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Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: la somma delle matrici, il prodotto della matrice scalare, il prodotto delle matrici delle righe colonne, il trasposta matrice, lamatrice del sistema lineare, la risoluzione del sistema lineare,... Vedi di più

Esame di Algebra lineare docente Prof. P. Cellini

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ESTRATTO DOCUMENTO

9

Allora x 

     

−1 −1 |

2 0 3 1 2 0 4 1

y

−1 −1 −1 −1 |

1 4 , 2

, , 1 4 2

 

     

z

 

−1 −1 |

1 0 5 0 1 0 5 0

t

sono rispettivamente la matrice dei coefficienti, il vettore delle incognite, la colonna

dei termini noti, la matrice completa del sistema. Il sistema dato equivale all’equa-

zione x

 

   

−1

2 0 3 1

y

−1 −1

1 4 = 2 ,

 

   

z

 

−1 0

1 0 5 t

t

dove l’incognita è il vettore (x, y, z, t).

Dalla Proprietà del prodotto matrice per vettore enunciata nell Sezione 2 dedu-

ciamo immediatamente la seguente Osservazione basilare.

= b ha soluzioni se e solo se il vettore b è

Osservazione. Il sistema lineare Ax

combinazione lineare delle colonne di A.

5. Risoluzione di un sistema lineare: l’eliminazione di Gauss

Risolvere un sistema lineare a coefficienti reali

Ax = b m

di n equazioni in m incognite, vuol dire trovare tutti i vettori v in tali che

R

Av = b.

Se non esistono soluzioni, diciamo che il sistema non è risolubile.

Consideriamo tre esempi. −

x + y 3z = 1

 (1)

− y + z = 0

 2z = 1

10 −

2x + y 3z =1

 −

 y + z =0

 (2)

2z =1

 0 =2

x + x + x 3x + x = 2

1 2 3 4 5

 − −1

x + x + 2x = (3)

3 4 5

 −

 2x 4x = 2

4 5

È del tutto evidente che il sistema (1) è risolubile ed ha un’unica soluzione: basta

risolverlo per sostituzione “dal basso”, cioè: deduciamo il valore di z dalla terza

equazione; lo sostituiamo nella seconda e calcoliamo il valore di y; sostituiamo i

valori di z e y nella prima equazione e calcoliamo quello di x. L’unica soluzione del

   

x 2

sistema è y = 1/2

   

z 1/2

È anche del tutto evidente che il secondo sistema è privo di soluzioni, perché la

quarta equazione non è soddisfatta da nessuna attribuzione di valori reali a x, y, z.

Studiamo il terzo sistema. Vogliamo mostrare che questo è risolubile ed ha

infinite soluzioni. In primo luogo trasformiamolo portando le incognite x e x sul

2 5

lato destro delle equazioni: − − −

x + x 3x = 2 x x

1 3 4 2 5

 0

− −1 −

x + x = 2x (3 )

3 4 5

 2x = 2 + 4x

4 5

A sinistra del segno di uguaglianza ora abbiamo le stesse espressioni del sistema (1),

a parte il nome diverso delle incognite. Allora, se attribuiamo a x e x due valori

2 5

reali arbitrari, possiamo dedurre come abbiamo fatto per il sistema (1) i valori di

0

x , x e x in modo da soddisfare le equazioni in (3 ). Precisamente, se a e b sono

4 3 1

due numeri reali qualunque, ponendo x = a e x = b otteniamo:

2 5

dalla terza equazione, x = 1 + 2b;

4

sostituendo nella seconda, x = 1 + 2b + (1 + 2b) = 2 + 4b;

3 − − − −

sostituendo nella prima, x = 2 a b + 3(1 + 2b) (2 + 4b) = 3 a + b.

1

Quindi otteniamo che

x = 3 a + b, x = a, x = 2 + 4b, x = 1 + 2b, x = b

1 2 3 4 5 11

è una soluzione del sistema (3); inoltre è l’unica soluzione con x = a e x = b.

2 5

Poiché a e b sono arbitrari, esistono infinite soluzioni, una per ogni scelta dei numeri

a e b. Questo si riassume nel modo seguente:

L’insieme delle soluzioni del sistema (3) è

3 a + b

 

  

 a 

 

  

| ∈ . (∗)

2 + 4b a, b

  R

 

1 + 2b 

  

 

 

b

I tre sistemi che abbiamo appena studiato hanno una forma particolare, la cosid-

detta forma a scala. La nozione di sistema a scala può essere precisata in termini

della matrice completa del sistema. ×

Definizione: matrici a scala. Sia M una matrice non nulla n m. M si dice a

scala se:

(1) se M ha delle righe nulle, queste seguono (nell’ordine dall’alto verso il basso) le

righe non nulle; ≤ ≤

(2) se M , . . . , M (1 k n) sono le righe non nulle di M e, p (i = 1, . . . , k) è il

1 k i

primo elemento diverso da 0 della riga M , allora p si trova strettamenente più

i i+1

a destra di p , per i = 1, . . . , k 1.

i

Se M è a scala gli elementi p , . . . , p si chiamano i pivot di M .

