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Algebra lineare - nozioni varie

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: gli spazi vettoriali associati alla matrice, le applicazioni, l'insieme delle soluzioni del sistema lineare, le matrici quadrate,le matrici invertibili, le definizioni, le dimostrazioni, le osservazioni, l'esercizio svolto.

Esame di Algebra lineare docente Prof. P. Cellini

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31

Dimostrazione. È chiaro che ogni elemento u + v in u + V è una soluzione perché

A(u + v) = Au + Av = b + 0 = b. Viceversa, se z è una soluzione di Ax = b, allora

− − − −

z u è una soluzione di Ax = b, perché A(z u) = Az Au = b b = 0, e quindi

− ∈

z = u + (z u) u + V . A

Definizione 2. Sia U uno spazio vettoriale. Un sottoinsieme di U si dice un

sottospazio affine di U se esistono un vettore u in U e un sottospazio vettoriale V

A

di U tali che = u + V . A.

In tal caso V si chiama il sottospazio (vettoriale) di giacitura di

La dimensione di un sottospazio affine è per definizione la dimensione del suo

sottospazio di giacitura.

Osservazioni.

1. Il teorema precedente dice che l’insieme delle soluzioni di un sistema non omo-

m

geneo in m incognite, se non è vuoto, è un sottospazio affine di che ha come

R

sottospazio di giacitura l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato.

A

2. Se è un sottospazio affine, nelle notazioni della Definizione 2, il sottospazio

vettoriale di giacitura V è univocamente determinato e coincide con l’insieme delle

A:

differenze di elementi di 0 0

{z − | ∈ A}

V = z z, z [Dimostrare].

Invece il vettore u non è univocamente determinato. È chiaro che deve essere

A, ∈ A,

V , ma può essere qualunque elemento di cioè

un elemento di perché 0

A ∈ A. z è un arbitrario elemento

= z + V per ogni z Quindi abbiamo anche che se

A,

fissato di allora def

A − {z − | ∈ A}.

V = z = z z

3. Un sottospazio vettoriale W di uno spazio vettoriale U è un sottospazio affine

o qualsiasi altro vettore

(nelle notazioni della Definizione, come “u” basta prendere 0

di W e come V basta prendere W stesso).

3

4. Un sottospazio affine di , nell’interpretazione geometrica corrisponde a un

R

“traslato ” di un sottospazio vettoriale. Nelle notazioni della Definizione 2, V in

questo caso può essere l’origine, una retta o un piano per l’origine, o tutto lo spazio.

32

Il sottospazio affine u + V nel primo caso è il punto u stesso, nel secondo caso è una

retta o un piano parallelo a V e passante per u, nel terzo caso è tutto lo spazio.

Nel prossimo esempio mostriamo come la forma parametrica delle soluzioni di un

sistema non omogeneo Ax = b fornisca in modo esplicito una soluzione particolare

(la “u” del Teorema), lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato ed

una base di quest’ultimo.

Esempio 2. Consideriamo il sistema lineare

− − −

 x x x 3x = 1

1 2 3 4

−x + x + x + x = 1

1 2 3 4

 − − −

 x x x 5x = 3

1 2 3 4

Riduciamo a scala la matrice completa del sistema:

   

−1 −1 −3 | −1 −1 −3 |

1 1 1 1

II7→ II+I III7→

III−II

III7→ III−I

−1 | −−−−−−−→ −2 | −−−−−−−−→

1 1 1 1 0 0 0 2

   

−1 −1 −5 | −2 |

1 3 0 0 0 2

 

−1 −1 −3 |

1 1

−2 |

0 0 0 2 .

 

|

0 0 0 0 0

Quindi il sistema dato è equivalente a

− − −

x x x 3x = 1

1 2 3 4

− 2x = 2

4

Risolvendo in funzione di x e x troviamo

2 3 −

x = x + x 2

1 2 3

−1

x =

4

e quindi l’insieme delle soluzioni del sistema è

a + b 2

 

 

a

 

| ∈

a, b .

  R

b 

 

 

−1

Decomponiamo la soluzione generale separando le costanti e i parametri, nel modo

seguente: − −2 −2

a + b 2 a + b 1 1

           

a 0 a 0 1 0

= + = + a + b .

