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Algebra lineare - nozioni generali

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: gli autovalori, gli autovettori, le definizioni, i teoremi, le radici reali del polinomio, l'algebra, i complementi, la terminologia, le dimostrazioni dei teoremi, le osservazioni, l'endomorfismo,la matrice, l'applicazione lineare.

Esame di Algebra lineare docente Prof. P. Cellini

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4 −1 −1 −

Osserviamo che C IC = I, quindi, per la proprietà distributiva, C M C λI =

−1 −

C (M λI)C. Utilizzando il Teorema di Binet, otteniamo che il determinante di

questa matrice è

−1 −1 −1

− − −

det (C (M λI)C) = det (C )det (M λI)det C = (det C) det (M λI)det C

= det (M λI).

Otteniamo quindi il risultato seguente. ×

Proposizione 3. Se M e C sono matrici n n e C è invertibile, allora M e

−1

C M C hanno lo stesso polinomio caratteristico.

0

Quindi se le matrici M e M rappresentano il medesimo endomorfismo f di V

0

rispetto a due basi diverse, allora M e M hanno lo stesso polinomio caratteristico.

Grazie alla Proposizione 3, possiamo definire il polinomio caratteristico di un

endomorfismo. 0

Definizione 3 . Il polinomio caratteristico di f è il polinomio caratteristico della

matrice di f rispetto a una qualunque base di V .

La Proposizione 1 può essere rienunciata nel modo seguente.

Teorema 1. Gli autovalori di f sono le radici del suo polinomio caratteristico.

Gli autovettori di f relativi all’autovalore α sono gli elementi non nulli del sot-

tospazio vettoriale ker(f αId), dove Id è l’applicazione identità di V in sè.

Esempio 1. Sia    

x 2x + z

3 3

→ 7→

f : y 2y + 3z .

R R    

−z

x 3

La matrice di f rispetto alla base canonica di è

R 

 2 0 1

M = 0 2 3 

 −1

0 0 5

quindi il polinomio caratteristico di f è

2 λ 0 1 2

− −

− = (−1 λ)(2 λ)

0 2 λ 3

−1 −

0 0 λ

−1

Quindi f ha come autovalori e 2.

Per calcolare gli autovettori di f dobbiamo calcolare esplicitamente gli spazi nulli

− −

delle matrici M (−1)I e M 2I: gli elementi non nulli di questi spazi sono gli

autovettori. −1.

Calcoliamo prima gli autovettori relativi a Risolviamo quindi il sistema

omogeneo (M + I)x = 0.

La matrice dei coefficienti è  

3 0 1

M + I = 0 3 3 ,

 

0 0 0

quindi risolvendo il sistema si trova 13

− z

x = .

−z

y =

Perciò 

 1 

 − z

3 

N −z | ∈

z ,

(M + I) = R

 z

 

−1

e quindi l’insieme degli autovettori relativi a è

 

1

 

− z

3

 

−z | ∈ 6

z z = 0 .

R,

 

z

 

Calcoliamo ora gli autovettori relativi a 2 risolvendo il sistema omogeneo

− = 0.

(M 2I)x

La matrice dei coefficienti è  

0 0 1

M 2I = 0 0 3 ,

 

−3

0 0

6

quindi risolvendo il sistema si trova semplicemente

{ z = 0 ,

mentre x e y sono libere. Perciò  

 

x

 

N − | ∈

(M 2I) = y x, y R

 

0

 

e l’insieme degli autovettori relativi a 2 è

 

 

x

 

| ∈ 6

y x, y (x, y) = (0, 0) .

R,

 

0

 

Algebra: fatti da ricordare e complementi.

Sia p(x) un polinomio a coefficienti reali nell’indeterminata x. Indichiamo con

deg p(x) il grado di p(x).

• Definizione A. Una radice reale di p(x) è un numero reale α tale che p(α) = 0

(dove p(α) è il numero reale ottenuto sostituendo α all’indeterminata x).

• Teorema A. Il numero reale α è una radice di p(x) se e solo se p(x) è divisibile

per (x α), cioè se e solo se esiste un polinomio a coefficienti reali q(x) (di grado

n 1) tale che −

p(x) = (x α)q(x). (∗)

Supponiamo che α sia una radice di p(x) e consideriamo la fattorizzazione (∗).

Se α è radice anche del polinomio q(x), allora possiamo fattorizzare anche q(x) in

− −

accordo con il Teorema A, diciamo q(x) = (x α)q (x) (con deg q (x) = n 2).

2 2

Induttivamente otteniamo la fattorizzazione m

p(x) = (x α) s(x),

α −

dove m è un intero positivo e s(x) è un polinomio, di grado n m , non divisibile

α α

per (x α). L’intero m si chiama la molteplicità della radice α del polinomio p(x).

α 7

• Definizione B. La molteplicità della radice α del polinomio p(x) è il massimo

m

degli interi m tali che p(x) è divisibile per (x α) .

Esempio 2. Consideriamo il polinomio 2 2

− −

p(x) = (x 1)(x + x 2)(x + 1).

2 −2,

Il fattore x +x−2 ha come radici reali 1 e quindi si fattorizza come (x−1)(x+2),

2

mentre il fattore x + 1 non ha radici reali e quindi è irriducibile. Ne segue che

2 2

p(x) = (x 1) (x + 2)(x + 1)

−2,

e che le radici di p(x) sono 1, con molteplicità 2, e con molteplicità 1.

