Algebra lineare - Appunti

non è una funzione lineare perché

1) f(x ) + f(x ) = f(x +x )

1 2 1 2

f(x ) + f(x ) = a(x +q) + a(x +q) = a(x +x ) + 2q

1 2 1 2 1 2

f(x +x ) = a(x +x ) + q

1 2 1 2



f(x +x ) f(x ) + f(x )

1 2 1 2

La funzione è lineare solo nel caso in cui q=0

Esempio. IR

3 2

f: IR

f(x, y, z) = (x-y, z)

La funzione è lineare perché

1) f(x , y , z ) + f(x , y , z ) = f(x +x , y +y , z +z )

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

f(x , y , z ) + f(x , y , z ) = (x -y , z ) + (x -y , z ) = x -y +x -y , z +z =

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2

= x +x -y -y , z +z = ((x +x ) – (y +y ), z +z )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

f(x +x , y +y , z +z ) = ((x +x ) – (y +y ), z +z )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2) f(a*x) = a*f(x)

f(ax) = (ax-ay, az) = (a(x-y), az) = a(x-y, z) = a*(f(x))

Esempio. IR

f: M

(2x2)

a a

11 12

f = a +a

11 22

a a

21 22

1) a +a + b +b = a +b +a +b = a +a +b +b

11 22 11 22 11 11 22 22 11 22 11 22

2) Dispensa.

 Proprietà delle funzioni lineari.

1) f(c x + c x + c x ) = c f(x ) + c f(x ) + c f(x )

1 2 n

1 1 2 2 n n 1* 2* n*

V

2) f: VW W

f 0

w

0

v

f(0 ) = 0

v w f(0 ) = f(0*0) = 0*f(0 ) = 0

v v w

3) f(-x) = f(-1*x) = -1*f(x) = -f(x)

4) f lineare f: VW

V W

F(V)



Se f(V)W f(V) è uno spazio vettoriale

Dimostrazione che f(V) è sempre sottospazio vettoriale di W nelle

funzioni lineari. 0

1) f(V), perché contiene almeno 0 (0 )

v w



2) con z e w f(V)W

z+wf(V) (per la 2° proprietà)

xV; xf(x)=z ( xV:f(x)=z)

yV; yf(y)=w ( yV:f(y)=w)

f(x)=z

f(y)=w

f(x)+f(y)=z+w

f(x)+f(y) = f(x+y) = z+w (appartiene a W ed è immagine di x+y)

3) zf(V)

   

a*z f(V) x V : f(x)=z

f(a*x) = a*f(x) = a*z

a*z = f(a*x) x f(x)=z

ax f(ax)

f è sottospazio vettoriale di W e in questo caso f(V)=Im f.

 Nucleo (o Kerf) di una funzione lineare.

Dicesi nucleo o Kerf l’insieme di tutti i vettori di V che hanno come immagine il

vettore nullo di W. xV 

Kerf = : f(x)=0 w

Se f non è iniettiva oltre al vettore 0 possono esserci altri vettori la cui immagine è 0

v w

e il Kerf è l’insieme i questi più 0 .

v

Il Kerf è sottospazio vettoriale di V:

 

1) Kerf (perché c’è almento 0 con immagine 0 ).

v w



2) xKerf f(x) = 0

w



yKerf f(y) = 0

w



x+yKerf f(x)+f(y) = f(x+y) = 0

w



3) xKerf f(x) = 0

w

a*xKerf

f(a*x) = a*(f(x)) = a*0 = 0

w w

Kerf è un sottospazio vettoriale. Di conseguenza se contiene x0 , contiene infiniti

v

vettori, perché, come spazio vettoriale, conterrà anche ax, bx, cx,… L’alternativa è

che contenga un unico vettore, cioè 0 (o solamente 0 oppure infiniti vettori).

v v

 Proprietà del Kerf.

1) f: VW lineare  =0 

f iniettiva Kerf = v

 0 

Dimostrazione che se f iniettiva Kerf = v



Si suppone per assurdo che x0 : f(x) = 0

v w

La funzione non può essere iniettiva perché f(0 )=0 e f(x)=0

v w w



Dimostrazione che se Kerf=0 f iniettiva.

Si suppone per assurdo che f non sia iniettiva e quindi



f(x )=f(x ) con x x .

1 2 1 2

f(x )-f(x )=0

1 2 w 

f(x -x )=0 , ma x -x 0 quindi è impossibile.

