Algebra lineare

Algebra Lineare

Matrice

Def: Una matrice A di tipo _m,n è una tabella con m righe e n colonne i cui elementi appartengono ad un campo K (ℝ, ℂ).

L'elemento della riga i e colonna j di A è indicato con a_ij.

L'insieme di tutte le matrici di questo tipo è Mat _m,n,K.

Es.

A = [ e √2 || 3 -1 ] ∈ Mat (2,3; ℚ)

Esempi Notewoli

Matrice nulla

a_ij = 0 per ogni (i,j) ∈ M × N

matrice nulla in Mat (2,3; ℚ)

O₂ matrice nulla in Mat (2,2; ℚ)

= Mat (2,2; ℚ) = Mat (2; ℚ)

Matrice identica

a_ij = {1 se i=j0 se i≠jper ogni (i, j) ∈ KxN

I₂₃ = [ 1 0 0 0 1 0 ] matrice identità in Mat (Z₃; K)

I₂₂ = [ 1 0 0 1 ] = I₂ matrice identità in Mat (Z₂; K)

NOTAZIONI

• A = [ a₁₁ ... a_1m : a_n1 ... a_nm ] = [ a_ij ] = [ A_R(1) ... A_R(m) ] = [ A_C(1) ... A_C(m) ]
• A_R(i) = [ a_i1 ... a_im ] ∈ Mat (λ_i, μ_i; K) riga i-esima di A
• A_C(j) = [ a_ij : a_nj ] ∈ Mat (ν, 1; K) colonna j-esima di A
• a_ij = (A)_ij elemento o entrata di posto (i, j)

A = [1 2 3 4] ∈ Mat (Z₂; Q)   a₁₁ = (A)₁₁ = 1

[¹0⁰] [_{0 1}] [b₁₁ b₁₂] = [b₁₁ b₁₂]

[⁰0¹] * [b₂₁ b₂₂] = [0 0]

[¹0⁰] = [0 0]

[⁰0¹] * [b₂₁ b₂₂] = [0 0]

[b₁₁ b₁₂] = [0 0]

b₁₁ = b₁₂ = 0

Quindi [⁰0⁰] [⁰0⁰] [b₂₁ b₂₂] = [0 0]

Non vale la legge dell’annullo nemmeno del prodotto

A * B = 0 ⇏ A = 0 oppure B = 0

Matrice Traspota (Def. 3.11)

Per ogni matrice A ∈ Mat(_m,n; R), la matrice trasposta è A^T ∈ Mat(_n,m; R)

(A^T)_ij = (A)_ji; per ogni (i,j) ∈ M_nN

A = [^{a₁₁ ... a_1m}] ^{_am1 ... a_mm} => A^T = [^{a₁₁ ... a_m1}] ^{_{a1m ... amm}}

Proprieta Fondamentali (Proposizione 3.12)

1. (A^T)^T = A Involuzione
2. (t₁ . A₁ + t₂ . A₂)^T = t₁ . A₁^T + t₂ . A₂^T Linearità
3. (A * B)^T = B^T * A^T

Verifica

⎡1/2 + 1/2 = 1⎤

⎣2/2 - 1/2 = 0⎦

EQUIVALENZA DEI SISTEMI LINEARI (proposizione 3.22)

Sia [A|B] un sistema lineare ed [S|β] una sua riduzione a scala. Allora i due sistemi lineari hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

IDEA: ogni singola operazione elementare non cambia l'insieme delle soluzioni del sistema (insieme

A

B ≠ 0

Soluzioni

Soluzione

Soluzioni

STRUTTURA delle SOLUZIONI (teorema 3.2)

Sia [A|B] la matrice completa di un sistema risolubile.

