Algebra lineare - nozioni

Versione preliminare – luglio 2006

Lezioni di algebra lineare

Contenuto

• Combinazioni lineari di vettori
• Sottospazi vettoriali
• Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori
• Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale
• Insiemi di vettori linearmente indipendenti
• Basi di uno spazio vettoriale
• Dimensione di uno spazio vettoriale
• Coordinate
• Somma e intersezione di sottospazi vettoriali

Prerequisiti

Si presuppone che lo studente conosca la definizione astratta di spazio vettoriale e l’esempio concreto di spazio vettoriale reale con le operazioni naturali. In alcuni esempi si presuppone anche che lo studente abbia familiarità con la rappresentazione geometrica di R² e di R³.

Premessa

Supponiamo fissato uno spazio vettoriale reale V. Nel seguito chiameremo vettori gli elementi di V e scalari i numeri reali. Negli esempi, V sarà di solito uguale a R³ o a R².

1. Combinazioni lineari di vettori

Supponiamo fissati k vettori v₁, ..., v_k (k intero ≥ 1).

Definizione. Un vettore v si dice combinazione lineare di v₁, ..., v_k se esistono degli scalari λ₁, ..., λ_k tali che v = λ₁v₁ + ... + λ_kv_k.

Definizione più generale. Se S è un sottoinsieme, anche infinito, di V, diciamo che il vettore v è combinazione lineare di elementi di S se v è uguale a una somma finita del tipo λ₁v₁ + ... + λ_kv_k, con v₁, ..., v_k ∈ S e λ₁, ..., λ_k ∈ R.

Esempio. Il vettore v = ⁰₃ è combinazione lineare dei vettori v₁ = ^-1₂ e v₂ = ⁰₁, infatti v = ¹₂v₁ + 2v₂. Quindi la condizione della definizione precedente è verificata da λ₁ = -1 e λ₂ = 2.

Problemi

1. Stabilire se il vettore v = ²₁ è combinazione lineare dei vettori v₁ = ¹₁ e v₂ = ³₅. Se lo è, determinare esplicitamente dei coefficienti a e b tali che v = av₁ + bv₂.

Soluzione. Dobbiamo: (a) stabilire se l’equazione vettoriale xv₁ + yv₂ = v, nella coppia di incognite reali (x, y) ha soluzioni; (b) se ci sono soluzioni, scriverne esplicitamente una.

Scriviamo esplicitamente l’equazione vettoriale precedente:

2x + y = 2
3x + 5y = 1

Con facili calcoli troviamo che il sistema scritto sopra ha come unica soluzione la coppia (x, y) = ⁹₇ , ^-4₇. Quindi: (a) v è combinazione lineare di v₁ e v₂; (b) a = ⁹₇ e b = ^-4₇ soddisfano la richiesta del problema (e sono gli unici reali con questa proprietà).

2. Stabilire se i vettori v = ²₃ e w = ³₁ sono combinazioni lineari di v₁ = ^-1₂, v₂ = ⁰₁, v₃ = ²₃. Se lo sono, determinare esplicitamente i coefficienti di tali combinazioni lineari.

Soluzione. Lo schema di risoluzione è analogo a quello del problema precedente. Per stabilire se v è combinazione lineare di v₁, v₂, v₃, dobbiamo studiare la risolubilità del sistema di equazioni:

−x + 2y + z = 2
y + 3z = 3
−x + 2y + z = 1

Confrontando la prima e la terza equazione del sistema si vede subito che il sistema non ha soluzioni, quindi v non è combinazione lineare di v₁, v₂ e v₃.

Nel caso di w dobbiamo considerare il sistema:

−x + 2y + z = 2
y + 3z = 3
−x + 2y + z = 2

che chiaramente è equivalente a:

−x + 2y + z = 2
y + 3z = 3

Questo è un sistema risolubile e con infinite soluzioni. Infatti, dalla seconda equazione otteniamo y = −³_z + 3 e, sostituendo nella prima, −x = 7z − 4.