1 2 w 1 2 v,

2)Teorema delle dimensioni.

V W

Imf

Kerf dim Kerf + dim Imf = n = dim V

Se il Kerf contiene solo il vettore nullo (cioè ha un solo elemento), come qualsiasi

altro sottospazio, allora si dice che ha dimensione 0. In base alla regola sopra esposta

è possibile sapere quando una funzione lineare è suriettiva in base alla dimensione.

Esempio.

Sapendo che dim V = 3, dim W = 3, dim Kerf = 0

0 + dim Imf = 3

La funzione è suriettiva perché dim V = dim Imf.

Esempio.

Sapendo che dim Kerf = 1, dim V = 3

1 + dimf = 3

dimf = 2

La funzione non è suriettiva.

Esempio.

IR

3 2

f: IR

f(x , x , x ) = (ax + 2ax , x ) con aIR

1 2 3 1 2 3

(a(x +2x ), x )

1 2 3

Calcolo il Kerf per conoscere la sua dimensione.

Con a=0

f(x , x , x ) = (0, x ).

1 2 3 3

In questo caso il Kerf sarà dato da tutti quei vettori che avranno come 3°

componente lo 0, cioè x =0.

3

Esempio.

f(3, 5, 0) = (0, 0) = 0

Il Kerf sarà cioè dato da tutti quei vettori del tipo:

x , x , 0 = Kerf

1 2

Trovando la base canonica, il vettore diventa:

x (1, 0, 0) + x (0, 1, 0) = (x , x , 0)

1 2 1 2

La dim Kerf = 2, perché servono due vettori per una base.

dim Kerf + dim Imf = 3

2 +1 = 3

Con a0

a(x +2x ) = 0

1 2

x = 0 (x +2x ) = 0

3 1 2 -2x

Kerf = , x , 0

x = 0 2 2

3

che può essere anche espresso come: x (-2, 1, 0). La dim Kerf =

2

1.

x = -2x

1 2

x = 0 dim Kerf + dim Imf = 3

3 1 +2 = 3

 Moltiplicazione tra una matrice e un vettore.

a a a a x + a x + a x

11 12 1n 11 1 12 2 1n n

a a a a x + a x + a x x

21 22 2n 21 1 22 2 2n n 1

=

a a a a x + a x + a x x

31 32 3n 31 1 32 2 3n n 2

*

a a a a x + a x + a x x

m1 m2 mn m1 1 m2 2 mn n 3

x n



nj=1 a x

1j j



nj=1 a x

2j j



nj=1 a x

3j j



nj=1 a x

mj j

=

Si ottiene un vettore di n componenti; il prodotto fra una matrice e un vettore può

essere effettuato se e solo se il vettore ha lo stesso numero di componenti degli

elementi che compongono ogni riga della matrice.

La matrice può essere pensata come una funzione che prende un vettore, lo trasforma

moltiplicandolo e lo rende ancora un vettore.

IR

n m

A=f : IR

Valgono, infatti, le stesse proprietà delle funzioni anche per le matrici:

A(x+j) = A * x + A * j

A(c*x) = c*A*x

 Teorema delle rappresentazioni.

IR

n m

f: IR



1) A : f(x) = Ax

m*n

2) La matrice A ha come colonne i trasformati mediante f della base canonica

f(e ) = a (dove a è la jesima colonna di A).

j j j

f(e ) = a

1 1

f(e ) = a

2 2

f(e ) = a

n n

f(e ) = a = Ae

1 1 1

Ax = f(x)

X

x = x e + x e + x e

1 1 2 2 n n

Ax = A(x e +x e +x e ) = x Ae +x Ae +x Ae = x a +x a +x a =

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

= x f(e )+x f(e )+x f(e ) = f(x e )+f(x e )+f(x e ) = f(x e +x e +x e ) = f(x)

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

C’è una corrispondenza biunivoca tra le funzioni e le matrici di rappresentazione.

L’utilità di porre f(x)=A(x) è enorme: ci permette di dire tutto su una funzione in

maniera molto semplice.

Esempio.

f(x , x , x ) = (x +2x , x -2x )

1 2 3 1 2 3 1

IR

3 2

f: IR

La matrice di rappresentazione avrà n=3 e m=2, cioè sarà A .