1 k

Esempio 1. 1 0 1

 

 

3 1 1 1

0 3 (non a scala)

0 0 2 (a scala)  

  0 2 2 

0 0 0 0 0 5

La prima delle due matrici scritte sopra è a scala e i suoi pivot sono gli elementi

sottolineati. Invece la seconda matrice non è scala, perché non soddisfa la con-

dizione (2) della definizione. Infatti, nelle notazioni della condizione (2), p è il 3

2

sottolineato e p è il 2 sottolineato, quindi p non si trova strettamente più a destra

3 3

di p .

2

Definizione: sistemi a scala. Un sistema si dice a scala se la sua matrice

completa è a scala.

12 Per un sistema a scala, come abbiamo sperimentato negli esempi, è immediato

vedere se esistono soluzioni e, se ne esistono, calcolarle.

La tecnica di risoluzione dei sistemi che descriveremo, l’eliminazione di Gauss,

consiste nel trasformare qualunque sistema dato in un sistema a scala che abbia lo

stesso insieme di soluzioni. Le operazioni che si fanno per ottenere questo risultato

sono del tipo: (1) scambiare di posizione due equazioni; (2) cambiare una certa

equazione sommandole un multiplo di un’altra equazione. Le operazione di tipo (2)

si usano per eliminare un’incognita dall’equazione su cui operiamo.

Facciamo un esempio che chiarisca le parole in caratteri obliqui.

Esempio 2. Se ho il sistema di due equazioni

−2

2x + 2y + z = (L)

3x + y + z = 2

per eliminare la x dalla seconda equazione, sommo a questa, membro a a membro,

32

la prima equazione moltiplicata per :

3x + y + z = 2

3

−3x − −

3y z = 3

2

1

− −

2y z = 5

2

e ottengo il nuovo sistema −2

2x + 2y + z =

0

(L )

1

− −

2y z = 5

2

0

Il sistema (L ) è a scala. Se sapessi che ha le stesse soluzioni di (L), potrei lavorare

0

su (L ). Ora è chiaro che una terna di valori reali (a, b, c) per (x, y, z) che soddisfa

0

il sistema (L) soddisfa anche (L ), per come questo è costruito. Ma è vero anche il

0

viceversa, perché (L) si ottiene da (L ) facendo l’operazione inversa di quella fatta,

0

precisamente, la seconda equazione di (L) si ottiene dalla seconda equazione di (L )

3 della prima equazione. Quindi l’operazione descritta non

sommando a questa i 2

cambia le soluzioni.

Nota. Per evitare coefficienti frazionari avrei anche potuto prima moltiplicare la

seconda equazione per 2, e poi sottarre la prima equazione moltiplicata per 3. I

discorsi sulle soluzioni funzionerebbero allo stesso modo. 13

Definizione: Sistemi equivalenti. Due sistemi di equazioni lineari si dicono

equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni.

È chiaro che operazioni sulle equazioni di un sistema del tipo descritto nell’E-

sempio 2 si possono vedere come operazioni sulla matrice completa del sistema.

Riduzione a scala di una matrice: eliminazione di Gauss. L’algoritmo che

stiamo per descrivere serve a trasformare un’arbitraria matrice non nulla in una

matrice a scala. L’algoritmo è strutturato in modo che, se applicato alla matrice

completa di un sistema, la trasforma nella matrice completa di un sistema equiva-

lente. Le operazioni permesse sono:

(1) Scambiare di posizione due righe.

(2) Sommare ad una riga un multiplo di un’altra riga.

L’algoritmo procede in modo ricorsivo nel modo seguente:

(a) Se M è nulla o è già a scala, M resta invariata e la procedura termina.

(b) Altrimenti:

(1) Vediamo qual è la prima colonna non nulla di M : supponiamo sia la i-esima.

Scegliamo in modo arbitrario una riga R di M con l’i-esima componente

non nulla e, se non abbiamo scelto la prima riga, scambiamo di posto la

prima riga e la R scelta.

(2) Sia p il primo elemento non nullo di R (il pivot). L’elemento p sta sulla

prima riga e non ha elementi strettamente alla sua sinistra. Modifichiamo

le righe successive alla prima in modo da rendere nulli anche tutti i termini

che stanno sotto p (nella stessa colonna di p), nel modo seguente:

k-esima riga (1 < k): se x è il termine di posizione (k, i) (cioè (k-esima

ki

x

− ·

riga, stessa colonna di p)), sommiamo alla k-esima riga R.

ki

p

0 00

Ricorsione. Sia M la matrice ottenuta al termine del passo 2 e M la sottomatrice

0 0

di M costituita dalle righe successive alla prima. Lasciamo la prima riga di M

invariata ed eventualmente cambiamo le righe successive, applicando la procedura

00

che abbiamo appena descritto a M in luogo di M .

Esempio 3. Applichiamo la riduzione a scala alla matrice M scritta sotto.

14 1 0 1

1

1 1 0 1

  

 Non serve alcuno scambio di righe.

