Algebra lineare - nozioni

Combinazioni lineari di vettori

In alcuni esempi si presuppone anche che lo studente abbia familiarità con la rappresentazione geometrica di vettori e scalari.

Premessa

Supponiamo fissato uno spazio vettoriale reale V. Nel seguito chiameremo vettori gli elementi di V e scalari i numeri reali. Negli esempi V sarà di solito uguale a R^3 o a R^1.

Definizione

Un vettore v si dice combinazione lineare di v_1, ..., v_k se esistono degli scalari λ_1, ..., λ_k tali che v = λ_1v_1 + ... + λ_kv_k.

Definizione più generale

Se S è un sottoinsieme, anche infinito, di V, diciamo che il vettore v è combinazione lineare di elementi di S se v è uguale a una somma finita di tipo λ_1v_1 + ... + λ_kv_k, con v_1, ..., v_k ∈ S e λ_1, ..., λ_k ∈ R.

Esempio

Il vettore v = 3 è combinazione lineare

dei vettori v = ⁴¹⁄₀ ^-1⁄₁ ^-2⁄_-1 ^-1⁄₂ (verificare!) e quindi la condizione della definizione precedente è verificata da λ = ¹⁄₂ e λ = 1

Problemi. Stabilire se il vettore v = è combinazione lineare dei vettori v = ¹⁄₁ ³⁄₂ ⁵⁄₄ e v = ²⁄₂ ²⁄₉ ⁴⁄₇. Se lo è determinare esplicitamente dei coefficienti a e b tali che v = av + bv.

Soluzione. Dobbiamo: (a) stabilire se l'equazione vettoriale xv + yv = v, nelle coppie di incognite reali (x, y) ha soluzioni; (b) se ci sono soluzioni, scriverne esplicitamente una.

Scriviamo esplicitamente l'equazione vettoriale precedente: ²x + ¹y = ², ²x + ²y = ²

Risolvendo il sistema di equazioni otteniamo come unica soluzione la coppia (x, y) = ³⁄₅, ¹⁄₃. Quindi: v è combinazione lineare di v₁ e v₂; (a) a = ³⁄₅ e b = ¹⁄₃ soddisfano la richiesta del problema.

sono gli unici reali7 7con questa proprietà).    2 22. Stabilire se i vettori v = 3 e w = 3 sono combinazioni lineari di   1 2     −11 2v = 0 , v = 1 , v = 3 . Se lo sono, determinare esplicitamente i1 2 3     −11 2coefficienti di tali combinazioni lineari.

Soluzione. Lo schema di risoluzione è analogo a quello del problema precedente.Per stabilire se v è combinazione lineare di v , v , v , dobbiamo studiare la risolu-1 2 3 3bilità del sistema di equazioni  −x + 2y z = 2 y + 3z = 3 ,−x + 2y z = 1nella terna di incognite reali (x, y, z). Confrontando la prima e la terza equazione delsistema si vede subito che il sistema non ha soluzioni, quindi v non è combinazionelineare di v , v e v .1 2 3Nel caso di w dobbiamo considerare il sistema −x + 2y z = 2 y + 3z = 3 ,−x + 2y z = 2che chiaramente è equivalente a −x + 2y z = 2 .y + 3z = 3Questo è un sistema

risolubile e con infinite soluzioni. Infatti, dalla seconda equazione -3zne ottengo y = + 3 e, sostituendo nella prima, -x = 7z + 4.
-3zy = + 3.
Questo vuol dire che qualunque valore reale, diciamo c, io attribuisca a z, la terna (-3c(7c + 4), + 3, c) è una soluzione del sistema. Quindi, poiché esistono soluzioni, w è combinazione lineare di v1, v2, v3; inoltre, esistono infinite terne di coefficienti (a, b, c) tali che w = av1 + bv2 + cv3; infine, l'insieme di tutte queste terne è {(7c - 3c | ∈ R}.
Per ottenere una terna particolare basta attribuire un valore a c, ad esempio per c = 0 ottengo w = + 3v1 - 4v2.

2. Sottospazi vettoriali
Definizione. Un sottospazio vettoriale di V è un sottoinsieme non vuoto di V chiuso rispetto alle operazioni di V.
Quindi dire che U è un sottospazio vettoriale di V vuol dire:
(1) che U è un sottoinsieme di V che contiene almeno un vettore; ∈
(2) che se il vettore u

appartiene a U, anche tutti i vettori di tipo λu (con λ R) appartengono a U; 4 0 0(3) che se i vettori u e u appartengono a U, anche il vettore u + u appartiene a U. Osservazioni.

1. Poiché 0v = 0 per ogni vettore v, dalle condizioni (1) e (2) della definizione segue che un sottospazio vettoriale contiene sempre il vettore 0.

2. Dalle condizioni (2) e (3) segue che: se U è un sottospazio vettoriale di V, allora tutte le combinazioni lineari di vettori di U appartengono ancora ad U.

3. [Dimostrare] Un sottospazio vettoriale di V è a sua volta uno spazio vettoriale reale.