(2x3)

f(e ) = f(1, 0, 0) = (1, -2) (è la prima colonna della matrice)

1

f(e ) = f(0, 1, 0) = (2, 0) (è la seconda colonna della matrice)

2

f(e ) = f(0, 0, 1) = (0, 1) (è la terza colonna della matrice)

3 A= 1 2 0

-2 0 1 Moltiplicando la matrice per il generico

vettore si avrà la funzione:

x

1

1 2 0 * = (x +2x , -2x +x )

x 1 2 1 3

2

-2 0 1 x

3

 Trasmissione della linearità nella composizione di funzioni lineari.

1) Addizione fra funzioni lineari.

IR

n m

f: IR C.E.: dominio e codominio di f e g coincidono

IR

n m

g: IR

f, g lineari

(f+g)(x) è lineare, perché

1) (f+g)(x+y) = (f+g)(x) + (f+g)(y)

(f+g)(x+y) = f(x+y)+g(x+y) = f(x)+f(y)+g(x)+g(y) = (f+g)(x)+(f+g)(y)

cIR xIR

n

2) (f+g)(cx) = c(f+g)(x)

IR

n m

f: IR A (mxn)

IR

n m

g: IR B

(mxn)

IR

n m

(f+g): IR C=A+B

La somma di funzioni lineari è una funzione lineare e la sua matrice di

rappresentazione è la somma delle matrici di rappresentazione delle singole

funzioni.

2) Moltiplicazione fra funzioni lineari.

IR

n m

f: IR lineare



c IR

c * f(x) è lineare

f(x) = A

(mxn)

c*f(x) = c*A

(mxn)

3) Composizione di funzioni lineari.

La funzione composta di due funzioni lineari è lineare.

IR

p m

f: IR IR

n p

g: IR

C.E.: codominio di g coincide con il dominio di f.

∘

f g è lineare perché

∘ →

n m

f g = f(g(x)): IR IR

n p m

IR IR IR

g f

∘ ∘ ∘

1) (f g)(x+y) = (f g)(x)+(f g)(y)

∘

(f g)(x+y) = f(g(x+y)) = f(g(x)+g(y)) = f(g(x)) + f(g(y))

∘ ∘

2) (f g)(cx) = c(f g)(x)

f(g(cx)) = f(c*g(x)) = c*f(g(x))

IR

n p

g: IR = B

(pxn)

IR

p n

f: IR = A

(mxp)

IR

n m

fog: IR = C=A*B (il numero di righe di B = numero di colonne di A)

La composizione di funzioni è uguale al prodotto di matrici.

 Prodotto di matrici.

2 3 1 1 3 4 13 A B

2x3 3x2

* =

0 1 2 0 2 4 4 C

2x2

2 1

C= c c

11 12

c c

21 22

c = 1° riga della prima matrice per la 1° colonna della seconda

11

matrice.

c = 1° riga della prima matrice per la 2° colonna della seconda matrice.

12

c = 2° riga della prima matrice per la 1° colonna della seconda matrice.

21

c = 2° riga della prima matrice per la 2° colonna della seconda matrice.

22 2+0+2 6+6+1

C= 0+0+4 0+2+2



pk=1

c = a * b => a *b + a * b + a * b

ij ik kj i1 1j i2 2j i3 3j

C.E.: numero di righe di A = numero di colonne di B.

Analogamente con le funzioni:



A * B B * A

∘



f∘g g f

Ma ci sono alcune eccezioni:

∘ ∘

-1 -1

f f = f f

∘ ∘

f Id = Id f

per cui -1 -1

A*A = A *A

In * A = A * In

 A*B = matrice nulla.

Non è sempre vero che, per ottenere la matrice nulla, sia necessario che A o B sia la

matrice nulla in un prodotto A*B.

Esempio. 1 0

A= 0 0 0 0

1 1 In questo

B= 0 0 0 0 esempio

* =

1 1 0 0 si è

ottenuta

1 0 la matrice nulla senza che una delle due matrici fattori fosse nulla.

0 0

 Matrice identità.

In = matrice identità.

Esempio. 1 0 0

I = 0 1 0

3 0 0 1

È una matrice quadrata (n*n) tale che: A * In = In *

(nxn)

A (nxn)

 Matrice invertibile.

Una matrice A quadrata (n*n) è invertibile se esiste una matrice B quadrata tale che

A*B = B*A = In

-1

B è detta mattrice inversa di A e si indica con A , per cui

-1 -1

A*A = A *A = In

-1

Perché esista A , A deve essere iniettiva e suriettiva. IR

n n

Una funzione, infatti, è invertibile se e solo se: f: IR

dim Kerf = 0

dim Imf = n

dim Kerf + dim Imf = n

n = n, quindi f è iniettiva e suriettiva

IR

n n

Se f: IR è lineare e invertibile, la funzione inversa sarà anch’essa lineare.

