Algebra lineare - concetti vari

Lezioni di algebra lineare - Parte II

Contenuto

• Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare
• Prodotto di matrici righe per colonne
• Trasposta di una matrice
• Matrice di un sistema lineare
• Risoluzione di un sistema lineare: l'eliminazione di Gauss

Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare

Una matrice a coefficienti reali di misura n x m (brevemente matrice reale n x m), è una tabella di numeri reali a n righe e m colonne (dove n e m sono interi positivi). Gli elementi (o termini, o componenti) della matrice sono i numeri che la compongono; l'elemento di posto (o posizione) (i, j) è l'elemento che compare nella i-esima riga e nella j-esima colonna (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m).

Ecco una matrice reale 2 x 3. Il suo elemento di posto (2, 2) è 2.

Notazione: La scrittura A = (a_ij) vuol dire che A è una matrice n x m e che il suo termine di posto (i, j) è a_ij. Gli indici i e j si chiamano l'indice di riga e l'indice di colonna, rispettivamente, dell'elemento a_ij. Se la misura di A è già definita nel contesto, scriviamo semplicemente A = (a_ij).

Somma di matrici

Se A e B sono matrici della stessa misura, n x m, denotiamo con A + B la matrice n x m, ottenuta sommando A e B componente a componente.

Problema: Dimostrare che la somma di matrici della stessa misura è commutativa e associativa.

Prodotto di una matrice per uno scalare

Se A è una matrice n x m e λ è un numero reale, il prodotto λA è la matrice n x m ottenuta da A moltiplicando ciascuna dei suoi elementi per λ.

Denotiamo con M_n,m(R) l'insieme delle matrici reali n x m. È immediato verificare che la matrice nulla n x m, cioè la matrice n x m con tutti gli elementi uguali a 0, è un elemento neutro per la somma. Inoltre, per ogni M appartenente a M_n,m(R), la matrice -M è l'opposta di M rispetto alla somma. Quindi, scriviamo -M in luogo di -1 x M.

Dimostrare che M_n,m(R), con le operazioni definite sopra, è uno spazio vettoriale reale di dimensione n x m.

Prodotto di matrici righe per colonne

Il prodotto (righe per colonne) AB di due matrici reali A e B è definito se e solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B, cioè A è n x m e B è m x k, con n, m, k interi positivi. In questo caso, AB è una matrice n x k.

Il prodotto di matrici non è commutativo: in generale, se il prodotto AB è definito, il prodotto di B per A potrebbe non esserlo e, se è definito, BA può essere diversa da AB.

Nei prossimi paragrafi descriveremo la regola aritmetica per la moltiplicazione di due matrici e le proprietà del prodotto definito.

Riga per colonna

Consideriamo il caso particolare in cui a è una matrice 1 x m (vettore riga) e b una matrice m x 1 (vettore colonna):

a = (a₁, . . . , a_m), b =

Allora ab è una matrice 1 x 1, cioè uno scalare, ed è ottenuta moltiplicando ordinatamente gli elementi della riga a per gli elementi della colonna b e sommando i prodotti.

(1 2 3)

Notazione: Se M è una matrice reale n x m, denotiamo con M_i la i-esima riga di M (i = 1, . . . , n) e con M_j la j-esima colonna di M (j = 1, . . . , m).

Se M =

Righe per colonne

Sia A una matrice reale n x m e B una matrice reale m x k. Allora AB è la matrice n x k così definita: l'elemento di posto (i, j) di AB è il prodotto riga per colonna A_i B_j.

Sia

AB =

Poniamo

Scriviamo la misura delle matrici: A: 2 x 3; B: 3 x 2; C: 4 x 2.

Allora:

• AB è definita ed è una matrice 2 x 2;
• BA è definita ed è una matrice 3 x 3;
• CA è definita ed è una matrice 4 x 3;
• AC, BC, CB non sono definite.

AB =

Formula del prodotto

La regola del prodotto di matrici si sintetizza nella formula seguente. Siano A e B matrici reali n x m e m x k, rispettivamente, così che AB è una matrice reale n x k. Poniamo A = (a_ij), B = (b_ij), AB = (c_ij). Allora

c_ij = Σa_ikb_kj, per k che va da 1 a m.

Proprietà del prodotto: matrice per vettore colonna

Supponiamo che A sia una matrice n x m a coefficienti reali. Le colonne A₁, . . . , A_m di A sono vettori in Rⁿ. Sia poi b =

Ab = b₁A₁ + ... + b_mA_m.

Sia A =

Allora Ab è