• Terminologia: quante radici reali ha un polinomio. Di solito, quando

diciamo che il polinomio reale p(x) ha k radici reali sottintendiamo che contiamo le

radici con la loro molteplicitá. Ad esempio per il polinomio dell’Esempio 2 diciamo

−2

che ha 3 radici reali (1 contata due volte, e contata una volta). Se invece

contiamo la radici senza tenere conte della molteplicità, allora specifichiamo che

stiamo contando le radici distinte. Ad esempio il polinomio dell’Esempio 2 ha 2

radici reali distinte.

• Teorema B. Se deg p(x) = n, allora p(x) ha al massimo n radici reali (contate

con molteplicità).

Torniamo agli autovalori.

Definizione 4. Sia α un autovalore dell’endomorfismo f . La molteplicità algebrica

di α è la molteplicità di α come radice del polinomio caratteristico di f .

Abbiamo un’altra nozione di molteplicità di un autovalore.

Definizione 5. Sia α un autovalore dell’endomorfismo f . La molteplicità geome-

trica di α è la dimensione del sottospazio vettoriale ker(f αId). −

Per definizione di autovalore, se α è un autovalore di f allora ker(f αId) è un

sottospazio non nullo, quindi la molteplicità geometrica di α è necessariamente un

intero strettamente positivo.

8 La traduzione nel linguaggio delle matrici delle precedenti definizioni è la se-

guente: 0 0

Definizione 4 +5 . Sia α un autovalore della matrice M .

La molteplicità algebrica dell’autovalore α è la sua molteplicità come radice del

polinomio caratteristico det (M λI). N −

La molteplicità geometrica di α è la dimensione dello spazio nullo (M αI).

Esempio 3. Sia    

x 2x + y

3 3

→ 7→

y

f : 2y .

R R    

x 2z

3

La matrice di f rispetto alla base canonica di è

R

 

2 1 0

M = 0 2 0

 

0 0 2

quindi il polinomio caratteristico di f è

2 λ 1 0 3

− = (2 λ) .

0 2 λ 0

0 0 2 λ

Quindi f ha come unico autovalore 2, con molteplicità algebrica 3.

La molteplicità geometrica di 2 è la dimensione dello spazio nullo della matrice

     

x 0

0 1 0

M 2I = 0 0 0 y = 0 .

     

0 0 0 z 0

× N −

Sappiamo che in generale, se A è una matrice n n, allora dim (A) = n rk A,

quindi la molteplicità geometrica di 2 è

− − −

3 rk (M 2I) = 3 1 = 2.

Esercizio 1. Considerate le due matrici

  

 2 1 0 2 0 0 .

0 2 0

M = 0 2 1 ; M =

3

1 

 

 0 0 2

0 0 2 9

Verificate che entrambe hanno lo stesso polinomio caratteristico della matrice M

dell’Esempio 3 e che la molteplicità dell’autovalore 2 è 1 per la matrice M e 3 per

1

la matrice M .

3

Una matrice quadrata si dice diagonale se ha tutti gli elementi nulli tranne al

B {v }

più quelli della diagonale principale. Supponiamo che = , . . . , v sia una

1 n

B

base dello spazio vettoriale V tale che la matrice M di f rispetto a sia diagonale,

poniamo α 0 ... ... 0

 

1 ..

0 α 0 ... .

 

2

 

.. ..

..

..

 

M = .

.

. .

. 0

 

 

.. ..

..

 

.

.

. 0

 

0 ... ... 0 α

n B,

Per definizione le colonne di M sono le coordinate di f (v ), . . . , f (v ) rispetto a e

1 n

quindi otteniamo che f (v ) = α v , per i = 1, . . . , n. Questo vuol dire che v , . . . v

i i i 1 n

sono autovettori di f , relativi agli autovalori α , . . . , α , rispettivamente.

1 n

Viceversa, è chiaro che la matrice di f rispetto ad una base costituita di au-

tovettori è una matrice diagonale e che i termini diagonali di questa matrice sono

autovalori di f .

Definizione 6. L’endomorfismo f si dice diagonalizzabile se esiste una base di f

costituita di autovettori, cioè una base rispetto alla quale f ha matrice diagonale.

La matrice reale quadrata M si dice diagonalizzabile se esiste una matrice reale

−1

invertibile C tale che C M C è una matrice diagonale.

Osservazione 3. Se M è la matrice di f rispetto a una qualunque base, allora f

è diagonalizzabile se e solo se M è diagonalizzabile. Il “solo se” è immediato dalla

definizione; il “se” segue dal fatto che ogni matrice invertibile è la matrice di un

cambiamento di base (perché ?).

Esempi.

4. L’applicazione f dell’Esempio 3 non è diagonalizzabile. Infatti il suo unico

autovalore, 2, ha molteplicità geometrica 2. Questo vuol dire che lo spazio nullo

di (M 2I) ha dimensione 2, quindi, poiché gli autovettori appartengono a questo

spazio nullo, un insieme linearmente indipendente di autovettori ha al massimo 2


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Frau81

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frau81 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Cellini Paola.

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