-1

La matrice di f è la matrice inversa, cioè quella matrice che, combinata con A, sia

-1

uguale a A*A = In. IR

n n

f: IR 

f(x) = A(x) è invertibile A è invertibile

 Determinante di una matrice.

Data una matrice A quadrata, è possibile definire il determinante, cioè un numero

(nxn)

che la qualifica. Det.

M IR

nxn

Il determinante viene definito in maniera induttiva, servendosi cioè del determinante

della matrice quadrata (n-1)*(n-1).

- Determinante della matrice 1*1.

A = (a)

Det A = |A| = a

Il determinante di una matrice 1*1 è il numero che la compone.

- Determinante della matrice n*n.

Data una matrice quadrata:

a a a a

11 12 1j 1n

A= Per poter definire il determinante

a a a a

21 22 2j 2n è necessario prendere in esame la

a a a a

i1 i2 ij in definizione di:

a a a a

n1 n2 nj nn

1) Minore complementare (M ): determinante della matrice quadrata che si

ij

ottiene togliendo la riga iesima e la colonna jesima. Si avrà così un calo unitario

nella matrice che diventerà (n-1*n-1).

2) Complemento algebrico (A ): il determinante della matrice quadrata che si

ij

ottiene togliendo la riga iesima e la colonna jesima moltiplicato alla –1 ed elevato

alla i+j. i+j

A =(-1) M

ij ij

Se i+j è pari M = A

ij ij

Se i+j è dispari A = -M

ij ij

Esempio. a a a

11 12 13

a a a

21 22 23

a a a

31 32 33

M

ij=

a a

11 13

a a

a a

31 33

11 13

a a

31 33

Considerando ora

A = M =

ij ij 

nk=1 a A = det A = |A|

1k 1k

a = ogni elemento della prima riga.

1k

A = complemento algebrico.

1k

Matrice 2*2 a a

11 12

A= a a

21 22

a a

det A = |A| = 11 12 = a *a – a *a

11 22 12 21

a a

21 22

È stato calcolato

così il determinante in base alla prima riga.

Matrice 3*3

a a a

11 12 13

a a a

21 22 23

det B = =

a a a

31 32 33 = a a a -a a a +a a a

11 22 23 12 21 23 13 21 22

a a a a a a

32 33 31 33 31 32

= a *a *a – a *a *a .…(ci si riconduce al caso del determinante di matrice 2*2)

11 22 33 11 23 32

Matrice 4*4

Per calcolare il determinante di una matrice 4*4 ci si riconduce al caso di una matrice

3*3 e, con un secondo passaggio al caso di una matrice 2*2.

È importante rilevare che il determinante può essere sviluppato anche secondo una

colonna e non solo secondo una riga, infatti è valida la scrittura:

 

nk=1 nk=1

det A = |A| = a *A = a *A

ik ik kj kj

Esempio.

1 2 3

0 5 -1 = ….

0 4 1

In questo caso conviene calcolare il determinante in base alla 1° colonna, perché ci

sono molti zeri e i calcoli sarebbero notevolmente semplificati.

 Proprietà del determinante.

1) Il determinante di una matrice con una colonna o una riga composta da 0 è 0.

2) Il determinante non cambia se a una riga aggiungo un’altra riga moltiplicata

per un numero.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 In questo esempio

= 0

2 2 2 2-2 2-2 2-2 0 0 0

= = è stata

1 -1 3 1 -1 3 1 -1 3 moltiplicata la

prima riga per –2 ed è stata poi sommata algebricamente alla seconda riga; è stata

ottenuta una riga di 0, per cui il determinante è 0. Dall’esempio si può anche dedurre

che in due matrici il determinante è 0 anche se ci sono righe/colonne proporzionali.

Esempio.

1 2 1 3

0 1 1 -1

0 1 3 3

2 1 3 5

Moltiplico la 1° riga per –2 e la sommo con l’ultima riga.

1 2 1 3 1 1 -1

0 1 1 -1 = 1* =

1 3 3

0 1 3 3 -3 1 -1

0 -3 1 -1

Sommo la 3° colonna con la 1° colonna

0 1 -1 =

4 3 3

-4 1 -1

Sommo la 2° riga alla 3° colonna

0 1 -1 1 -1

= -4* = -4

4 3 3 4 2

0 4 2 3) Il determinante della matrice identità è uguale a 1.