1

0 0 0 1 0 0 0 1

L’“ ”sottolineato è il pivot.  

 Le operazioni da fare sono: → −1 −1

M = 2 1 1 1 0 1

 

 −2·

III riga I riga

  

−1 −1

1 2 2 0 1 1

 

 IV riga I riga

V riga I riga

1 1 0 3 0 0 0 2

1 0 1

1

 

Si lavora sulle righe sotto la linea. −1

0 1 1

Dobbiamo scambiare la II riga o con E ora l’unica operazione

 

→ →

−1 −1

la III o con la IV: scegliamo la IV. 0 1

  da fare è:

  III riga + II riga

(la numerazione delle righe è riferita 0 0 0 1

 

alla matrice completa) 0 0 0 2

1 0 1 1 0 1

1

1 

 

 −1 −1

0 1 1 0 1 1 

 

 Qui scambiamo Infine:

→ →

→ 0 0 0 0 0 0 0 1

 

 −2·

V riga III riga

III e IV riga 

 

 0 0 0 0

0 0 0 1 

 

 0 0 0 2

0 0 0 2

1 1 0 1

 

−1 1

0 1 Abbiamo ottenuto la matrice a scala

→ 0 0 0 1 = S S

 . Gli elementi sottolineati sono i

  suoi pivot.

0 0 0 0 

 0 0 0 0

Nota. Il risultato finale dipende, ad ogni stadio dell’iterazione dell’algoritmo, da

come scegliamo la prima riga. Ad esempio, al passaggio dalla seconda alla terza

matrice, avremmo potuto scambiare la II riga con la III. Analogamente, all’inizio

del procedimento, avremmo potuto, come primo passo, scambiare la I riga con la

III, la IV o la V: l’unica riga che non va bene è la II, perché in corrispondenza della

seconda colonna ha uno 0.

È chiaro che un’operazione del tipo (1), cioè uno scambio di righe, sulla matrice

completa di un sistema corrisponde allo scambio di posizione di due equazioni e

perciò non cambia le soluzioni del sistema. Le operazioni del tipo (2) sono invece

analoghe a quella descritta nell’Esempio 2. Lo studente provi a generalizzare le

considerazioni fatte nell’Esempio 2 in modo da completare la dimostrazione del

risultato seguente. L L.

Proposizione 1. Sia un sistema lineare e sia M la matrice completa di Sia

0

L

poi S una matrice a scala ottenuta da M per eliminazione di Gauss e sia il

0

L L

sistema lineare di matrice completa S. Allora e sono equivalenti. 15

A questo punto scriviamo come si tratta in generale un sistema a scala. Enun-

ciamo i risultati principali.

Proposizione 2. Un sistema a scala è risolubile se e solo se la sua matrice com-

pleta non ha pivot nell’ultima colonna.

Proposizione 3. Un sistema a scala ha soluzione unica se e solo se la sua matrice

completa ha tanti pivot quante sono le incognite e tutti i pivot si trovano nella

matrice dei coefficienti.

L

Proposizione 4. Sia un sistema a scala e sia S la sua matrice completa. Sup-

poniamo che S non abbia pivot nella colonna dei termini noti e che i pivot siano

L

in numero inferiore al numero delle incognite. Allora ha infinite soluzioni.

La conclusione di questo paragrafo è dedicata alla dimostrazione delle tre propo-

sizioni precedenti. Cominciamo col dimostrare che:

se c’è un pivot nell’ultima colonna della matrice completa il sistema non

è risolubile.

Infatti se la matrice del sistema ha pivot p nell’ultima colonna, cioè nella colonna

6

dei termini noti, allora il sistema contiene l’equazione 0 = p e poiché p = 0, il sistema

non è risolubile. (Cfr. sistema (2) all’inizio del paragrafo.)

Quindi proviamo che:

se ci sono tanti pivot quante incognite, tutti nella parte dei coefficienti

della matrice completa, allora la soluzione esiste ed è unica.

Questo è il caso esemplificato dal sistema (1) all’inizio del paragrafo. L’ipotesi

equivale al fatto che il sistema è di tipo · · ·

a x + a x + + a x = b

 11 1 12 2 1n n 1

 · · ·

a x + + a x = b

 22 2 2n n 2

 ..

.. . .

 a x = b

nn n n

con gli a tutti diversi da zero. Il sistema si risolve per sostituzione dal basso,

ii

partendo dall’ ultima equazione: si trova x = b /a , si sostituisce questo valore

n n nn

a x nella penultima equazione e si determina x , si prosegue induttivamente

n n−1

fino a determinare x .

1


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Frau81

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Algebra lineare per l'esame della professoressa Paola Cellini sui seguenti argomenti: la somma delle matrici, il prodotto della matrice scalare, il prodotto delle matrici delle righe colonne, il trasposta matrice, lamatrice del sistema lineare, la risoluzione del sistema lineare, l'eliminazione di Gauss, le definizioni, gli esempi.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e finanza
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Frau81 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof Cellini Paola.

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