Algebra lineare - concetti vari

Proprietà del prodotto di matrici

RAb è la combinazione lineare delle colonne di A che ha per coefficienti le componenti di b, cioè:

Ab = b₁A₁ + b₂A₂ + ... + b_mA_m

Esempio. Sia:

A =
-3 1 2 3
4 5 6 7

b =
14
1
2
3

Allora:

Ab =
-3*14 + 1*1 + 2*2 + 3*3
4*14 + 5*1 + 6*2 + 7*3

[Se non vi è chiaro, verificatelo facendo esplicitamente i conti.]

Proprietà del prodotto: caso generale. Siano A una matrice n x m e B una matrice m x k. In queste ipotesi le colonne di B sono vettori in R^m e quindi è definito il prodotto di A per ciascuna delle colonne di B. In effetti vale il fatto seguente.

Proposizione 1. Le colonne di AB sono i prodotti di A per le colonne di B. Precisamente, la i-esima colonna di AB è il prodotto di A per la i-esima colonna di B (i = 1, ..., k).

In particolare, le colonne di AB sono combinazioni lineari delle colonne di A.

Esempio.
A =
-3 0 1 2 3
4 5 6 -2 7

B =
1
-2
7
-6

Allora AB è la matrice 2 x 2 le cui colonne sono:

ordinatamente 1 2 3 1 2 3−3 − −2 +7 , e 0 +1 2 .4 5 6 4 5 6[Se non vi è chiaro, verificatelo facendo esplicitamente i conti.]

Nella prossima proposizione sono enunciate, senza dimostrazione, alcune pro-prietà aritmetiche del prodotto di matrici. Gli studenti sono esortati a dimostrarnealmeno una per esercizio: le dimostrazioni consistono in una verifica diretta utiliz-zando la definizione o la formula del prodotto.

Proposizione 2. Valgono le proprietà distributive:

× ×A(B + C) = AB + AC (A n m, B e C m k),

× ×(A + B)C = AC + BC (A e B n m, C m k).

Vale inoltre la proprietà: × ×λ(AB) = (λA)B = A(λB) (A n m, B m k, λ scalare).

Più avanti vedremo che vale anche la proprietà associativa. 73. Trasposta di una matrice.

La definizione che segue è un po’ informale. Due definizioni formali sono con-tenute nelle successive Osservazioni 1 e 2.

×Definizione. Sia A una matrice reale n m.

La trasposta di A, che si denota con A^T, è la matrice m x n che ha come colonne le righe di A (e come righe le colonne di A). Esempio. Se A = ``` 1 4 1 2 5 4 3 6 5 ``` allora A^T = ``` 1 2 3 4 5 6 1 4 5 ``` Osservazioni immediate. 1. Se A = (a_ij), allora il termine di posto (i, j) di A è a_ij. 2. Se a = (a₁ ... a_m) è un vettore riga (quindi una matrice 1 x m), allora a^T è il vettore colonna ``` a<sub>1</sub> ... a<sub>m</sub> ``` Se A = (A₁ ... A_n) sono le righe di A, allora le colonne di A^T sono A₁, ..., A_n. Analogamente, se A = (A₁ ... A_n) sono le colonne di A, allora le righe di A^T sono A₁, ..., A_n. 3. Per ogni matrice A si ha (A^T)^T = A. Proposizione: trasposta di un prodotto di matrici. Siano A e B due matrici reali n x m e m x k, rispettivamente. Allora (AB)^T = B^T A^T. Dimostrazione. Supponiamo prima che A abbia una sola riga e B una sola colonna, A = (a₁ ... a_m) e B = (b₁ ... b_m). Allora AB è uno scalare, quindi (AB)^T = AB, e la

tesi equivale a AB = B A. Questo è immediato, infattib a   11 .... ..· · · .(a . . . a ) = a b + + a b = (b . . . b )1 1 n n 1 m1 m   b ammTorniamo al caso generale e indichiamo come al solito con A , . . . , A le righe di A1 n1 k te con B , . . . , B le colonne di B. Confrontiamo gli elementi di (AB) con quelli dit t tB A. Per l’Osservazione 1, l’elemento di posizione (i, j) di (AB) è uguale al termineidi posizione (j, i) di AB, quindi è uguale a A B . Per l’Osservazione 2, il terminej8 t t t i tdi posizione (i, j) di B A è (B ) (A ). Per la prima parte della dimostrazioneji t i t t t tA B = (B ) (A ), quindi otteniamo che (AB) = B A.j jProblema. Utilizzando la Proposizione precedente e la Proposizione 1 della sezione2, dimostrare che le righe di AB sono combinazioni lineari delle righe di B.4. Matrice di un sistema lineareConsideriamo un sistema di n equazioni lineari a coefficienti reali in m incognitex , . . . ,

x :1 m · · ·a x + + a x = b

 11 1 1m m 1.. .. ..

 .. .. ... . ... .

 · · ·a x + + a x = bn1 1 nm m n

La matrice A = (a ) si chiama la matrice dei coefficienti del sistema; il vettore

ijb  1... si chiama la colonna dei termini noti del sistema; la matrice (A|b),

b =  b nottenuta aggiungendo ad A la colonna b, si chiama la matrice completa del sistema;

x  1...il vettore x si chiama il vettore delle incognite del sistema.

