Algebra lineare

Algebra lineare – teoria

Strutture algebriche

Operazione binaria: è una funzione il cui dominio è X × X e il codominio è X.

∗ ∶ × →

Proprietà delle operazioni

• Proprietà associativa: (a∗b) = a∗(b∗c)∗c
• Proprietà commutativa: a∗b = b∗a
• Esistenza del neutro: e∗a = a∗e = a
• Elemento inverso: a∗a’ = a’∗a = e

Strutture algebriche con una operazione

Semigruppo: struttura algebrica (X, in cui vale la proprietà associativa o ∗).

Monoide: struttura algebrica (X, in cui valgono la proprietà associativa e l’esistenza del o ∗) neutro [(N, +), (Z, ×) sono monoidi commutativi, (F(x), è un monoide]. ∸)

Gruppo: struttura algebrica (X, in cui valgono la proprietà associativa, l’esistenza del neutro o ∗) e l’elemento inverso.

Gruppo Abeliano (o Commutativo): struttura algebrica (X, in cui valgono la proprietà o ∗) associativa, l’esistenza del neutro, l’elemento inverso e la proprietà commutativa [(Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +)].

Strutture algebriche con due operazioni

Anello: struttura algebrica (X, in cui (X, è un gruppo abeliano, è associativa, e se o ⊂, ⊥) ⊂) ⊥ ha le proprietà di distribuzione rispetto alle due operazioni (a ⊂ b) ⊥ c = (c ⊥ a) ⊂ (b ⊥ c) ; c ⊥ (a ⊂ b) = (c ⊥ a) ⊂ (c ⊥ b).

Anello unitario: se è un anello e ammette elemento neutro [l’elemento neutro della somma o ⊥ non è mai invertibile rispetto al prodotto lo 0 non è invertibile rispetto al prodotto]. →

Anello commutativo: se è un anello e è commutativa. o ⊥

Campo: è un anello commutativo unitario in cui ogni elemento, diverso dall’elemento neutro e, o è invertibile rispetto al prodotto.

N-ple e operazioni tra n-ple

( , …, ) con , …, ∈ . 1 2 1 2

Somma di n-ple: a = ( , …, ) ; b = ( , …, ) 1 2 1 2

a + b = ( + , + …, + ) 1 1 2 2

Prodotto per scalare: α●( , …, ) = a = (● , …,● ) ● 1 2 1 2

Matrici (a coefficienti in K)

Prodotto righe per colonne

Due matrici possono essere moltiplicate tra loro se il numero di colonne della prima matrice è uguale al numero di righe della seconda.

(), () () ∈ ∈ → ∙ ∈ ℂ ℂ o ( ∙ ) = ∙ o ((∙ ) ∙ = ∙ ∙ )

In generale, non vale vale solo se il numero di colonne della prima è uguale al o ∙ = ∙, numero di righe della seconda, e se il numero di righe della prima è uguale al numero di colonne della seconda (vale certamente nelle matrici quadrate).

Matrici invertibili

−1 −1 ∙ = = ∙

• La matrice nulla non è invertibile.
• In è invertibile è l’inversa è se stessa o −1 −1 −1
• ( ∙ ) = ∙
• Se la matrice è invertibile, anche la trasposta lo è.
• Per le matrici diagonali, basta invertire gli elementi sulla diagonale.

Determinante di una matrice quadrata

Il determinante di A è definito da ∈ () 1 2

det() = ∑ () ∙ ∙ ∙ … ∙ (1) (2) ()∈∑

• )det( = det()
• Nelle matrici triangolari è il prodotto degli elementi sulla diagonale.
• Teorema di Binet: o ( ∙ ) = () ∙ ()

Il determinante si può calcolare:

• Riducendo la matrice a gradini e rendendola triangolare, tenendo conto dell’effetto delle o trasformazioni di riga/colonna sul determinante finale.
• Con Laplace, sviluppando il determinante secondo una riga o una colonna: o det() = + + ⋯ + 1 1 2 2

Invertibilità e determinante

Una matrice quadrata, per essere invertibile, deve avere determinante diverso da 0.

L’inversa di una matrice si ottiene con questa formula: #−1 = ()

Dove è la matrice trasposta dei complementi algebrici di A. #

Sistemi di Cramer

Un sistema di Cramer si dice di Cramer se la matrice incompleta A è invertibile (→ quadrata con determinante diverso da 0). Un sistema di Cramer è determinato con soluzione −1 = ∙ .

La soluzione si ottiene con la formula: | |1 =1 ||| |2 =2 ||| | ={ ||

Dove è la matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna con i termini noti.

Sistemi a gradini

Un sistema si dice a gradini se la matrice completa associata è a gradini. Ha soluzione se e solo se l’ultimo pivot non sta nella colonna dei termini noti.

Le incognite vincolate sono quelle corrispondenti alle colonne dei pivot, mentre le incognite libere sono le altre n-m incognite. Dovremmo quindi esprimere le incognite vincolate in funzione delle incognite libere.

Il sistema è:

• Indeterminato se n > m avrà soluzioni; −o →
• Determinato se n=m. o
• Se m > n dipende: se le equazioni sono tutte linearmente indipendenti è impossibile (perché il o rango di A sarebbe diverso dal rango di B).

Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale su un campo K è un insieme non vuoto con due operazioni; +: × → ∙ : × → Tale che

1. (V,+) è gruppo abeliano
2. 1 ∙ =
3. ()() =
4. ( + ) = +
5. ( + ) = +

Sottospazi vettoriali

W⊆V si dice sottospazio di V se è spazio ri