         

 

b 0 b 0 0 1

           

−1 −1 −1

0 0 0 33

t

Ora osserviamo che il vettore ( 2, 0, 0, 1) è una soluzione del sistema, precisa-

− −

mente è quella che si ottiene quando a = b = 0. E, poichè al variare di a, b in R,

t t

( 2, 0, 0, 1) + (a + b, a, b, 0) descrive l’insieme di tutte le soluzioni, per il Teorema

− −

e per l’Osservazione 1 otteniamo che

a + b 

  

 a 

 | ∈

a, b

  R

b

  

 

 0

è l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Inoltre, ragionando come

t t

{

nell’Esempio 1, otteniamo che (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)} è una sua base.

Fin qui abbiamo dimostrato che l’insieme delle soluzioni di un sistema lineare è

un sottospazio affine, ed è un sottospazio vettoriale se il sistema è omogeneo. Vale

m

anche il viceversa, cioè: ogni sottospazio affine di è l’insieme delle soluzioni

R

di un sistema lineare in m incognite, e un sottospazio vettoriale è l’insieme delle

soluzioni di un sistema lineare omogeneo. m

A

Definizione 3. Sia un sottospazio affine di . Un sistema di equazioni lineari

R

L A A

in m incognite si dice un sistema di equazioni cartesiane di se è l’insieme

L.

delle soluzioni di m

Dunque ogni sottospazio affine di ha un sistema di equazioni cartesiane (in

R

realtà ne ha infiniti). Una dimostrazione generale di questo fatto sarà data più

avanti. A

Qui mostriamo con degli esempi come, dato un sottospazio affine = u + V ,

m m

∈ A

di , con u e V sottospazio vettoriale di di cui conosciamo un insieme

R R

di generatori, si possa ottenere esplicitamente un sistema di equazioni cartesiane di

A. t t t

Esempio 3. Sia u = (1, 1, 0, 0), v = (1, 2, 2, 2), v = (1, 1, 1, 1), V =

− − − −

1 2

} A

Span{v , v e = u + V . Determiniamo un sistema di equazioni cartesiane di

1 2 4

A A

e di V . Per definizione gli elementi di sono sono tutti i vettori x di che

R

sono somma di u e di una combinazione lineare di v e v . Equivalentemente, un

1 2

m A

vettore x in appartiene a se e solo se esistono due numeri reali s e t tali che

R

34

x = u + sv + tv , quindi se e solo se l’equazione vettoriale nelle incognite s e t

1 2 −

sv + tv = x u

1 2

t

= (x , x , x , x ), l’equazione scritta sopra è equivalente al sistema

è risolubile. Se x 1 2 3 4

lineare di matrice completa | −

1 1 x 1 

 1

| −

2 1 x 1

2

 

−2 −1 | x

 

3

−2 −1 | x

4

Applichiamo l’eliminazione di Gauss fino a ridurre a scala la matrice dei coefficienti

del sistema: | −

| − 1 1 x 1

1 1 x 1

   

1

1 II7→ II−2I III7→

III7→ III+II

III+2I −1 | −

| − 0 x 2x + 1

2 1 x 1 7→ 7→

2 1

2 IV IV +2I IV IV +II

−−−−−−−→

−−−−−−−−→

   

| −

−2 −1 | 0 1 x + 2x 2

x  

 

3 3 1

−2 −1 | | −

x 0 1 x + 2x 2

4 4 1

| −

1 1 x 1

 

1

−1 | −

0 x 2x + 1

2 1 .

 

| −

0 0 x + x 1

 

3 2

| −

0 0 x + x 1

4 2

È chiaro che il sistema corrispondente alla matrice scritta sopra è risolubile se e solo

− −

soddisfano le due equazioni x + x 1 = 0 e x + x 1 = 0,

se le coordinate di x 3 2 4 2

perciò x + x = 1

2 3

x + x = 1

2 4

A.

è un sistema di equazioni cartesiane di

Per il Teorema e per l’Osservazione 1, V è l’insieme delle soluzioni del sistema

omogeneo associato a questo, quindi

x + x = 0

2 3

x + x = 0

2 4

è un sistema di equazioni cartesiane di V .