Esempi. {0}

1. Il sottospazio nullo (o banale). Il sottoinsieme è un sottospazio vettoriale di ∈ quindi non è vuoto; (2) tutti i vettori di tipo λ0 (λV. Infatti: (1) contiene 0, R)0 0{0}; {0}, e quindi stanno in (3) se u e u stanno in allora u = u = 0 sono uguali a 0 ∈ {0}. = 0 e quindi u + u + 0 = 0

2. Il sottospazio improprio. [Dimostrare.] V stesso è un sottospazio vettoriale

dise stesso.

1. [Dimostrare.] Se fissiamo un sistema di riferimento nello spazio e identifichiamo i punti dello spazio con gli elementi di , tramite le coordinate, allora: tutte le rette passanti per l'origine e tutti i piani passanti per l'origine sono sottospazi vettoriali di .

   N.B. Nel caso V = , i sottospazi descritti negli esempi 1, 2 e 3 precedenti sono tutti i sottospazi vettoriali di V . [Provate a dimostrare anche questo. Alla fine dellalezione dovrebbe esservi del tutto chiaro.]

2. Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori⊆

   Fissiamo un insieme non vuoto di vettori S V .

   Definizione. Il sottospazio vettoriale generato da S, che denoteremo con Span S, è il minimo sottospazio vettoriale di V che contiene S.

   Spiegazione della definizione: "minimo" vuol dire: "ogni altro sottospazio vettoriale che contiene S contiene anche Span S".

3. Teorema. Span S coincide con l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di

S.Schema di dimostrazione. [Capire e provare a completare.] Dobbiamo di-mostrare due cose:

1. che l'insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S è un sottospazio vettoriale che contiene S.
2. che è minimo nel senso spiegato sopra.

Per il punto 1 dobbiamo far vedere: (a) che sommando due combinazioni lineari di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!); (b) che moltiplicando per uno scalare una combinazione lineare di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!).

Per il punto 2 basta usare l'Osservazione 2 della sezione 2. Da questa segue direttamente che se un sottospazio vettoriale di V contiene S, allora contiene anche Span S.

Esempi. {0}, {0}{0} = perché è già un sottospazio vettoriale.

1. Span ∈ 6 {v}
2. [Dimostrare.] Fissiamo v V , v = 0. Allora Span è l'insieme di tutti i 2 3 multipli scalari di v. In e in , con l'usuale rappresentazione geometrica, si R

R{v}ottiene che Span è la retta passante per l’origine su cui giace il vettore v.3∈3. [Dimostrare.] Fissiamo u, v . Se u e v non sono proporzionali, alloraR {u,otteniamo che la rappresentazione geometrica di Span v} è il piano passanteper l’origine che contiene i vettori u e v. [Problemi: 1. Cosa succede se u e v{u,sono proporzionali? 2. Cosa può essere Span v, w}, nella rappresentazione3geometrica, se u, v, w sono tre vettori arbitrari in ? 3. Se u e v sono dueR2 {u,vettori non proporzionali di , cosa è Span v}?]R4. Insiemi di generatori di uno spazio vettorialeDefinizione 1. Un insieme di generatori di V è un insieme di vettori S, inclusoin V , tale che ogni vettore di V sia combinazione lineare di vettori di S.Definizione 2. V si dice finitamente generato se ha un insieme di generatorifinito.6Osservazioni.1. Dire che S è un insieme di generatori di V equivale a dire che V = Span S.[Spiegate perché.] 02. Se S è un insieme di generatori di V , allora

1. {1, 0, a₂} ∈ V, è un insieme di generatori di V, perché per ogni vettore R = a₁, b₂ si ha R = a + b.
2. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 2. Per i = 1, ..., n chiamiamo R_i il vettore di V con tutte le componenti nulle tranne la i-esima, che invece è 1. Allora {R₁, ..., R_n} è un insieme di generatori di V. Infatti, per ogni vettore R = a₁, ..., a_n ∈ V si ha che:

   R	=	a1	a2	...	an
   R1		a1	0	0	...	0
   R2		0	a2	0	...	0
   ...		...	...	...	...	...
   Rn		0	0	0	...	an

3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. L'esempio precedente si generalizza a n ≥ 3. 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   dimostra che è finitamente generato, per ogni n 1.RProblemi. [Cfr. con i problemi della Sezione 1.]

   2 1 21. Dimostrare che , è un insieme di generatori di .R4 5 2Soluzione. Dobbiamo dimostrare che ogni vettore di è una combinazione lineareR a 2∈dei due vettori dati, cioè che dato un arbitrario , possiamo trovareRb 2 1 a∈x, y tali che x + y = . Questo equivale a dire che il sistemaR 4 5 bnella coppia di incognite reali (x, y) 2x + y = a4x + 5y = b 7è risolubile qualunque siano i “termini noti” a e b. Chi ricorda la regola di Cramer6dirà subito che questo è vero, e in più il sistema ha soluzione unica, perché 2·5−4·1 =0. Allo stesso risultato si arriva anche provando direttamente a risolvere il sistema:5a−b b−2