Questo vuol dire che qualunque valore reale, diciamo c, io attribuisca a z, la terna (7c − 4, −³_c + 3, c) è una soluzione del sistema. Quindi, poiché esistono soluzioni, w è combinazione lineare di v₁, v₂, v₃; inoltre, esistono infinite terne di coefficienti (a, b, c) tali che w = av₁ + bv₂ + cv₃; infine, l’insieme di tutte queste terne è {(7c − 4, −³_c + 3, c) | c ∈ R}. Per ottenere una terna particolare basta attribuire un valore a c, ad esempio per c = 0 ottengo w = −4v₁ + 3v₂.

2. Sottospazi vettoriali

Definizione. Un sottospazio vettoriale di V è un sottoinsieme non vuoto di V chiuso rispetto alle operazioni di V.

Quindi dire che U è un sottospazio vettoriale di V vuol dire:

• Che U è un sottoinsieme di V che contiene almeno un vettore;
• Che se il vettore u ∈ U, anche tutti i vettori di tipo λu (con λ ∈ R) appartengono a U;
• Che se i vettori u₁ e u₂ appartengono a U, anche il vettore u₁ + u₂ appartiene a U.

Osservazioni

• Poiché 0v = 0 per ogni vettore v, dalle condizioni (1) e (2) della definizione segue che un sottospazio vettoriale contiene sempre il vettore 0.
• Dalle condizioni (2) e (3) segue che: se U è un sottospazio vettoriale di V, allora tutte le combinazioni lineari di vettori di U appartengono ancora a U.
• [Dimostrare] Un sottospazio vettoriale di V è a sua volta uno spazio vettoriale reale.

Esempi

1. Il sottospazio nullo (o banale). Il sottoinsieme {0} è un sottospazio vettoriale di V. Infatti: (1) contiene 0, quindi non è vuoto; (2) tutti i vettori di tipo λ0 (λ ∈ R) sono uguali a 0 e quindi stanno in {0}; (3) se u₁ e u₂ stanno in {0}, allora u₁ = u₂ = 0 e quindi u₁ + u₂ = 0.

2. Il sottospazio improprio. [Dimostrare.] V stesso è un sottospazio vettoriale di sé stesso.

3. [Dimostrare.] Se fissiamo un sistema di riferimento nello spazio e identifichiamo i punti dello spazio con gli elementi di R³, tramite le coordinate, allora: tutte le rette passanti per l’origine e tutti i piani passanti per l’origine sono sottospazi vettoriali di R³.

N.B. Nel caso V = R³, i sottospazi descritti negli esempi 1, 2 e 3 precedenti sono tutti i sottospazi vettoriali di V. [Provate a dimostrare anche questo. Alla fine della lezione dovrebbe esservi del tutto chiaro.]

3. Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori

Fissiamo un insieme non vuoto di vettori S ⊆ V.

Definizione. Il sottospazio vettoriale generato da S, che denoteremo con Span S, è il minimo sottospazio vettoriale di V che contiene S.

Spiegazione della definizione: “minimo” vuol dire: “ogni altro sottospazio vettoriale che contiene S contiene anche Span S”.

Teorema

Span S coincide con l’insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S.

Schema di dimostrazione. [Capire e provare a completare.] Dobbiamo dimostrare due cose:

1. Che l’insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S è un sottospazio vettoriale che contiene S.
2. Che è minimo nel senso spiegato sopra.

Per il punto 1 dobbiamo far vedere: (a) che sommando due combinazioni lineari di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!); (b) che moltiplicando per uno scalare una combinazione lineare di elementi di S si ottiene ancora una combinazione lineare di elementi di S (facile!).

Per il punto 2 basta usare l’Osservazione 2 della sezione precedente. Da questa segue direttamente che se un sottospazio vettoriale di V contiene S, allora contiene anche Span S.

Esempi

1. Span {0} = {0} perché è già un sottospazio vettoriale.

2. [Dimostrare.] Fissiamo v ∈ V, v ≠ 0. Allora Span {v} è l’insieme di tutti i multipli scalari di v. In R² e in R³, con l’usuale rappresentazione geometrica, si ottiene che Span {v} è la retta passante per l’origine su cui giace il vettore v.