Esercizio 1. Fissato un sistema di riferimento nello spazio, siano P, Q, R, S i punti

di coordinate     

  1 0 2

1 −3

−1 ,

1 , S :

P : , Q : 1 , R :   

 

   −2 −1 1

0 35

(a) Determinare un sistema di equazioni parametriche e un sistema di equazioni

cartesiane della retta r passante per P e Q. La retta r passa per l’origine?

(b) Verificare che P, Q, R non sono allineati e determinare un sistema di equazioni

parametriche e un sistema di equazioni cartesiane del piano π passante per essi. Il

piano π passa per l’origine?

(c) Stabilire se il punto S appartiene a r e se appartiene a π.

Risoluzione.

(a) La retta r è descritta dall’equazione vettoriale parametrica

−−→ −→ −→ −→

OX = OP + t(

OQ OP ),

dove O è l’origine del sistema di riferimento e t è un parametro reale. Dette x, y, z

le coordinate del punto indeterminato X, l’equazione sopra scritta è

     

x 1 0

−1

y = + t 2 ,

     

−2

z 0

equivalente al sistema di equazioni parametriche

 x = 1

 −1

y = + 2t

−2t

z =

Per determinare un sistema di equazioni cartesiane di r possiamo procedere come

nell’Esempio 3, imponendo la risolubilità dell’ equazione, nell’incognita t,

−→ −→ −−→ −→

− −

t(

OQ OP ) = OX OP ,

ovvero la risolubilità del sistema lineare equivalente. Scrivendo la matrice completa

di questo sistema e applicando il procedimento di eliminazione per ridurre a scala

la matrice dei coefficienti otteniamo:

   

| − |

0 x 1 2 y +1

| → | −

2 y + 1 0 x 1 ,

   

−2 | |

z 0 z + y +1

dove abbiamo sommato la seconda riga alla terza e scambiato la prima con la

seconda riga. Quindi un sistema di equazioni cartesiane di r è

x =1 −1

y + z =

36

È chiaro che l’origine non è un punto della retta perché le sue coordinate (0, 0, 0)

non soddisfano le equazioni cartesiane. −→ −→

(b) Per vedere che P, Q, R non sono allineati basta osservare che i vettori OQ− OP =

−→ −→

t t

(0, 2, 2) e OR OP = ( 1, 2, 1) non sono proporzionali. Quindi esiste un unico

− − −

piano π passante per P, Q, R. Il piano π è descritto dall’equazione vettoriale

−−→ −→ −→ −→ −→ −→

− −

OX = OP + t(

OQ OP ) + s(

OR OP ),

cioè        

−1

x 1 0

−1

y = + t 2 + s 2

       

−2 −1

z 0

e quindi dal sistema di equazioni parametriche

 −

x = 1 s

 −1

y = + 2t + 2s

−2t −

z = s

Per ottenere un’equazione cartesiana di π studiamo la risolubilità del sistema nelle

incognite s, t corrispondente all’equazione vettoriale

−→ −→ −→ −→ −−→ −→

− − −

t(

OQ OP ) + s(

OR OP ) = OX OP .

Scriviamo la matrice completa del sistema e applichiamo l’eliminazione fino a

ridurre a scala la matrice dei coefficienti:

   

−1 | − |

0 x 1 2 2 y +1

| → −1 | − →

2 2 y +1 0 x 1

   

−2 −1 | |

z 0 1 z + y +1

 

|

2 0 y +1

−1 | −

0 x 1 .

 

|

0 0 z + y + x

Allora x + y + z =0

è un’equazione cartesiana di π (sistema di una sola equazione). Il piano π passa per

l’origine perché l’equazione è omogenea e quindi è soddisfatta dalla terna (0, 0, 0).

(c) Per determinare l’appartenenza di S alla retta e al piano basta controllare se le

coordinate di S soddisfano le rispettive equazioni cartesiane. Per r: le coordinate

37

di S non soddisfano la prima equazione cartesiana, quindi S non sta su r. Per π:

le coordinate di S soddisfano l’equazione cartesiana, quindi S sta appartiene a π.

