Algebra lineare - nozioni varie

Lezioni di algebra lineare: II Parte

6. Gli spazi vettoriali associati a una matrice

Definizione 1. Un sistema di equazioni lineari si dice omogeneo se la sua colonna dei termini noti è nulla. Altrimenti si dice non omogeneo.

Proposizione 1. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in m incognite è uno sottospazio vettoriale di R.

Dimostrazione. Un sistema omogeneo è di tipo Mx = 0, dove M, la matrice dei coefficienti, è n × m se m è il numero delle incognite e n il numero delle equazioni. Le soluzioni del sistema sono i v tali che Mv = 0. Per dimostrare che l'insieme di queste soluzioni è un sottospazio vettoriale di R, utilizziamo le proprietà delle operazioni tra matrici enunciate nella Proposizione 2 del Paragrafo 2. Se v, v₀ sono soluzioni, allora M(v + v₀) = Mv + Mv₀ = 0 + 0 = 0, quindi anche v + v₀ è una soluzione. Inoltre, se λ ∈ R, allora M(λv) = λ(Mv) = λ0 = 0, quindi anche λv è una soluzione.

Definizione 2. Spazio nullo, spazio delle colonne e spazio delle righe di una matrice. Sia M una matrice reale n×m. A M associamo i tre spazi vettoriali seguenti:

• N(M) (spazio nullo di M): il sottospazio vettoriale di R^m costituito dall'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo Mx = 0.
• C(M) (spazio delle colonne di M): il sottospazio vettoriale di Rⁿ generato dalle colonne di M.
• R(M) (spazio delle righe di M): il sottospazio vettoriale di R^m generato dalle righe di M (qui vediamo come lo spazio dei vettori riga a m componenti reali).

Ricordando le proprietà del prodotto di una matrice per un vettore colonna, otteniamo che: C(M) = {v | v ∈ N(C(M))}.

Proposizione 2. Sia M una matrice n × m, N = N(M), C = C(M). Allora dim N = m - dim C, cioè: la dimensione dello spazio nullo è uguale al numero delle colonne meno la dimensione dello spazio delle colonne.

Dimostrazione. Studiamo prima l'enunciato nei due casi limite: dim N = 0 e dim N = m (entrambi sono possibili, inoltre dim N non può essere maggiore di m perché è un sottospazio di R^m).

Nel primo caso N = {0}, quindi l'unica soluzione di Mx = 0 è il vettore nullo di R^m. Questo vuol dire che l'unica combinazione lineare di colonne di M che è uguale al vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli, cioè che le colonne di M sono linearmente indipendenti. Essendo per definizione un insieme di generatori di C, esse sono quindi una base di C e quindi dim C = m.

Nel secondo caso N = R^m, cioè Mv = 0 per ogni v ∈ R^m. Questo vuol dire che tutte le combinazioni lineari di colonne di M sono nulle e quindi che tutte le colonne di M sono nulle. Perciò C = {0} e dim C = 0.

Ora supponiamo di non essere nei due casi limite, fissiamo una base B_N di N e supponiamo |B_N| = k, così che dim N = k. La tesi equivale a dim C = m - k.

N è un sottospazio vettoriale di R^m, quindi possiamo completare B_N a una base B_R^m di R^m, aggiungendo m - k vettori linearmente indipendenti:

• B_R^m = B_N ∪ {v₁, ..., v_m-k}.

Per costruzione R^m = Span{v₁, ..., v_m-k}. Questo vuol dire che:

Span{v₁, ..., v_m-k} ∩ N = {0},

e inoltre, ogni v ∈ R^m è una somma di tipo:

v = u + λ₁v₁ + ... + λ_m-kv_m-k,

con u ∈ N e λ_i ∈ R. Moltiplicando M per v e utilizzando le proprietà del prodotto di matrici e il fatto che Mu = 0, si ottiene:

Mv = Mu + M(λ₁v₁ + ... + λ_m-kv_m-k) = λ₁Mv₁ + ... + λ_m-kMv_m-k.

Poiché C è l'insieme di tutti gli Mv con v ∈ R^m, abbiamo ottenuto che:

• {Mv₁, ..., Mv_m-k} è un insieme di generatori di C.

Per concludere ci basta dimostrare che {Mv₁, ..., Mv_m-k} è linearmente indipendente, così avremo trovato una base di C con m - k elementi.

L'insieme è linearmente indipendente, perché se λ₁Mv₁ + ... + λ_m-kMv_m-k = 0, allora M(λ₁v₁ + ... + λ_m-kv_m-k) = 0, cioè λ₁v₁ + ... + λ_m-kv_m-k ∈ N.

Come abbiamo osservato sopra, questo implica che λ₁v₁ + ... + λ_m-kv_m-k = 0, e poiché sono linearmente indipendenti, che i λ_i sono tutti nulli.

Teorema e definizione

Sia M una matrice reale. Vale l'uguaglianza dim C(M) = dim R(M). La dimensione dello spazio delle colonne (e di quello delle righe) di M si chiama rango di M e si denota con rk M.

Il teorema è chiaramente vero quando M è la matrice nulla, perciò per il resto di questo paragrafo supporremo che M sia non nulla. Premettiamo alla dimostrazione due osservazioni basilari. Prima di leggerle riguardate il Paragrafo 5, in particolare l'algoritmo di riduzione a scala di una matrice e le operazioni (1) e (2) sulle righe, che chiameremo operazioni elementari di riga.

