Geometria (Algebra Lineare)

APPUNTI

GEOMETRIA

UNIVERSITÀ DI ROMA TOR VERGATA

CORSO PROF.SSA CIRIZA

A CURA DI F. CASUCCI

INDICE

1. INSIEMI DI NUMERI (NUMERI COMPLESSI) e CAMPI__________3

2. SPAZI e SOTTOSPAZI VETTORIALI_________________________7

3. SISTEMI LINEARI_____________________________________18

4. GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO____________________24

5. APPLICAZIONI LINEARI________________________________32

6. ENDOMORFISMI _____________________________________43

7. PRODOTTO SCALARE__________________________________50

8. APPLICAZIONI LINEARI SU SPAZI METRICI_________________58

9. ENDOMORFISMI NOTEVOLI_____________________________70

10. SIMMETRIE, ROTAZIONI, TRASLAZIONI____________________73

1. INSIEMI DI NUMERI (NUMERI COMPLESSI) e CAMPI

=~

= ib 1...,...r-c:). 2 lB : __

'e "'"

l-

~ ~ ~

bd'~

__ o~i - 1,-,,,

4-1-l <L 1_ d,,_ _ ,_

"]1,.

--+--l-f-l--+--+--+--+-!-1--+-+--+-+-+-,--..jl--l--A---+--~:- k-r,...-+----t--t-.-1-->.--+-+----+--+----c---+-------i,-+..-+--=+--, ..,_+->-+----+--+------+--+---..._.-+--+---->-._,_

~ ~ I~ ( I) -

IO. lh QL!-_1.4

.

-

...\-

'-4--=-!-

h2..-l-'~

-

-

-.-:-"+-

.....

-Ì :. ( _i Cì -

--l--t--+---!----,f-l----+--l-+--'Q .4S .A' --+-+-+---+-+--+--l----+--l-+---+-l----+-

V} I

-+---+-.d-+----+---+--+-+-~-

-+-+--+---

r-

1 ,_ 7 '. - a_ ~

t

O A ....._ H l :" '

e> -l

t (.; 1.'

~ .n

:i.

' I

+---

--+·-t--,-+-+,-

-+---+,-+--+---+--+--f-l-,1-f--+--l,-+-!-111--+-+---+-+-+---,i---~---+---+--+-!-1-+-+--+-+-+---I--+-+---+-

"-_1_,- -.-- I

t. I

2. SPAZI e SOTTOSPAZI VETTORIALI

t . . .

I . - I L-l- ULL e. ft,L..,

I ·c~~r=:N1Pl(D I

-1 I

l[@..")

~~~~~ r 1~~A·~ ~ c - + - - " ~ ~ f - + - f - + - f - + - H - - - f - + - f - l - l - t - 1 - t - l - t - i - t - i - t - ~

1 ..::fJ'[: lt

L'._) _:µ_,1( i

\-~ +-

"" -1-

= --+-.!...

i'\._- ')t.

I

-H--1-- ~lt-1

. .

,. dr,.-, 'l.li..,-'f'tLwi" lf'~ oi~·,,, ;,

e. :. ··~-:'--+-_

__,____.

__

j ì

lh, 11i • • l< I \(~ ~

'li,_• ( c,o-À.r

r'

1{,

P - -4.·-....;.

~ ~

v r

S~__d._J ~J.~

+

l__J ~

i '" =- v ~

i) 1 2. ·-

-1,-

p~ J rr-x-,+-~j!

- j_+-,l)

... . ,_,-\.-+-.1,-l'-} -+--+-

eow.-

-+,--+--,1,

-

~ ~-

I .

~~~ ..t'

Ll,h ''1 -

---++-_-1-_-

.Hsj)---

1- i'\ { (,l.l_

"""r--t--t--+--1r-+--+--t--+--t--t-fl

61.

I JA..(; •

~ 0 ,:. 1

_ ~l!J'\ \ W> 0

·r ... " " r ... --+-+--+-+--11-+--+--+-+-1--+-+-+-+-+-l-+--+--+-+-1--t-+l(

'l • I {!) ; i) __

11, 1

J ,

.. w~ ,~

Q ~ t>' .til ro ,:

.\l

l~JU)\.. I.H c 11, ~" (Jj;\.~o .

