Algebra lineare - nozioni generali

Proposizione 2

Mè un polinomio di grado n nell'indeterminata λ. Gli autovalori di M sono le radici di questo polinomio. In particolare, gli autovalori di M sono al massimo n.

La seconda parte della Proposizione 2 segue direttamente dalla Proposizione 1.

La prima parte non è difficile da dimostrare, ma qui non ne diamo alcuna dimostrazione. Provate a capire perché è vera in generale, dopo avere letto l'esempio seguente.

Esempio 1

Sia M =

1 2 3
4 5 6
7 8 9

Allora

-1 2 3   λ 0 0   1 λ 2 3
4 5 6    0 λ 0   4 5 λ 6
-7 8 9   0 0 λ   7 8 9 λ

Con lo sviluppo di Lalace rispetto alla prima riga otteniamo:

χ(λ) = (1 λ)[(5 λ)(9 λ) - 48] - 2[4(9 λ) - 42] + 3[32 - 7(5 λ)].

Mè chiaro che non vi sono termini di grado maggiore 3 e che solo il primo

^-1 è la matrice di cambiamento di base, allora il polinomio caratteristico di CMC è -det(CMC - λI) = -det(C(M - λI)C). Utilizzando il Teorema di Binet, otteniamo che il determinante di questa matrice è det(C)det(M - λI)det(C) = (det C) det(M - λI)det C = det(M - λI). Otteniamo quindi il risultato seguente. Proposizione 3: Se M e C sono matrici n x n e C^-1 è la matrice di cambiamento di base, allora il polinomio caratteristico di CMC è det(M - λI).

è invertibile, allora M^-1CMC hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Quindi se le matrici M e M rappresentano il medesimo endomorfismo f di V rispetto a due basi diverse, allora M e M hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Grazie alla Proposizione 3, possiamo definire il polinomio caratteristico di un endomorfismo.

Definizione 3. Il polinomio caratteristico di f è il polinomio caratteristico della matrice di f rispetto a una qualunque base di V.

La Proposizione 1 può essere ri-enunciata nel modo seguente.

Teorema 1. Gli autovalori di f sono le radici del suo polinomio caratteristico.

Gli autovettori di f relativi all'autovalore α sono gli elementi non nulli del sottospazio vettoriale ker(f - αId), dove Id è l'applicazione identità di V in se stessa.

Esempio 1. Sia

   

x 2x + z

3 3

→ 7

→ f : y 2y + 3z

R R

   

−z x

3

La matrice di f rispetto alla base canonica di ℝ è

 2 0 1 

M =  0 2 3 

−1 0 3

Quindi il polinomio caratteristico di f è: -2λ^3 + λ^2 + 2λ - 1

Quindi f ha come autovalori -1 e 2.

Per calcolare gli autovettori di f dobbiamo calcolare esplicitamente gli spazi nulli delle matrici M(-1I) e M(2I): gli elementi non nulli di questi spazi sono gli autovettori.

Calcoliamo prima gli autovettori relativi a -1. Risolviamo quindi il sistema omogeneo (M + I)x = 0.

La matrice dei coefficienti è:

[3 0 1; 0 3 3; 0 0 0]

Quindi risolvendo il sistema si trova:

x = -z/3

y = z

Quindi l'insieme degli autovettori relativi a -1 è:

{[1; -z/3; z] | z ∈ R}

Calcoliamo ora gli autovettori relativi a 2 risolvendo il sistema omogeneo (M - 2I)x = 0.

La matrice dei coefficienti è:

[1 0 1; 0 1 3; 0 0 -2]

Quindi risolvendo il sistema si trova:

x = -z/2

y = -3z

Quindi l'insieme degli autovettori relativi a 2 è:

{[1; -z/2; -3z] | z ∈ R}

1. Il sistema di equazioni può essere formattato utilizzando il tag <table> per creare una tabella:

 	0	0	1-M	2I
 	-3	0	-30	6

2. Il sistema risolto può essere formattato utilizzando il tag <div> per creare una sezione:

3. L'insieme degli autovettori relativi a 2 può essere formattato utilizzando il tag <div> per creare una sezione:

4. La sezione "Algebra: fatti da ricordare e complementi" può essere formattata utilizzando il tag <div> per creare una sezione:

Consideriamo la fattorizzazione (∗). Se α è radice anche del polinomio q(x), allora possiamo fattorizzare anche q(x) in accordo con il Teorema A, diciamo q(x) = (x α)q (x) (con deg q (x) = n 2). Induttivamente otteniamo la fattorizzazione m−p(x) = (x α) s(x), dove m è un intero positivo e s(x) è un polinomio, di grado n m, non divisibile per (x α). L'intero m si chiama la molteplicità della radice α del polinomio p(x).

