Algebra lineare - nozioni varie

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IV IV−−−−−−−−→ = S  −1 −10 0 0 0 0 0   −2 0 0 0 00 0 0

Per l’Osservazione 2 del Paragrafo 6, le relazioni che sussistono tra le colonne di M sono le stesse che sussistono tra le colonne di S. La terza colonna di S è combinazione lineare delle prime due, quindi anche v è combinazione lineare di v3 1{v }e v . Segue che l’insieme , v , v , v è linearmente dipendente.2 1 2 3 426 4{v }

Dire che , . . . , v è un insieme di generatori di equivale a dire che lo spazio delle colonne di M è . Ma dim ) = rk M = rk S = 3 (Teorema e Osservazioni 4 e 5 del Paragrafo 6.) Segue che v , . . . , v non generano , perché questo ha dimensione 4.

(b) V è lo spazio delle colonne di M , quindi abbiamo già visto che ha dimensione 3. Per ottenere una sua base basta prendere le colonne di M corrispondenti alle {v } colonne dei pivot di S: , v , v è una base di V .1 2 4

(c) È ovvio

che le coordinate di v , v , v rispetto alla base formata da essi stessi sono1 2 4t t trispettivamente (1 0 0), (0 1 0), (0 0 1). Per calcolare le coordinate di v utilizziamo3i calcoli del punto (a). Le relazioni di dipendenza lineare tra le colonne di M e quelletra le colonne di S sono le stesse. La terza colonna della matrice S è combinazionelineare delle prime due colonne di S. Per trovare esplicitamente i coefficienti di1 2 3questa combinazione lineare bisogna risolvere il sistema xS + yS = S , di matrice1 2 3 1 2 3|S kScompleta (S ) (dove S , S , S sono le colonne di S), cioè: x + 2y = 0−y = 1 1 2 3−1, −S −vQuesto ha soluzione (unica) y = x = 2, quindi 2S = S , e perciò 2v =1 2t{v } −1,v . Segue che le coordinate di v rispetto alla base , v , v sono (2, 0).3 3 1 2 43Problema 2. Dati i vettori di R       1 2 0 1v = 1 , v = 1 , v = 1 , v = 1 ,1 2 3 4       2 2 2 1{v }stabilire se , v , v , v è un

insieme linearmente indipendente e se è un insieme di generatori di R^3. Se è un insieme di generatori, estrarre da esso una base di R^3. Risoluzione. Poiché dim = 3, ogni insieme con più di tre vettori in R^3 è linearmente dipendente. L'insieme {v1, v2, v3, v4} genera R^3 se e solo se la dimensione di Span{v1, v2, v3, v4} è uguale a 3. Span{v1, v2, v3, v4} è lo spazio delle colonne della matrice [v1 | v2 | v3 | v4], quindi la sua dimensione è il rango di questa matrice, che possiamo calcolare facilmente riducendola a scala con l'eliminazione di Gauss: [ 1 2 0 1 ] [ 1 2 0 1 ] [ 1 2 0 1 ] [ -1 -2 -1 0 ] [ 0 0 2 2 ] [ 1 1 1 1 ] La matrice a scala trovata ha rango 3, quindi {v1, v2, v3, v4} è un insieme linearmente indipendente e genera R^3.

Un insieme di generatori di R³ è {v₁, v₂, v₃}. Inoltre, dalla posizione dei pivot vediamo che {v₁, v₂, v₃} è una base di R³.

Problema 3. Dati i vettori di R³ v₁ = (0, 1, 1), v₂ = (1, 0, 1), v₃ = (1, 1, 0), verificare che {v₁, v₂, v₃} è linearmente indipendente e completarlo ad una base di R³.

Risoluzione. Per verificare che l'insieme è linearmente indipendente basta verificare che la matrice [v₁ | v₂ | v₃], o la sua trasposta, ha rango 3 (qui usiamo il fatto che la matrice ha rango n se e solo se un insieme di n generatori di uno spazio vettoriale di dimensione n è una base, quindi è linearmente indipendente (Prima parte delle dispense, Paragrafo 7, Corollario 1)). Lavoriamo sulla matrice trasposta, perché questo ci permette di rispondere rapidamente anche alla seconda richiesta del problema.

1  1  2  3
1 -2  1  3
1  3 -2 -1

−2 −3 −−−−−−−→2 1 2 3 0

fi fl fi fl−1 −2 −42 0 0 2 0

−1 −2 −30

−10 0 0 t t t }

Le righe della matrice a scala ottenuta costituiscono una base di Span{ v , v , v1 2 3

Aggiungendo a queste tre righe (0 0 1 0) si ottiene ancora un insieme linearmente1 1 2 3

fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi  della prima parte di queste dispense.
[I calcoli risultano più pesanti se fatti "a mano".]
Si applica l'eliminazione di Gauss alla matrice (v).
Le colonne di questa matrice sono un insieme di generatori di R, quindi la matrice ha rango 4.
Poiché le prime tre colonne sono linearmente indipendenti, la matrice a scala che si ottiene avrà necessariamente tre pivot nelle prime tre colonne e uno in una delle colonne successive.
Aggiungendo il vettore della base canonica corrispondente alla colonna di quest'ultimo pivot si ottiene una base di R^4.
L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo
Mettendo insieme le Proposizioni 1 e 2 del paragrafo 6, otteniamo direttamente la proposizione seguente.
Proposizione. L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo in m incognite è uno sottospazio vettoriale di R^m.
La sua dimensione è uguale al numero delle incognite meno il rango della matrice dei coefficienti.

