + a x x21 22 2n 21 1 22 2 2n n 1=a a a a x + a x + a x x31 32 3n 31 1 32 2 3n n 2*a a

a a x + a x + a x xm1 m2 mn m1 1 m2 2 mn n 3x nΣnj=1 a x1j jΣnj=1 a x2j jΣnj=1 a x3j jΣnj=1 a xmj j=Si ottiene un vettore di n componenti; il prodotto fra una matrice e un vettore può essere effettuato se e solo se il vettore ha lo stesso numero di componenti degli elementi che compongono ogni riga della matrice.

La matrice può essere pensata come una funzione che prende un vettore, lo trasforma moltiplicandolo e lo rende ancora un vettore. → IRn mA=f : IR

Valgono, infatti, le stesse proprietà delle funzioni anche per le matrici:

A(x+j) = A * x + A * j

A(c*x) = c*A*x

Teorema delle rappresentazioni. → IRn mf: IR

1) A : f(x) = Axm*n

2) La matrice A ha come colonne i trasformati mediante f della base canonica

f(e ) = a (dove a è la jesima colonna di A).

j j j

f(e ) = a1 1

f(e ) = a2 2

f(e ) = an n

f(e ) = a = Ae1 1 1

Ax = f(x)

Xx = x e + x e + x e1 1 2 2 n n

Ax = A(x e +x e +x e ) = x Ae +x Ae +x Ae = x a +x a +x a

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

= x f(e )+x

f(e) + x f(e) = f(xe) + f(xe) + f(xe) = f(xe + xe + xe) = f(x)

C'è una corrispondenza biunivoca tra le funzioni e le matrici di rappresentazione.

L'utilità di porre f(x) = A(x) è enorme: ci permette di dire tutto su una funzione in maniera molto semplice.

Esempio:

f(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, x1 - 2x2)

La matrice di rappresentazione avrà n = 3 e m = 2, cioè sarà A(2x3)

f(e) = f(1, 0, 0) = (1, -2) (è la prima colonna della matrice)

f(e) = f(0, 1, 0) = (2, 0) (è la seconda colonna della matrice)

f(e) = f(0, 0, 1) = (0, 1) (è la terza colonna della matrice)

A =

1 2 0

-2 0 1

Moltiplicando la matrice per il generico vettore si avrà la funzione:

x1 2 0 * = (x1 + 2x2, -2x2 + x3)

Trasmissione della linearità nella composizione di funzioni lineari.

1) Addizione fra funzioni lineari.

IRn m

f: IR

C.E.: dominio e codominio di f e g

coincidono»IRn mg: IRf, g lineari(f+g)(x) è lineare, perché1) (f+g)(x+y) = (f+g)(x) + (f+g)(y)(f+g)(x+y) = f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = (f+g)(x)+(f+g)(y)cIR xIRn2) (f+g)(cx) = c(f+g)(x)IRn mf: IR A (mxn)IRn mg: IR B(mxn)IRn m(f+g): IR C=A+BLa somma di funzioni lineari è una funzione lineare e la sua matrice di rappresentazione è la somma delle matrici di rappresentazione delle singole funzioni.2) Moltiplicazione fra funzioni lineari.IRn mf: IR linearec IRc * f(x) è linearef(x) = A(mxn)c*f(x) = c*A(mxn)3) Composizione di funzioni lineari.La funzione composta di due funzioni lineari è lineare.IRp mf: IR IRn pg: IRC.E.: codominio di g coincide con il dominio di f.∘f g è lineare perché∘ →n mf g = f(g(x)): IR IRn p mIR IR IRg f∘ ∘ ∘1) (f g)(x+y) = (f g)(x)+(f g)(y)∘(f g)(x+y) = f(g(x+y)) = f(g(x)+g(y)) = f(g(x)) + f(g(y))∘ ∘2) (f g)(cx) = c(f g)(x)f(g(cx)) = f(c*g(x)) =

c*f(g(x)) → IRⁿ

pg: IR = B(pxn) → IR^p

nf: IR = A(mxp) → IRⁿ

mfog: IR = C=A*B (il numero di righe di B = numero di colonne di A)

La composizione di funzioni è uguale al prodotto di matrici.

Prodotto di matrici.

2 3 1 1 3 4 13 A B

2x3 3x2* =

0 1 2 0 2 4 4 C

2x2

2 1

c c₁₁ c₁₂

c c₂₁ c₂₂ = 1° riga della prima matrice per la 1° colonna della seconda matrice.

c = 1° riga della prima matrice per la 2° colonna della seconda matrice.

c = 2° riga della prima matrice per la 1° colonna della seconda matrice.

c = 2° riga della prima matrice per la 2° colonna della seconda matrice.

2+0+2 6+6+1

C= 0+0+4 0+2+2

Σpk=1c = a * b → a *b + a * b + a * bij ik kj i1 1j i2 2j i3 3j

C.E.: numero di righe di A = numero di colonne di B.