- OICJ ... !.tJMIO hi lo

T j (\IV\_ ,'"'\ 2b:\

À' il' 1,,. , hAÌ'!)

f,) '

~ \ n ~

'fL ~

-,~+--+

ur- ét-· ~' l~~Jtr l'I.Jr,1 • _

I,A.>,, YV

~..i- 1ht:fJt:n'

--+---:-L--!A-

~Q-- -1-

~-t

:tD--=-

.-,+-

r,-t

.. o_ i.{J bJ ill 'Hr-~ '

.D ln

h 'l 1i r ht\ I, I

-1---- J h,v;; '.o

r.

A

(D f-UVJ I ~\ÌIIA-s"

n, ,,...

O:il ,)

Il • BJ: .

~ ~ ~ ~ ~

1..i.'à v ~Dì.;"'y, i'r::rn l\l

!io'~hl hl . I

e ru :

e n"(J ,'Ll

t:ì~Mh.!: n(Hr, d,1.

iJ .im1.n rfl 1YY 11 1,..

P !vi .,.._ 1- ,

U\J/

Otin,iu> ll'll

JU'i l,...., 1.0

\J J IJ~,{

{) I./';' ,-

cttot ~.rr

~ y

r-t t~ b,,rtat~~~

°' CJn

-·_: ~-~m.

1~}1'?\ 2

1~µk~" ~ èl-%~~

a-

1

sr ~ :~ ~ ~~~C0

°'.'4-~

1-+- ; <!éf 'r

t-+-+- ;o~dj·~ r)OW)'"Yrh c-_jv I

l

- . - -- l I

l

,-, J ' J I • '

.e

r ,- ~!:'

~ ~ ~

-;:: ·-.::. f>li\I

'G_Jl, - ,.- .>1 ~_J\

i '--:-: - • • I I , 1

• -- • 1

·f 1

_,:J-~f --t~L : I

-l

+--t- '. -' - :'-~~- I

,--1-

:--+ ~r ~~s~jl-

~~·~ ---'~fi!~m1,_·-~

t-~ L~ ~ -~~ ~ ~'°_Ut,~ ~

-~~~j~~f-

1

1-,-l·-~ o. Jt 1 , - - ì

,-,· -,-: - J-- J '

--,- ' .I , 1

1

' ' ' T'-' ~ ~ -&o:I <rn'<>=~°i~ ~?W~'>Ji ~ ·,-,Larn'~•rn1J rL, 1,~

~--J-:1 ~ 'nf'

·T:,~::-1·L I,-,'[: -,, 1:·,11

·1·

I l

-~

t ·- -r· ~

r

JT1"J. jL_~ ~t - - 1-. I

i•

, ~ r -, - - r

1 I'

-, -- C:::-

-1 l I

ktcJA1- ~ Jol ~

- ~ ~I ~~

.LLLJ] -~ ~~ !~ Yà-~ 1~fYl"- "9

- - ' • I

I~~

·-t}-~--z~-71"/X\

Y!k tlfr

ITITJ - r~ Y;~ :9 J{ !~r

: _:, j" ~(Y't~) I :, - ]" _' 1

1r ~ ~ ~:~ ~:~ F\

- 'Ì ,1 ';J.('(', ,1: . ,-:11-r-, . .

· " JI/Y!

1

1-r ~ <_~r--

r-.- -~ _>- i

r-,

1 --i-,- - r-r-+-,-~- - , T

! -I

- ~- r

· ~- ' - ' ' I I

- I I

-~er · -t-,

,A)ml r

. 1 t-~ -, ,- 1--.

~ ~

'~J o~"S~'1 i ,

i

~ -, ~ , . ~ J /\

vtN\ - i"

+-+-+-+-1 , ,O' I-,

~'.:r

lq_

r n -- r

17-

I -, 1

-r

-- i f

· I r -

- - r

- le!{ ,- . i

T

li '"'_j - I

rvr~=--!;;-·dJ [

~4'V-0.~1qw,Y}r'

L

-~ ~ ~

• "I f~.rr.' ~~ -(\ d' ' rìJ:-fh"TO'\,VO,W - "'W.f') .