Osservazioni

1. Se M₀ è ottenuta da M con operazioni elementari di riga, allora R(M₀) = R(M). Questo è immediato perché le righe di M₀ sono combinazioni lineari delle righe di M, quindi R(M₀) ⊆ R(M), ma anche le righe di M sono combinazioni lineari delle righe di M₀, e quindi R(M) ⊆ R(M₀). In particolare, se S è una matrice a scala ottenuta da M mediante eliminazione di Gauss, allora R(S) = R(M).

2. Se M₀ è ottenuta da M con operazioni elementari di riga, allora N(M₀) = N(M). Anche questo è immediato perché le operazioni elementari di riga sulla matrice del sistema Mx = 0 non cambiano le soluzioni del sistema. In particolare, se S è una matrice a scala ottenuta da M mediante eliminazione di Gauss, allora N(S) = N(M).

3. Le operazioni elementari di riga in generale cambiano lo spazio delle colonne di una matrice. Però vale il fatto seguente: Se M₀ è ottenuta da M con operazioni elementari di riga, allora le relazioni di dipendenza lineare che sussistono tra le colonne di M sono esattamente le stesse che sussistono tra le colonne di M₀. Quindi dim C(M₀) = dim C(M).

Questo segue dal fatto che le operazioni elementari di riga non cambiano le soluzioni del sistema omogeneo Mx = 0 e dal fatto che le relazioni di dipendenza lineare tra le colonne hanno per coefficienti esattamente le soluzioni non nulle di questo sistema. L'asserzione precedente vale in particolare quando S è una matrice a scala ottenuta da M mediante eliminazione di Gauss.

Dimostrazione del teorema

Riduciamo M ad una matrice a scala S. Per le osservazioni precedenti basta dimostrare che dim C(S) = dim R(S).

Dimostriamo i fatti seguenti:

• (a) Le righe non nulle di S sono una base di R(S).
• (b) Una colonna di S è combinazione lineare delle colonne che la precedono se e solo se non contiene un pivot.
• (c) Le colonne di S che contengono i pivot sono una base di C(S).

Infatti:

(a) Siano S₁, ..., S_k le righe non nulle di S. Per definizione S₁, ..., S_k sono un insieme di generatori di R(S), quindi dobbiamo solo dimostrare che sono anche linearmente indipendenti. Siano λ₁, ..., λ_k numeri reali tali che λ₁S₁ + ... + λ_kS_k = 0 e siano p₁, ..., p_k i pivot di S. Se k = 1, l'asserto (a) è ovvio, quindi supponiamo k > 1. Per ipotesi, la prima componente diversa da 0 di S₁ è p₁. Consideriamo la colonna di S che contiene p₁: questa ha p₁ come prima componente e tutte le altre componenti uguali a 0.

S =

Quindi:

λ₁p₁ = 0 e, poiché p₁ = 0, che λ₁ = 0.

Concludiamo per induzione: se sappiamo che λ₁ = ... = λ_i-1 = 0 (1 < i ≤ k), allora λ₁S₁ + ... + λ_iS_i + ... + λ_kS_k = 0. Ragionando come prima, troviamo che λ_i = 0.

(b) Siano S₁, ..., S_m le colonne di S. Indichiamo con (S) la matrice formata dalle prime i colonne di S (1 ≤ i < m). Ricordiamo l'osservazione fatta alla fine del paragrafo 4: il sistema di matrice completa (A|b) è risolubile se e solo se b è combinazione lineare delle colonne di A. Perciò S_i è combinazione lineare di S₁, ..., S_i-1 se e solo se il sistema di matrice completa (S₁, ..., S_i) è risolubile. Poiché questa matrice è a scala, questo succede se e solo se essa non ha pivot nell'ultima colonna. Ma questo equivale a dire che S_i non ha pivot nella i-esima colonna.

(c) Le colonne di S sono per definizione un insieme di generatori di C(S). Ricordiamo il procedimento di estrazione di una base da un insieme di generatori ordinato: basta scartare dall'insieme i vettori che sono combinazione lineare dei precedenti. Perciò, per (b), scartando le colonne senza pivot otteniamo una base di C(S).

Poiché le righe non nulle di una matrice a scala sono tante quanti i pivot, mettendo insieme (a) e (c) otteniamo che lo spazio delle righe e lo spazio delle colonne di S (quindi di M) hanno la stessa dimensione. Ora la Proposizione 2 si può tradurre così:

Proposizione 2: Enunciato equivalente

La dimensione dello spazio nullo è uguale al numero delle colonne meno il rango.

Altre osservazioni

Le Osservazioni 1 e 3 e i punti (a) e (c) della dimostrazione precedente implicano che:

• 4. Le righe non nulle di S costituiscono una base di R(M).
• 5. Le colonne di M corrispondenti alle colonne di S che contengono i pivot costituiscono una base di C(M).
• 6. In particolare, per una matrice a scala il rango coincide con il numero delle righe non nulle o, equivalentemente, dei pivot. Inoltre, per una matrice qualunque M il rango si può calcolare riducendo M a scala e contando i pivot (o le righe non nulle) della matrice ottenuta.

Esempio

Sia

M:

Mostriamo come:

• (a) Calcolare il rango di M e la dimensione dello spazio nullo di M.
• (b) Determinare una base per ciascuno degli spazi N(M), C(M), R(M).

(a) Riduciamo M a una matrice a scala.

S:

Il rango di S è il numero delle righe non nulle di S e coincide con quello di M, quindi rk M = 2. La dimensione dello spazio nullo è uguale al numero delle colonne meno il rango.