Analogamente con le funzioni:

∘A * B B * A

∘f∘g g f

Ma ci sono alcune eccezioni:

∘ ∘-1 -1

f f = f f

∘ ∘f Id = Id f

per cui -1 -1

A*A = A *A

In * A = A * In

A*B = matrice nulla.

Non è sempre vero che, per ottenere la

matrice nulla, sia necessario che A o B sia la matrice nulla in un prodotto A*B.
Esempio:

1 0
A = 0 0
    0 0

1 1
B = 0 0
    0 0

A * B = 
1 0
0 0
0 0

Si è ottenuta la matrice nulla senza che una delle due matrici fattori fosse nulla.

La matrice identità.
In = matrice identità.
Esempio:

1 0 0
I = 0 1 0
    0 0 1

È una matrice quadrata (n*n) tale che: A * In = In * A = A (n*n)
La matrice invertibile.
Una matrice A quadrata (n*n) è invertibile se esiste una matrice B quadrata tale che A * B = B * A = In-1
B è detta matrice inversa di A e si indica con A^-1, per cui A * A^-1 = A^-1 * A = In-1
Perché esista A^-1, A deve essere iniettiva e suriettiva. → IR^n → n
Una funzione, infatti, è invertibile se e solo se: f: IR^n → IR^n
dim Ker(f) = 0
dim Im(f) = n
dim Ker(f) + dim Im(f) = n
n = n, quindi f è iniettiva e suriettiva → IR^n → n
Se f: IR^n → IR^n è lineare e invertibile, la funzione inversa sarà anch'essa lineare.
La matrice di f è la matrice inversa,

Cioè quella matrice che, combinata con A, sia uguale a A*A = In.

IRn nf: IR ⇔ f(x) = A(x) è invertibile A è invertibile

Determinante di una matrice.

Data una matrice A quadrata, è possibile definire il determinante, cioè un numero (nxn) che la qualifica. Det(M) IRnxn

Il determinante viene definito in maniera induttiva, servendosi cioè del determinante della matrice quadrata (n-1)x(n-1).

Determinante della matrice 1x1.

A = (a) Det(A) = |A| = a

Il determinante di una matrice 1x1 è il numero che la compone.

Determinante della matrice nxn.

Data una matrice quadrata:

a a a a

11 12 1j 1n

A =

a a a a

21 22 2j 2n

a a a a

i1 i2 ij in

a a a a

n1 n2 nj nn

Per poter definire il determinante è necessario prendere in esame la definizione di:

1) Minore complementare (M): determinante della matrice quadrata che si ottiene togliendo la riga iesima e la colonna jesima. Si avrà così un calo unitario nella matrice che diventerà

(n-1*n-1).2) Complemento algebrico (A ): il determinante della matrice quadrata che si ottiene togliendo la riga iesima e la colonna j-esima moltiplicato alla –1 ed elevato alla i+j. i+jA = (-1) Mij ij Se i+j è pari M = Aij ij Se i+j è dispari A = -Mij ij

Esempio.
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
a a a
31 32 33
Mij = a a11 13
a a
a a31 33
Considerando ora
A = M = ij ij Σnk=1 a A = det A = |A|
1k 1k
a = ogni elemento della prima riga.
1kA = complemento algebrico.
1kMatrice 2*2
a a
11 12
A= a a
21 22
det A = |A| = 11 12 = a *a – a *a
11 22 12 21
a a
21 22
È stato calcolato così il determinante in base alla prima riga.
Matrice 3*3
a a a
11 12 13
a a a
21 22 23
det B = |B| = a a a – a a a + a a a
31 32 33 11 22 23 12 21 23 13 21 22
a a a a a a
32 33 31 33 31 32
= a *a *a – a *a *a .
11 22 33 11 23 32
Matrice 4*4
Per calcolare il determinante di una matrice 4*4 ci si riconduce al caso di una matrice 3*3 e, con

Un secondo passaggio al caso di una matrice 2*2. È importante rilevare che il determinante può essere sviluppato anche secondo una colonna e non solo secondo una riga, infatti è valida la scrittura:

Σ Σ_n=1 _n=1det A = |A| = a *A = a *A_ik ik kj kj

Esempio.

1 2

0 5 -1 = ...

0 4 1

In questo caso conviene calcolare il determinante in base alla 1° colonna, perché ci sono molti zeri e i calcoli sarebbero notevolmente semplificati.

• Proprietà del determinante.

1) Il determinante di una matrice con una colonna o una riga composta da 0 è 0.

2) Il determinante non cambia se a una riga aggiungo un'altra riga moltiplicata per un numero.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 In questo esempio

2 2 2 2

-2 2

0 0 0

= è stata

1 -1 3 1 -1 3 1 -1 3 moltiplicata la prima riga per -2 ed è stata poi sommata algebricamente alla seconda riga; è stata ottenuta una riga di 0, per cui il determinante è 0. Dall'esempio si può

anche dedurre che in due matrici il determinante è 0 anche se ci sono righe/colonne proporzionali. Esempio:

1	2	1
3	1	-1
0	1	3

Moltiplico la 1° riga per 2 e la sommo alla 2° riga:

1	2	1
5	5	-1
0	1	3

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