Esercizio 2. Determinare un sistema di equazioni parametriche per il piano dello

spazio di equazione cartesiana y + z = 1.

Risoluzione. Nella formulazione del testo è sottinteso che è fissato un sistema

di riferimento e che x, y, z sono le coordinate del generico punto dello spazio. Per

risolvere l’esercizio basta risolvere il sistema di una sola equazione y + z = 1 espri-

mendo le soluzioni in forma parametrica. Possiamo scegliere indifferentemente y o

z come incognita indipendente ed esprimere l’altra in funzione di quella scelta, ad

esempio −z

y = + 1.

Anche x è indipendente, visto che non vi sono condizioni su di essa. Se poniamo

x = t e z = s (s, t parametri reali), otteniamo che la soluzione generale del sistema

è  

t

−s + 1

 

s

e quindi un sistema di equazioni parametriche di π è

 x = t

 −s

y = + 1

z = s

Esercizio 3. Determinare l’intersezione dei due piani dello spazio di equazioni

cartesiane −

x = 1, x 2y + z = 3,

rispettivamente.

Risoluzione. L’intersezione dei due piani è l’insieme dei punti le cui coordinate

x, y, z soddisfano entrambe le equazioni cartesiane, cioè soddisfano il sistema

x =1

x 2y + z = 3

38

Il sistema scritto è un sistema di equazioni cartesiane per la retta intersezione dei

due piani. Risolvendo il sistema troviamo un sistema di equazioni parametriche per

la retta:

x è determinata e uguale a 1; sostituendo nella seconda equazione ed esprimendo z

in funzione di y troviamo z = 2y + 2, quindi la soluzione generale del sistema è

 

1

a

 

2a + 2

che fornisce come equazioni parametriche per la retta intersezione

 x = 1

 y = a

z = 2a + 2

  

0

La retta intersezione è perciò la retta parallela al vettore 1 e passante per il

 

2

 

1

punto di coordinate 0 .

 

2 39

9. Matrici quadrate

Una matrice quadrata è una matrice con lo stesso numero di righe e di colonne.

M ×

Indichiamo con (R) l’insieme delle matrici reali quadrate n n. È chiaro che

n

M (R) è chiuso sia rispetto alla somma sia rispetto al prodotto di matrici. La

n ×

diagonale (principale) di una matrice quadrata n n è per definizione l’insieme

≤ ≤

degli elementi di posto (i, i) della matrice (1 i n).

Definizione 1. La matrice n×n che ha tutti gli elementi della diagonale principale

×

uguali a 1 e tutti gli altri elementi uguali a 0 si chiama matrice identità n n e si

denota con I :

n ···

1 0 0

 

···

0 1 0

 

I = .

... .. ..

..

n  

.

. .

 

···

0 0 1

M

Si verifica direttamente che per ogni A in (R) si ha I A = AI = A. Quindi

n n n

M

I è l’unità moltiplicativa di (R).

n n M

Definizione 2. Una matrice A in (R) si dice invertibile se esiste una matrice

n

×

B (necessariamente n n) tale che

AB = BA = I . (∗)

n

Vedremo che:

1. Se A è invertibile, allora esiste un’unica B che soddisfa le relazioni (∗).

−1

Tale B si chiama l’inversa di A e si denota con A .

2. Affinchè A sia invertibile è necessario e sufficiente che esista B tale che AB =

−1

I . In tal caso A = B (in particolare B è unica).

n

3. Affinché esista B tale che AB = I è necessario e sufficiente che rk A = n.

n ×

Dimostrazione di 3. Se B è una matrice n n qualunque, allora le colonne di

AB sono combinazioni lineari delle colonne di A. Se AB = I , allora tutti i vettori

n

n È chiaro

della base canonica di sono combinazioni lineari delle colonne di A.

R

40 n

che allora tutti i vettori di sono combinazioni lineari di colonne di A, quindi

R

n

C(A) = e rk A = n.

