Algebra lineare - nozioni generali

Lezioni di algebra lineare: autovalori e autovettori

Definizione di autovalore e autovettore

Supponiamo che V sia uno spazio vettoriale reale di dimensione n e che →f : V → V sia un’applicazione lineare. (Un’applicazione lineare di uno spazio vettoriale in sé si dice anche endomorfismo dello spazio vettoriale.)

Definizione 1. Un autovettore di f è un vettore v ∈ V diverso dal vettore nullo tale che f v = αv per un certo scalare α.

Se v è un autovettore di f e α è il numero reale tale che f v = αv, allora diciamo che α è un autovalore di f e che v è un autovettore relativo all’autovalore α.

Osservazioni sugli autovalori e autovettori

• La relazione f 0 = α0 è vera per ogni numero reale α, ma 0 non è un autovettore, per definizione.
• È chiaro che un autovettore, essendo non nullo per definizione, è relativo ad un unico autovalore.

Se fissiamo una base in V allora possiamo identificare V con e realizzare f come un’applicazione di tipo L, moltiplicazione a sinistra per una matrice M di dimensione n × n.

Calcolo degli autovalori

Allora il vettore v ≠ 0 è un autovettore di f se e solo se M v = αv per un certo α. Se I è la matrice identità n × n, allora αv = (αI)v, dunque sommando otteniamo M v - (αI)v = 0 e, applicando la proprietà distributiva, (M - αI)v = 0.

Per definizione, la relazione precedente dice in particolare che il sistema omogeneo (M - αI)x = 0 ha soluzioni non nulle e quindi, per la Proposizione 5 della III parte, det (M - αI) = 0.

Poiché, viceversa, se det (M - αI) = 0 allora (M - αI)x = 0 ha delle soluzioni non nulle, invertendo i passaggi otteniamo il risultato seguente.

Proposizione 1

Sia M la matrice di f rispetto a una qualunque base di V. Allora il numero α è un autovalore di f se e solo se det (M - αI) = 0. Se α è un autovalore di f, allora gli autovettori di f relativi a α sono le soluzioni non nulle del sistema omogeneo (M - αI)x = 0.

Definizione di autovalore e autovettore per matrici

Definizione 2. Sia M una matrice reale n × n. Un autovettore di M è un vettore v ∈ Rⁿ tale che M v = αv per un certo scalare α. Se v è un autovettore di M e α è il numero reale tale che M v = αv, allora diciamo che α è un autovalore di M e che v è un autovettore relativo all’autovalore α.

Dunque la Proposizione 1 dice che gli autovalori e gli autovettori di f (che non dipendono dalla scelta della base) corrispondono agli autovalori e agli autovettori della matrice di f rispetto a una qualunque base fissata.

Calcolo degli autovalori e autovettori

La Proposizione 1 fornisce uno strumento per calcolare gli autovalori e gli autovettori di f. In più, dice quanti sono al massimo gli autovalori di f. Vale infatti il fatto seguente.

Proposizione 2

Sia M una matrice n × n. Allora χ(λ) = det (M - λI) è un polinomio di grado n nell’indeterminata λ. Gli autovalori di M sono le radici di questo polinomio. In particolare, gli autovalori di M sono al massimo n.

La seconda parte della Proposizione 2 segue direttamente dalla Proposizione 1. La prima parte non è difficile da dimostrare, ma qui non ne diamo alcuna dimostrazione. Provate a capire perché è vera in generale, dopo avere letto l’esempio seguente.

Esempio 1

Sia M la matrice:

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |
| 7  8  9 |

Allora:

M - λI = | 1-λ  2        3        |
            | 4          5-λ  6        |
            | 7          8        9-λ |

Con lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima riga, otteniamo:

χ(λ) = (1-λ)[(5-λ)(9-λ) - 48] - 2[4(9-λ) - 42] + 3[32 - 7(5-λ)].

È chiaro che non vi sono termini di grado maggiore 3 e che solo il primo addendo fornisce un contributo al termine di grado 3. Precisamente, il termine principale di χ(λ) è λ³.

Definizione di polinomio caratteristico

Definizione 3. Il polinomio χ(λ) definito nella Proposizione 2 si chiama il polinomio caratteristico della matrice M.

Se cambiamo la scelta della base, come sappiamo dalla seconda parte delle lezioni, la matrice M cambia in C^-1 M C, dove C è la matrice del cambiamento di base. Il polinomio caratteristico di C^-1 M C è det(C^-1 M C - λI).

Osserviamo che C^-1 I C = I, quindi, per la proprietà distributiva, C^-1 M C - λI = C^-1 (M - λI) C. Utilizzando il Teorema di Binet, otteniamo che il determinante di questa matrice è:

det(C^-1 (M - λI) C) = det(C^-1) det(M - λI) det(C) = det(M - λI).

Proposizione 3

Se M e C sono matrici n × n e C è invertibile, allora M e C^-1 M C hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Quindi se le matrici M e M₀ rappresentano il medesimo endomorfismo f di V rispetto a due basi diverse, allora M e M₀ hanno lo stesso polinomio caratteristico. Grazie alla Proposizione 3, possiamo definire il polinomio caratteristico di un endomorfismo.