Definizione B. La molteplicità della radice α del polinomio p(x) è il massimo degli interi m tali che p(x) è divisibile per (x α).

Esempio 2. Consideriamo il polinomio p(x) = (x 1)(x + x 2)(x + 1). Il fattore x +x−2 ha come radici reali 1 e quindi si fattorizza come (x−1)(x+2), mentre il fattore x + 1 non ha radici reali e quindi è irriducibile. Ne segue che p(x) = (x 1) (x

+ 2)(x + 1)−2,e che le radici di p(x) sono 1, con molteplicità 2, e con molteplicità 1.• Terminologia: quante radici reali ha un polinomio. Di solito, quandodiciamo che il polinomio reale p(x) ha k radici reali sottintendiamo che contiamo leradici con la loro molteplicitá. Ad esempio per il polinomio dell’Esempio 2 diciamo−2che ha 3 radici reali (1 contata due volte, e contata una volta). Se invececontiamo la radici senza tenere conte della molteplicità, allora specifichiamo chestiamo contando le radici distinte. Ad esempio il polinomio dell’Esempio 2 ha 2radici reali distinte.• Teorema B. Se deg p(x) = n, allora p(x) ha al massimo n radici reali (contatecon molteplicità).Torniamo agli autovalori.Definizione 4. Sia α un autovalore dell’endomorfismo f . La molteplicità algebricadi α è la molteplicità di α come radice del polinomio caratteristico di f .Abbiamo un’altra nozione di molteplicità di un

1. Definizione 5. Sia α un autovalore dell'endomorfismo f. La molteplicità geometrica di α è la dimensione del sottospazio vettoriale ker(f αId). Per definizione di autovalore, se α è un autovalore di f allora ker(f αId) è un sottospazio non nullo, quindi la molteplicità geometrica di α è necessariamente un intero strettamente positivo.
2. Definizione 4. Sia α un autovalore della matrice M. La molteplicità algebrica dell'autovalore α è la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico det(M λI). La molteplicità geometrica di α è la dimensione dello spazio nullo (M αI).
3. Esempio 3. Sia

      [ 2  1  0 ]
      [ 0  2  0 ]
      [ 0  0  2 ]
      

   La matrice di f rispetto alla base canonica di ℝ è M.

Il polinomio caratteristico di f è:
-2λ 1 0
3 -λ -2λ
Quindi f ha come unico autovalore 2, con molteplicità algebrica 3.
La molteplicità geometrica di 2 è la dimensione dello spazio nullo della matrice
x 0 0 1 0
0 0 0 y = 0
0 0 0 z 0
N - Sappiamo che in generale, se A è una matrice n x n, allora dim(A) = n - rk(A), quindi la molteplicità geometrica di 2 è:
-3 - rk(M - 2I) = 3 - 1 = 2.
Esercizio 1. Considerate le due matrici
2 1 0
2 0 0
0 2 0
M = 0 2 1 ; M =
0 0 2
0 0 2
9
Verificate che entrambe hanno lo stesso polinomio caratteristico della matrice M dell'Esempio 3 e che la molteplicità dell'autovalore 2 è 1 per la matrice M e 3 per la matrice M.
Una matrice quadrata si dice diagonale se ha tutti gli elementi nulli tranne al più quelli della diagonale principale. Supponiamo

che = , . . . , v sia una base dello spazio vettoriale V tale che la matrice M di f rispetto a sia diagonale, poniamo α 0 ... ... 0 ¹   1 ..0 α 0 ... .   2  .. ......   M = ... .. 0     .. ....   ... 0   0 ... ... 0 α n B, Per definizione le colonne di M sono le coordinate di f(v), . . . , f(v) rispetto a e₁ ... e_n, quindi otteniamo che f(v) = α₁v₁, . . . , α_nv_n. Questo vuol dire che v₁, . . . , v_n sono autovettori di f, relativi agli autovalori α₁, . . . , α_n rispettivamente. Viceversa, è chiaro che la matrice di f rispetto ad una base costituita di autovettori è una matrice diagonale e che i termini diagonali di questa matrice sono α₁, . . . , α_n.