R n

C(A)

Viceversa, se rk A = n, allora = , in particolare ogni vettore della base

R

n

canonica di è una combinazione lineare di colonne di A: sia

R 1 n

· · ·

e = b A + + b A (∗∗)

i 1i ni

per i = 1, . . . , n. Ricordando le proprietà del prodotto di matrici, si vede subito

che la matrice B = (b ), cioè la matrice che ha per i-esima colonna i coefficienti

ki

della combinazione lineare (∗∗) (per i = 1, . . . , n), soddisfa AB = I .

n

n

Osserviamo infine che le colonne di A sono una base di (n generatori di uno

R

spazio di dimensione n), quindi i coefficienti che compaiono nella (∗∗) sono unici e

perciò B è unica. t

Dimostrazione di 2. È chiaro che rk A = rk A. Quindi, per il punto 3, se esiste

t

una B tale che AB = I , allora esiste anche una C tale che AC = I . In questo

n n

caso abbiamo che (regola per la trasposta di un prodotto, Paragrafo 3)

t t t t t

C ( A) = I , quindi CA = I .

n n

Abbiamo ottenuto che, se esiste una B tale che AB = I , allora esiste anche una

n

0 0 0

B tale che B A = I . Per concludere dobbiamo dimostrare che B = B. Questo

n

segue dall’associatività del prodotto di matrici, infatti si ha

0 0 0 0

B = I B = (B A)B = B (AB) = B I = B .

n n

Dimostrazione di 1. L’unicità di B segue chiaramente da 3 e 2.

Riassumiamo i risultati principali che abbiamo ottenuto.

×

Proposizione. Una matrice n n è invertibile se e solo se il suo rango è uguale

−1

a n. Se la matrice A è invertibile, allora la sua inversa A è l’unica matrice che

(nell’incognita X).

soddisfa l’equazione AX = I

n

Più avanti daremo un formula per calcolare l’inversa di una matrice invertibile.

Ora descriviamo un algoritmo per il calcolo dell’inversa. 41

Algoritmo per il calcolo della matrice inversa. Per la Proposizione prece-

×

dente, per determinare esplicitamente l’inversa di una matrice n n invertibile

A è sufficiente risolvere l’equazione AX = I . Come abbiamo osservato nella di-

n

mostrazione del punto 3 precedente, questo equivale a risolvere gli n sistemi lineari

= e , per i = 1, . . . , n. Se la matrice A è invertibile ciascuno di questi sistemi

Ax i

ha soluzione unica e le n soluzioni sono le colonne della matrice inversa. Gli n

sistemi da risolvere hanno tutti come matrice dei coefficienti A, quindi è chiaro che

le operazioni di riga che riducono a scala la matrice completa di uno qualunque di

questi sistemi riducono a scala anche tutti gli altri. Perciò la riduzione a scala può

essere fatta contemporaneamente lavorando sulla matrice completa

(A|I ),

n

poiché le colonne di I sono le colonne dei termini noti degli n sistemi considerati.

n

Osserviamo che al termine della riduzione a scala A è trasformata in una matrice

triangolare superiore, cioè con tutti gli elementi sotto la diagonale uguali a 0, e in

più con tutti gli elementi della diagonale diversi da 0, se A è invertibile (altrimenti

il rango non sarebbe n). Quindi questa prima parte dell’algoritmo controlla anche

se la matrice A è invertibile.

Se chiamiamo x , . . . , x le incognite dei nostri sistemi, dall’ultima riga della

1 n

matrice a scala leggiamo direttamente il valore soluzione per x in ciascuno dei

n

sistemi, cioè, se l’ultima riga è |b

0 . . . 0 α . . . b ,

n 1 n

allora b

b n

1 , . . . , x =

x = n

n α α

n n

= e , . . . Ax = e , rispettivamente. Questo

sono i valori di x nelle soluzioni di Ax 1 n

n

vuol dire che b

b 1 n

,...,

α α

n n

−1

è l’ultima riga di A .

A questo punto, estendiamo l’algoritmo di eliminazione operando la cosiddetta

eliminazione dal basso. Cioè: eliminiamo l’incognita x da tutte le equazioni prece-

n

denti la n-esima, sommando a queste un opportuno multiplo della n-equazione.


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Frau81

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frau81 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Cellini Paola.

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