Algebra lineare

ALGEBRA LINEARE – TEORIA

STRUTTURE ALGEBRICHE

Operazione Binaria: è una funzione il cui dominio è X × X e il codominio è X.

∗ ∶ × →

Proprietà delle operazioni:

 Proprietà associativa: (a∗b) = a∗(b∗c)

∗c

 Proprietà commutativa: a∗b = b∗a

 Esistenza del neutro: e∗a = a∗e = a

 Elemento inverso: a∗a’ = a’∗a = e

STRUTTURE ALGEBRICHE CON UNA OPERAZIONE

Semigruppo: struttura algebrica (X, in cui vale la proprietà associativa

o ∗)

Monoide: struttura algebrica (X, in cui valgono la proprietà associativa e l’esistenza del

o ∗)

neutro [(N, +), (Z, ×) sono monoidi commutativi, (F(x), è un monoide].

∘)

Gruppo: struttura algebrica (X, in cui valgono la proprietà associativa, l’esistenza del neutro

o ∗)

e l’elemento inverso

Gruppo Abeliano (o Commutativo): struttura algebrica (X, in cui valgono la proprietà

o ∗)

associativa, l’esistenza del neutro, l’elemento inverso e la proprietà commutativa [(Z, +), (Q, +),

(R,+), (C,+)].

STRUTTURE ALGEBRICHE CON DUE OPERAZIONI

Anello: struttura algebrica (X, in cui (X, è un gruppo abeliano, è associativa, e se

o ⊞, ⊡) ⊞) ⊡

ha le proprietà di distribuzione rispetto alle due operazioni

(a b) c = (c a) (b c) ; c (a b) = (c a) (c b).

⊞ ⊡ ⊡ ⊞ ⊡ ⊡ ⊞ ⊡ ⊞ ⊡

Anello Unitario: se è un anello e ammette elemento neutro [l’elemento neutro della somma

o ⊡

non è mai invertibile rispetto al prodotto lo 0 non è invertibile rispetto al prodotto].

→

Anello Commutativo: se è un anello e è commutativa.

o ⊡

Campo: è un anello commutativo unitario in cui ogni elemento, diverso dall’elemento neutro e,

o è invertibile rispetto al prodotto.

N-PLE E OPERAZIONI TRA N-PLE

( , …, ) con , …,

∈ .

1 2 1 2

Somma di n-ple:

a = ( , …, ) ; b = ( , …, )

1 2 1 2

a + b = ( + , + …, + )

1 1 2 2

Prodotto per scalare:

α●( , …, ) = a = (● , …,● )

●

1 2 1 2

MATRICI ( A COEFFICIENTI IN K)

Prodotto righe per colonne

Due matrici possono essere moltiplicate tra loro se il numero di colonne della prima matrice è uguale

al numero di righe della seconda. (), () ()

∈ ∈ → ∙ ∈

ℎ ℎ

o ( ∙ ) = ∙

o ( (

∙ ) ∙ = ∙ ∙ )

In generale, non vale vale solo se il numero di colonne della prima è uguale al

o ∙ = ∙ ,

numero di righe della seconda, e se il numero di righe della prima è uguale al numero di

colonne della seconda (vale certamente nelle matrici quadrate).

Matrici invertibili −1 −1

∙ = = ∙

La matrice nulla non è invertibile

o In è invertibile è l’inversa è se stessa

o −1 −1 −1

o ( ∙ ) = ∙

Se la matrice è invertibile, anche la trasposta lo è

o Per le matrici diagonali, basta invertire gli elementi sulla diagonale

o

DETERMINANTE DI UNA MATRICE QUADRATA

, il determinante di A è definito da

∈ ()

1 2

det() = ∑ () ∙ ∙ ∙ … ∙

(1) (2) ()

∈∑

o )

det( = det

()

Nelle matrici triangolari è il prodotto degli elementi sulla diagonale

o Teorema di Binet:

o ( ∙ ) = () ∙ ()

Il determinante si può calcolare:

Riducendo la matrice a gradini e rendendola triangolare, tenendo conto dell’effetto delle

o trasformazioni di riga/colonna sul determinante finale.

Con Laplace, sviluppando il determinante secondo una riga o una colonna:

o det() = + + ⋯ +

1 1 2 2

INVERTIBILITA’ E DETERMINANTE

Una matrice quadrata, per essere invertibile, deve avere determinante diverso da 0.

L’inversa di una matrice si ottiene con questa formula:

#

−1

=

()

Dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici di A.

#

SISTEMI DI CRAMER

Un sistema si dice di Cramer se la matrice incompleta A è invertibile (→ quadrata con determinante

diverso da 0). Un sistema di Cramer è determinato con soluzione −1

= ∙ .

La soluzione si ottiene con la formula: | |

1

=

1 ||

| |

2

=

2 ||

| |

=

{ ||

Dove è la matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con i termini noti.

SISTEMI A GRADINI

Un sistema si dice a gradini se la matrice completa associata è a gradini. Ha soluzione se e solo se

l’ultimo pivot non sta nella colonna dei termini noti.

Le incognite vincolate sono quelle corrispondenti alle colonne dei pivot, mentre le incognite libere

sono le altre n-m incognite. Dovremmo quindi esprimere le incognite vincolate in funzione delle

incognite libere.

Il sistema è:

Indeterminato se n > m avrà soluzioni;

−

o →

Determinato se n=m.

o Se m > n dipende: se le equazioni sono tutte linearmente indipendenti è impossibile (perché il

o rango di A sarebbe diverso dal rango di B).

SPAZI VETTORIALI

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme non vuoto con due operazioni

;

+: × → ∙ : × →

Tale che

1. (V,+) è gruppo abeliano

1 ∙ =

2. ()

() =

3. ( + ) = +

4. ( + ) = +

5.

SOTTOSPAZI VETTORIALI

W⊆V si dice sottospazio di V se è spazio ri