· -· lA'~-' · I'

,-t '

+ i -, ~- :

- Li

-, -_- ". ~ l t·-J\~ t

l , ,-- T I

i !

yw I i

ì- !

I : I

-i11 T1111 11'11 l

il

li IL

I t 1 ' l I,

•

1

1 1

"[)-,'

·

,

-!.Y'YU~ll

'.

'--'~ 1

'L '\

!__,II ~ f"' <l - ""'ll_ '

. • , - - , '"'--'· ,- ·~· -e,·

1 ' -4

~I)-

I I v .="l I_ "\ ,, "\; 'v .~""l~ - I

". r ,. I·-,.

. -;:,.o F,

,•NSefi":~ -n,, -~ r

\M/rv>

I ..-ry'\l.t'Y1fr\A~Avv,

I l

' -i- I I

' I I I \ I I ' I I I 1

I I -,-·r

'

L·r --

~-

- __ iow. ~

T r_

. 9~ ~1 -- "{/ - -~- , ,- I-

., Oi_'[

T, -r f ·,-- ,- rl • -· .;i

lf\J, • I

/I I •I - +-

J

j /J·1o~e,,·

. . -- --1-. --. ~J ·:. -,-~ ~Y)::? , , ' 1

rYUAJ.\-l'ftYVl--, -:-~ ~

rf- - ~-~- - r·-i-i-i-:--n-·Li .-r

f ' I I I 0-1 )?P-V~ ,~ ,·~

- r I I I

I -, I

1

-f- , l-

· w-.- ~ i t

r

-l T r r - , -

- · r - . . , r

i • 1

r. 1

'. 1

+'r·

-,L ìl

r-~'R- ,----Pi

1~~

~ .---. ,, , , .- , , r

-,- - ,-cv - J

+-+-+-+- ! , ,

· ·r r - ' t

i-·y··t'1rrr-t -~-v..,,rr L I

'('p

d ~~ N.-

yi"ff

1 0 V(i (-..M.i o'Vl'):i-

Q\ i

- --- ~ - - - r 1

T

t- ~-r4L I :- ·r -. ' , i

.

. --1 0 "W

, ~ +

I

I .. . _,J' j :

• -, : ,- . I

r-l

- .!_ ~ I

rP -'tQ.

1

" f - ~

ui VW'Yòq()

(Dé), 71' ,v'!V\lAAA"') v

I I I

I I I

f" I I I I

-,- -- +

_L

_I . I

~J_ ... , - + I

. ri'_ _J_ r

-· t-- r

_L-i·-i-t- 1

+-+-t-i- ,-<n

, .11 ... r

-- H

'l

-t-J

J ~ r-11· r-1 r

[ ']-- 1-1-; l !' r ·-r - 1

- i

· t r\. 'I-, ~. I

·+-t--+- I

1 1 1

ti'-1-1\. ~ toj-

i-'i·~

- m

""'l

~- -Tn,i· ~ I\At)' 7 ~J' l

,:, 'ì~frYi ···--'rq,y-:i, ',T"'f}f(

- f -, , I • I

:.-.-.~1 ~~r:

:-tflrrr,

',f~iY Y-iJ,~~:~Ct1

'f

~ ,f

J_LL -t

1 +

.

'7

.

}f'

Jf

q °'

'

1 I

I~

1 7

-+-·-

- ·J- - L f- - . ,

; ·-1. ·r , .- i

j 1- - ; I

f I

I- - 1

-· J 1

' I '

, l v·y-

~~·-~~ ~ ~~

·ryr

- : ."'Ull't)Q

::Or~-

" I - I - 1v

.ti ~ ~ ~hh,

~=--~o~oi-A

. -, , · _ ,,·i ~ ~

· , - -1

1--l--1-- -1- ' ~L·

- -'\ ··1--~-

1 -

-

. - r - ~ · - ~ J~

--- - l- 1- J -l~ ~ l. -

i._,

· r- -~ - b- rr-

_ --1, - ~ ~~~~Y'~~

I I I I --+- · .