coefficienti.Osservazione importante. Il rango della matrice dei coefficienti è il numerodi pivot che compaiono nella sua riduzione a scala. Perciò il numero totale delleincognite meno il rango è il numero delle incognite corrispondenti alle colonne senzapivot. Quando risolviamo un sistema a scala con la tecnica descritta nel Paragrafo5, queste incognite corrispondono esattamente ai parametri (varibili libere) checompaiono nella soluzione generale. Per la Proposizione precedente otteniamo quidiche la dimensione dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo è il numerodi variabili libere che occorrono nella soluzione generale.

Nel prossimo esercizio diamo un altra esemplificazione del metodo, già usatonell’esempio del paragrafo precedente, per determinare esplicitamente un base dellospazio vettoriale delle soluzioni di un sistema omogeneo.

Esercizio risolto. Risolvere il seguente sistema omogeneo e determinare una baseper lo spazio delle sue soluzioni. −x + x

+ x
3x + x = 0

1
2
3
4
5

- x + x + 2x = 0
3 4 5

Il sistema è a scala e possiamo risolverlo esprimendo le incognite x e x (corrispondenti ai pivot della matrice dei coefficienti) in funzione delle altre:

-x - x - x + x = + 3x
x x x = + 2x
1 3 2 4 5
1 2 4 5

⇔ x = x + 2x
3 4 5
3 4 5

L'insieme delle soluzioni è quindi:
-a - b + 2c
a, b, c ∈ R

Decomponiamo la soluzione generale "separando i parametri", nel modo seguente:
-3 - 3c - 1 - a
-a - 2b + 2b 3c
0 0
1a 0a
+ c 2 = a 0 + b 1 + b + 2c = 0
1 0 0
0 0
b

00 0cAbbiamo trovato che l'insieme delle soluzioni è generato, come sottospazio vettoriale di , dai vettori ( 1 1 0 0 0), (2 0 1 1 0), ( 3 0 2 0 1). Ora vediamo che il rango della matrice dei coefficienti è 2 (ci sono esattamente 2 pivot), quindi la dimensione dello spazio delle soluzioni è 3 (numero delle incognite meno il rango). Nelle lezioni sulle basi abbiamo visto che un insieme di generatori avendo tanti elementi quanti ne ha una base è necessariamente una base, quindi { ( 1 1 0 0 0), (2 0 1 1 0), ( 3 0 2 0 1)} è una base per lo spazio delle soluzioni.

Nota. Per stabilire che l'insieme di generatori trovato è linearmente indipendente avremmo anche potuto osservare che la scrittura di una qualsiasi soluzione particolare come combinazione lineare dei generatori ( 1 1 0 0 0), (2 0 1 1 0), ( 3 0 2 0 1) è unica. Infatti, la combinazione dei tre generatori a coefficienti a, b, c è la soluzione= a, x = b, x =

stema omogeneo associato Ax = 0. Allora l'insieme delle soluzioni del sistema non omogeneo Ax = b è dato dalla somma di una soluzione particolare u del sistema non omogeneo e di tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato: x = u + v, con v ∈ V. In altre parole, l'insieme delle soluzioni del sistema non omogeneo è un traslato dello spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo. Per dimostrare questo teorema, consideriamo una soluzione generica del sistema non omogeneo Ax = b, indicata con x. Possiamo scrivere questa soluzione come la somma di una soluzione particolare u del sistema non omogeneo e di una soluzione generica v del sistema omogeneo associato: x = u + v. Sostituendo questa espressione nell'equazione del sistema non omogeneo, otteniamo: A(u + v) = b. Dato che u è una soluzione del sistema non omogeneo, abbiamo: Au = b. Quindi possiamo riscrivere l'equazione precedente come: A(u + v) = Au. Semplificando entrambi i membri dell'equazione per A, otteniamo: Av = 0. Quindi v è una soluzione del sistema omogeneo associato Ax = 0. Viceversa, se prendiamo una soluzione generica del sistema omogeneo v, possiamo ottenere una soluzione del sistema non omogeneo Ax = b sommando questa soluzione particolare u: x = u + v. In questo modo, abbiamo dimostrato che ogni soluzione del sistema non omogeneo può essere ottenuta sommando una soluzione particolare u del sistema non omogeneo e una soluzione generica v del sistema omogeneo associato. Pertanto, l'insieme delle soluzioni del sistema non omogeneo Ax = b è dato dalla somma di una soluzione particolare u del sistema non omogeneo e di tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato: x = u + v, con v ∈ V. Dove V è lo spazio vettoriale delle soluzioni del sistema omogeneo associato Ax = 0.