=  xm

Se ricordiamo la regola di moltiplicazione tra matrici, vediamo subito che i ter-mini a sinistra delle equazioni del sistema sono le componenti del vettore Ax. Quindi

il sistema dato equivale all’equazione, nell’incognita x,

Ax = b.

Tutti i sistemi che tratteremo saranno di equazioni lineari a coefficienti reali,

anche se non lo diremo esplicitamente.

Esempio. Consideriamo il sistema di tre equazioni nelle quattro incognite x, y, z, t:

 −2x z + 3t = 1

 − −x +

4y z t = 2−x + y + 5t = 0
 9

Allora x      
−1 −1 |2 0 3 1
2 0 4 1
y−1 −1 −1 −1 |1 4 , 2, , 1 4 2
      
z 
−1 −1 |1 0 5 0 1 0 5 0
t

sono rispettivamente la matrice dei coefficienti, il vettore delle incognite, la colonna
dei termini noti, la matrice completa del sistema.

Il sistema dato equivale all’equa-zione x    
−12 0 3 1
y−1 −11 4 = 2 ,
    
z 
−1 01 0 5 t

dove l’incognita è il vettore (x, y, z, t).

Dalla Proprietà del prodotto matrice per vettore enunciata nell Sezione 2 dedu-
ciamo immediatamente la seguente Osservazione basilare.

Osservazione. Il sistema lineare Ax = b ha soluzioni se e solo se il vettore b è
combinazione lineare delle colonne di A.

5. Risoluzione di un sistema lineare: l’eliminazione di Gauss

Risolvere un sistema lineare a coefficienti reali Ax = b di
n equazioni in m incognite,

vuol dire trovare tutti i vettori v in tali che RAv = b. Se non esistono soluzioni, diciamo che il sistema non è risolubile. Consideriamo tre esempi. 1) -x + y + 3z = 1 -y + z = 0 2z = 1 2) -2x + y + 3z = 1 -y + z = 0 2z = 1 3) x + x + x + 3x + x = 21 -x + x + 2x = 3 2x + 4x = 24 È del tutto evidente che il sistema (1) è risolubile ed ha un'unica soluzione: basta risolverlo per sostituzione "dal basso", cioè: deduciamo il valore di z dalla terza equazione; lo sostituiamo nella seconda e calcoliamo il valore di y; sostituiamo i valori di z e y nella prima equazione e calcoliamo quello di x. L'unica soluzione del sistema è: x = 2 y = 1/2 z = 1/2 È anche del tutto evidente che il secondo sistema è privo di soluzioni, perché la quarta equazione non è soddisfatta da nessuna attribuzione di valori reali a x, y, z. Studiamo

il terzo sistema. Vogliamo mostrare che questo è risolubile ed ha infinite soluzioni. In primo luogo trasformiamolo portando le incognite x e x sul lato destro delle equazioni:

−−− x + x = 2   0−1−x + x = 2x   2x = 2 + 4x

A sinistra del segno di uguaglianza ora abbiamo le stesse espressioni del sistema (1), a parte il nome diverso delle incognite. Allora, se attribuiamo a x e x due valori reali arbitrari, possiamo dedurre come abbiamo fatto per il sistema (1) i valori di x0, x1 e x2 in modo da soddisfare le equazioni in (3). Precisamente, se a e b sono due numeri reali qualunque, ponendo x0 = a e x1 = b otteniamo:

dalla terza equazione, x2 = 1 + 2b;

sostituendo nella seconda, x1 = 1 + 2b + (1 + 2b) = 2 + 4b;

sostituendo nella prima, x0 = 2a − b + 3(1 + 2b) − (2 + 4b) = 3a + b.

Quindi otteniamo che −x0 = 3a + b, x1 = a, x2 = 2 + 4b, x0 = 1 + 2b, x1 = b è una

soluzione del sistema (3); inoltre è l'unica soluzione con x = a e x = b.2 5

Poiché a e b sono arbitrari, esistono infinite soluzioni, una per ogni scelta dei numeri a e b. Questo si riassume nel modo seguente:

L'insieme delle soluzioni del sistema (3) è

-3a + b

{ a | a ∈ R } ∗ { 2 + 4b | b ∈ R }

I tre sistemi che abbiamo appena studiato hanno una forma particolare, la cosiddetta forma a scala. La nozione di sistema a scala può essere precisata in termini della matrice completa del sistema.

Definizione: matrici a scala. Sia M una matrice non nulla n m. M si dice a scala se:

1. se M ha delle righe nulle, queste seguono (nell'ordine dall'alto verso il basso) le righe non nulle;
2. se M , . . . , M (1 k n) sono le righe non nulle di M e, p (i = 1, . . . , k) è il primo elemento diverso da 0 della riga M , allora p si trova

strettamente più i+1-a destra di p, per i = 1, . . . , k

Se M è a scala gli elementi p, . . . , p si chiamano i pivot di M.

Esempio 1.

1	0	1
3	1	1
0	0	2

0	2	2
0	0	0
0	0	5

La prima delle due matrici scritte sopra è a scala e i suoi pivot sono gli elementi sottolineati. Invece la seconda matrice non è scala, perché non soddisfa la condizione (2) della definizione. Infatti, nelle no