Allora la soluzione generale è

dove:

• soluzione particolare del sistema [A|B];
• lo stesso generato del sistema omogeneo

ossia:

sol. omogenea

sol. completa

R₂+R₁→R₂

[

-2 1 0

0 1 1

1 0 1

] →

R₁→R₁-R₁

[

-2 1 0

0 1 1

1 0 1

] →

R₁-R₂

[

-2 -1 -0

0 0 1

1 0 1

] →

R₂+R₂→R₁

[

-2 -1 0

0 0 1

1 0 1

] →

riduco A ad identità I_n

questa è la matrice inversa A^-1

A^-1 = [

1 2

1 1

]

Verifica: A . A^-1 = [

1 2

1 1

] [

1 0

0 1

] = I₂

A . A^-1 = ... = I₂

Proprietà Elementari (Proposizione 3.44)

Siano A, B, ∈ GL (m, K). Allora:

i) (A^-1)^-1 = A; (inoluzione)

ii) (AB)^-1 = B^-1A^-1 ;

iii) (A^-t)^t = (A^t)^-t ;

T_eorema di Cramer (Corollario 3.41)

Consideriamo il sistema lineare associato ad [A|B].

Se A è invertibile, l’unica soluzione è X = A^-1B.

D^im sia A invertibile ⇒ I(A) = μ ⇒ esist^e unica soluzione

Verifichiamo che sia proprio X :

AX = A (A^-1B) = [A . A^-1] B = I_m B = B

Se S è scafo è triangolare alta

Calcoliamo il determinante di una matrice triangolare alta applicando iterativamente lo sviluppo di Laplace rispetto alla prima colonna.

det(S) = | S₁₁ S₁₂ ... S_1M |

| S₂₁ S₂₂ |

| 0 ... S_2M |

| 0 | S_M1

| 0 ... S_MM |

=

= S₁₁ | S₂₂ S_2M |

| ... |

| S_M2 |

| S_MM |

= ... = S₁₁ ... S_MM

=> det(A) = (-1)^k t_i ... S₁₁ ... S_MM ≠ 0 SSE

S₁₁,..., S_MM ≠ 0 SSE r(A) = n

⎡0 1 1⎤

A = ⎢1 1 3⎥

⎣0 1 4⎦

⎢A = ⎢1 1 3⎥

⎢1 0 0 ⎥

⎢0 1 2⎥

⎣0 0 2⎦

⎠

⇒

K = 1, t_k = 1/2, t>1 ⇒det(S) = -1/2det(A)

⎝|A| = (-1)^k |S| = -1/1/2 · 1 · -2

t_k = 1/(-1/2)

|A| = 2 ⎛

-2 |A|= 2 ⎛ ⎝1 1 3

⎜-2 ⎜1 0 2

⎜0 0 1⎜

⎜⎜⎜ (1/2

⎜(1/2 1)

⎜⎜⎜ (0 1

⎜(0 -1)⎜

⎜1/2 0 0⎜

⎜0⎜

⎜1 + 3 0⎜

⎜0 -4 -1⎜

⎜ 1 2⎜

= -2 ∙ 1 = -2

• Mat( n,1,K) MATRICE COLONNA
• Mat ( l,m,K) MATRICE RIGA

K^m = prodotto cartesiano di m copie di K

K² = { (x₁, y₁) / x₁, y₁ ∈ ℝ }

K³ = { (x₁, y₁, z₁) / x₁, y₁, z₁ ∈ ℝ }

K^m = { (x₁, x₂,..., x_m) / x_i ∈ ℝ , i=1,...,m }

     { (x₁, x₂,..., x_n) / x_i ∈ ℝ , υ=1,...,m }

   = (x_n + y₁,..., x_m + y_m)

⊕= (0,...,0) ∈ ℝ^m

^⊕ = ⊃∈ &outint; ⨀

^⊕=(x_n,..., x_m)

x^⊕ + (-x^⊕) = ⊕ = (-x^⊕) t + x^⊕

a ∈ ℝ

x^ˆ = (x₁,..., x_m)

a • x = (ax₁,..., ax_m)