-. --.---e:=

--~ ~--

. :

. . j-

-r_11=-i--,-1

-1

~ 1

- r·t-r

. ' ----~ 1

\· . T

T:

!- '. I

1 11 lYWrt",

- , · · · - . ·. _r;:T,""~; n~ -+· -c~J\

-,-..-~ 'tt.!"> - ·' (\n'J~

~ _

~

~?l

r

rr:~~

. ~

,

!~r~rm~~~t

f

"

.

.

,· ·.r ,. ~ ~~

- . r . ~ ;,-\.~,~l~.YJO \ [ :

1-r_+-++-+- 1-~ I 'I I

n-·

+--r fi r--i

[f- ti·

r--'1L-t t

F-r rr

T-rr . +,: -+

r

1· 1,

· -1. -1 1 ,

1

~

- -

rm

r 17UWY

- ·. ~\ ' - - · ~(>\tr r1r'1[ ~'-('

1 ) ~

1f)

- .. 0.- )-\'.J'O.:@'

%

. '~ ~V

- -or

~

- ~l'<f~ ~,'~0?~ T-tt'~rw

7,"'r·~~~7'Cé)

l" ~~ ·vjy-1~~ ~f'f!11·a:u 'òv,o-~ ~ ··· ;,h~.11 :

. ; IC/1~-

----++ 1

-1··-In .-;--jr..:r,>

j~~'l:!tw. J- F"'~ '~ I

oc;,rrp n

ro~m

1· -- ~.M

i fv-{\'I-O-Pi"~ !-JV Cl ,,

YJ TPri

!tL ~·-~~ i_J__l t

- ~ 10~

- i

~-tp

-, J __ -.1.,~ ~ , - · · • 1

--;.-+-+-t-+--+H ~~~()

4 ;~

-1-

· . t ,·-t-i--rl 1 WXr- 1 · ,-

ì· f\

t· ·- r

"wyyJ

I

->.ow ~T~

. ~ ''.1l~P~f~ YP

r .,fyJh, ~l-c-.( - ~ ~ ~ T~ ),'1,:0'fOt'l(c)U,f}-'(fW

f

t-rtl'fiit~ fl i~ !l) -' ~_sq \ ' ) i r ~ l ~ ~ ~ ~ • · '

~.- ··1·

"()11' ~\"'.)ìl,~

,.

.. - L

.. ~

+_~ <Drv9-vwt

wò ~ rp~~aò'"P

1 t~ ~ ~ - , ç ~ ~

I '. . , - ~ -'~ J- :1-+~

r:r1-~

! ~·r-r

"f ' !

;_r.

l ·, ··r

r . i

. I

i T I . ' I

i

t-t

t I

fW

J

Jl

~

p

~E~-

. . . ·- ----- ·11

;i -;- r ·:_ -·",

-,---.--!

.

r ~·\r

ì l - '!' . . .. - , • - , i

·1· ~ (\

aj7i' ~ '-~ 1 ~ ~1~

"1'

J_· ·r !)'.'

. . -- Ltjjry ~~ Tr .

""6"~ -- ' ~ •[ q

i -t+~

·-! I oYV~ ~nQJ_

~(i~~w

~iJt- \~ f~t )l:o;up~~ I

·-."- r !

0 ~ _

·~-+-+--+--i 1

- ~ 11+~ -; r

~~ :-: 1-;

i 1 i

rQ\1 .~

~ ~ .f~~ r · .:_ r :~ 1 1 .

0

_fJ-' - ri -r.)

r°FLJ_-LI.J i'

~

't--

T f

l ; I ~ ' "'.V

i

L_-. I ·-u· l"

'r '. - I ~· ··- v- u· \ ' '

I I I

~~-+~~ ~w i 1-~ -~ vr~ ~ o r~m-0l -11\ ~ r ~·' 1~ "'(f\AX'(fP

~l~m--~.;-. i-:_

li---1·-rt·m

. :~,-·~r,

1_·1.-,-r·

-t··-1-.r·i T r.-' P ;

I' l

1

1 r

- t- W -9.?ili· F~

r-,-~ l ì-1 ·lò.