1 0 0 0

0 1 0 0 = 1

0 0 1 0

0 0 0 1 |In| = 1

4) Moltiplicando i complementi algebrici di una riga per i complementi algebrici di

un’altra riga e sommandoli si ottiene 0.



ik=1 a *A = 0

ik jk

5) Moltiplicando i complementi algebrici di una colonna per i complementi

algebrici di un’altra colonna e sommandoli si ottiene 0.



nk=1 a *A = 0

kj ki

6) Teorema di Binet.

Date A, B (quadrate)

(nxn)

|A*B| = |A|*|B|

7) Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da 0.

Di conseguenza una funzione è invertibile se e solo se il determinante della sua

matrice di rappresentazione è diverso da 0.



Dimostrazione che A invertibile |A|0

-1 -1

A*A = A *A = In



-1 -1

|A*A | = 1 |A|0 et |A |0 (e sono l’uno il reciproco dell’altro).



Dimostrazione che |A|0 A invertibile

B

Si inserisce B : b = A /|A|

(nxn) ij ji

|A|0 per ipotesi.

A*B = In

B*A = In -1

B è l’inversa di A = A A B

a a a a A /|A| A /|A| A /|A|

11 12 13 1n 11 21 n1

a a a a A /|A| A /|A| A /|A|

21 22 23 2n 12 22 n2

*

a a a a A /|A| A /|A| A /|A| Si moltiplica

n1 n2 n3 nn 2n 2n nn la prima riga

per la prima colonna.

a A + a A + …a A

11 11 12 12 1n 1n = |A|/|A| = 1

|A|

Si moltiplica la 1° riga per la 2° colonna.

A A + a A + … a A

11 21 12 22 1n 2n = 0

|A|

Per il calcolo della matrice inversa si può seguire una scala di operazioni:

b = A /|A|

ij ji

1) Calcolare il |A|.

2) Se |A|0 (altrimenti non è invertibile), si calcola la matrice dei complementi

algebrici. A A A

11 12 1n

A A A

3) Si fa la trasposta della matrice dei complementi algebrici

21 22 2n

A A A

(si scambiano le righe con le colonne).

n1 n2 nn

A A A

11 21 n1 t

= A

A A A

12 22 n2

A A A

1n 2n nn

4) Si divide la trasposta per |A|.

 Righe e colonne di una matrice.

a a a = r

11 12 1n 1

a a a = r

21 22 2n 2

a a a = r

m1 m2 mn m

|| || ||

c c c

1 2 3

r e c sono tutti vettori. c e r appartengono a sottospazi vettoriali diversi (ad esempio

i i i i

1 4

IR e IR )

f(x) = Ax

a a a x

11 12 1n 1 =

a a a x

21 22 2n 2

a a a x

m1 m2 mn n x = Ax

n

a a a A) Considerando lo spazio generato

11 12 1n

= x + x +

a a a

1 2 dalle colonne:

21 22 2n

a a a

m1 m2 mn

C = <c , c , c > = Ax

1 2 n

Lo spazio generato dalle colonne, dato da tutte le possibili combinazioni di c ,

n

coincide con l’insieme immagine della funzione, che ha la matrice A come

matrice di rappresentazione.

B) Considerando lo spazio generato dalle righe:

R = <r , r , r >

1 2 n

dim R = dim C

Il numero massimo di colonne linearmente indipendenti è uguale al numero massimo

di righe linearmente indipendenti, per cui dim R = dim C.

Dato che l’insieme generato dalle colonne è l’immagine dei vettori, il numero

massimo di colonne linearmente indipendenti sarà uguale alla dimensione

dell’immagine: dim C = dim Ax = dim f(x)

Avendo la dim A(x) posso calcolare anche la dim Ker A(x) e stabilire la suriettività,

l’iniettività e, quindi, l’invertibilità della funzione.

 Caratteristica o rango di una matrice.

Data una matrice A si dice rango di A e si indica con k(A) il numero massimo di

(mxn)

righe (o di colonne) linearmente indipendenti.

 Rango di matrici quadrate.

Il rango di una matrice quadrata è direttamente legato al determinante di una matrice.

Per una matrice quadrata, infatti, le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1) k(A) = n

2) Le righe di A sono linearmente indipendenti

3) Le colonne di A sono linearmente indipendenti

4) Il determinante di A è diverso da 0