3. [Dimostrare.] Fissiamo u, v ∈ R³. Se u e v non sono proporzionali, allora otteniamo che la rappresentazione geometrica di Span {u, v} è il piano passante per l’origine che contiene i vettori u e v. [Problemi: 1. Cosa succede se u e v sono proporzionali? 2. Cosa può essere Span {u, v, w}, nella rappresentazione geometrica, se u, v, w sono tre vettori arbitrari in R³? 3. Se u e v sono due vettori non proporzionali di R², cosa è Span {u, v}?]

4. Insiemi di generatori di uno spazio vettoriale

Definizione 1. Un insieme di generatori di V è un insieme di vettori S, incluso in V, tale che ogni vettore di V sia combinazione lineare di vettori di S.

Definizione 2. V si dice finitamente generato se ha un insieme di generatori finito.

Osservazioni

• Dire che S è un insieme di generatori di V equivale a dire che V = Span S. [Spiegate perché.]
• Se S è un insieme di generatori di V, allora ogni sottoinsieme S′ di V che contiene S è ancora un insieme di generatori di V. (I generatori che non compaiono esplicitamente in combinazione lineare hanno coefficiente nullo).

Esempi

1. {(1, 0), (0, 1)} è un insieme di generatori di R², perché per ogni vettore (a, b) ∈ R² si ha che (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1).

2. L’esempio precedente si generalizza a Rⁿ, n ≥ 1: per i = 1, ..., n chiamiamo e_i il vettore di Rⁿ con tutte le componenti nulle tranne la i-esima, che invece è 1. Allora {e₁, ..., e_n} è un insieme di generatori di Rⁿ. Infatti per ogni vettore (a₁, a₂, ..., a_n) ∈ Rⁿ si ha che (a₁, a₂, ..., a_n) = a₁e₁ + a₂e₂ + ... + a_ne_n.

3. L’esempio precedente dimostra che Rⁿ è finitamente generato, per ogni n ≥ 1.

Problemi

1. Dimostrare che {(2, 1), (4, 5)} è un insieme di generatori di R².

Soluzione. Dobbiamo dimostrare che ogni vettore (a, b) ∈ R² è una combinazione lineare dei due vettori dati, cioè che dato un arbitrario (a, b) ∈ R², possiamo trovare x, y tali che x(2, 1) + y(4, 5) = (a, b). Questo equivale a dire che il sistema:

2x + y = a
4x + 5y = b

è risolubile qualunque siano i “termini noti” a e b. Chi ricorda la regola di Cramer dirà subito che questo è vero, e in più il sistema ha soluzione unica, perché 2 · 5 − 4 · 1 ≠ 0. Allo stesso risultato si arriva anche provando direttamente a risolvere il sistema: si trova che qualunque siano a e b il sistema ha soluzione, unica, x = ^5a-b₆, y = ^b-2a₃.

[In generale vale il fatto seguente: due vettori non proporzionali in R² costituiscono sempre un insieme di generatori di R². Sapete trovare una spiegazione geometrica di questo?]

2. Consideriamo il sottospazio vettoriale V di R³, V = Span {v₁, v₂, v₃}, dove v₁ = ^-1₂, v₂ = ⁰₁, v₃ = ²₃.

Dimostrare che {v₁, v₂} è un insieme di generatori di V.

Soluzione. Dobbiamo dimostrare che tutti gli elementi di V sono combinazioni lineari di v₁ e v₂. Per prima cosa, visto che v₃ appartiene a V, v₃ stesso deve essere combinazione lineare di v₁ e v₂. Con un calcolo diretto, analogo ai calcoli visti nella Sezione 1, troviamo infatti che v₃ = −7/3 v₁ + 3 v₂ [fate il conto]. Ora, per definizione, V è generato da {v₁, v₂, v₃} e quindi tutti i suoi elementi sono combinazioni lineari di v₁ e v₂.